1、12 研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1 （1994 年、数学三、选择）设 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值，记),(21nX ),(2NX， ， ，211(iiS 21iiXnS 2213)(iinS则服从自由度 的 分布的随机变量是 （ ） 。2214)(iiXntT. .A1SB12nSX. . 答案：选 CnX3D4 B当 时，服从自由度 的 分布的随机变量应为2212)(iiXS 1ntTS、由 ，A22121)(XnSii 11nSX而不是 T、由B 212221 1)()( SnXnXnSiiii 。STn122 （1997 年、数学三、填空）设随机变量 相互独
2、立，均服从 分布且 与 分别是来自YX, )3,0(2N91,X 91,Y总体 的简单随机样本，则统计量 服从参数为（ ）的（, 2921YU）分布。答案：参数为（ ）的（ ）分布9t解：由 相互独立，均服从 分布，又 与 分别来自总体YX, )3,0(2N1,X 91,Y，可知 与 之间均相互独立，均服从分布91, 91,Y )30(2N因而 ， ， ，)3,0(291ii )1,0(1Xii 1,3i，且 与 相互独立，)(3291iiY91ii912iY因而 服从参数为 的 分布。29219129123 YXYXiiiiYiii 9t3 （1998 年、数学三、填空）设 是取自正态总体
3、的简单随机样本且),(4321X)2,0(NXY，则 （ ） ， （ ）时，统计量 服从243)(baab分布，其自由度为（ ） 。 同学习指导文件综例 6.9.1 2答案： （ ） ， （ ）时，统计量 服从 分布，其自由度为（ ）0101Y22由统计量 Y24321 )()(XbXa 24321 )()( XbXa设 即,4321121i由 可知 ， ，且),0(2NX),0(2Ni ,i0)2() 21211 aEXaXaEY4343()43(2 bbbaDD)() 2221211 bXXY 106969()( 43432 若统计量 服从 分布，则由 ，可知自由度为 且 服从标准正态22
4、1iY2iY),(分布，即， ， 。021EY20121aD1002bDY4 （1999 年、数学三、证明）设 是取自正态总体 的简单随机样本，921,X X， ， ，证明统计61iiY9723iiY SYZYSii )(2,)(2121962量 服从自由度为 的 分布。Zt证明：记 （未知） ，易见 ， 由2DXEX21 ,621D32于 和 相互独立，可见 ，1Y2 0)(21YE3)(21Y从而),(21NU由正态总体样本方差的性质，知)(22S由于 与 独立、 与 以及 与 独立，可见 与 独立。1Y212Y221YS于是，由服从 分布的随机变量的结构，知t。)()(221tUSZ5
5、（2001 年、数学三、填空）设总体 X 服从正态分布 ,而 是来自总体的简单随机样本，则随)0(2N1521,X机变量)(215210Y服从（ ）分布，参数为（ ） 。 同学习指导文件综例 6.9.3答案 填：F (10,5)解： )5(4),10()(4),10(2 2152121021 XXNXi 且显然此二者相互独立，则：)5,10(5)(410)()(221221225110 FXXY 6 （2001 年、数学四、计算）设总体 X 服从正态分布 ，从中抽取简单随机样本 ，)0(),(2NnX21,（ ） ，其样本均值为 ，求统计量2nniiX1niiniY1)(的数学期望 E(Y)。
6、解：222)(,)(,)(,nXEnDXEiii ni ininiiniiii XY1 122 )44(ni niiiii i iiiii XX2112214 2222121 )1()(4)( () nnnXEEYEni iinii魏宗舒1. 设 是来自服从参数为 的泊松分布 的样本，试写出样本的联合分布律。2. 解 2. 设 是来自 上的均匀分布的样本， 未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。2. 解 （1） 0 其他（2） 和 是， 和 不是。因
7、为 和 中不含总体中的唯一未知参数 ，而和 中含有未知参数 。（3）样本均值样本方差 实际应为除以 n-1样本标准差 。3. 查表求 ， ， ， 。3. 解 ， ， ，。4. 设 ，求常数 ，使 。4. 解 由 t 分布关于纵轴对称，所以 即为 。由附表 5.6 可查得 ，所以 。5. 设 是来自正态总体 的样本，试证：（1） ；（2） 。5.证明：（1） 独立同分布于 ，由 分布的定义， ，即。（2）易见， ，即 ，由 分布的定义，即 。6. 设 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从 。（1）试给出常数 ，使得 服从 分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数 ，使得 服从 t 分布
8、，并指出它的自由度。6. 解（1）易见， 即为二个独立的服从 的随机变量平方和，服从分布，即 ；自由度为 2。（2）由于 ，则 。又 ， 与 相互独立，则即 即 ，自由度为 3。7. 设 是取自总体 的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1） ；（2） ；（3） ，其中。7. 解 （1）（2）（3） ，其中8. 某市有 100000 个年满 18 岁的居民，他们中 10%年收入超过 1 万，20%受过高等教育。今从中抽取 1600 人的随机样本，求：（1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率；（2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率。 8. 解（1）引入新变量：1
9、，第 个样本居民年收入超过 1 万0，第 个样本居民年收入没超过 1 万其中易见：又因 ，故可以近似看成有放回抽样， 相互独立。0-1 分布 Ex=p,Dx=pq样本中年收入超过 1 万的比例即为 ，由于 较大，可以使用渐近分布求解，即 ，所求概率即为（2）同（1）解法引入新变量：1，第 个样本居民受过高等教育0，第 个样本居民未受过高等教育其中答：（1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率为 0.0918；（2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率为 0.6826。9. 设总体 ， （1）抽取容量为 36 的样本，求 ；（2）抽取容量为 64 的样本，求 ；（3）取
10、样本容量 n 多大时，才能使 。9. 0.9916，0.8904，96。10. 设总体 ， 皆未知，已知样本容量 ，样本均值，修正样本方差 ，求 。10. 0.5。11.设是 来自正态总体 ，容量为 的样本，求下列统计量的抽样分布：（1） ；（2） ；（3） 。11. (1) ；（2） ；（3） 。12.若 ，则 服从什么分布？12. 。13.设 是来自泊松分布 的一个样本， 与 分别为样本均值与样本方差，试求 。13. ， ， 。14. 某区有 25000 户家庭，10%的家庭没有汽车，今有 1600 户家庭的随机样本，试求：9%11%之间的样本家庭没有汽车的概率。14. 0.8164。1.
11、设总体 XN（60，15 2） ，从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率.【解】=60, 2=152,n=100 (0,1)/ZNn即 6(,)5/X(|60|3)(|01|2PXPZPZ2)(.97)0.4562.从正态总体 N（4.2，5 2）中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少取多大？【解】 4.2(0,1)5/XZN.6.24(2.6.)( )5PPnZn0.41.9,则 (0.4 )=0.975，故 0.4 1.96,nn即 n24.01，所以 n 至
12、少应取 253.设某厂生产的灯泡的使用寿命 XN（1000， 2） （单位：小时） ，随机抽取一容量为 9 的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为 S2=1002，试求 P（ 1062）.【解】=1000,n=9，S 2=100210(8)/3/Xt t1062(62)(1.86)0.5/3PtPt4.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上，求总体的标准差.【解】 ，由 P(| -|4)=0.02 得(0,1)/XZNnXP|Z|4(/n)=0.02,故 ,即4102.2410.
13、9查表得 .3,所以 4105.2.5.设总体 XN（，16） ，X 1， X2，X 10 是来自总体 X 的一个容量为 10 的简单随机样本，S2 为其样本方差，且 P（S 2a）=0.1，求 a 之值.【解】2 299(),)0.166查表得 914.8,6所以 2.105a6.设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本，试问统计量Y= ，n 5niiii6251)(服从何种分布？【解】 2522211(),(5)i ni iiXX且 与 相互独立.12所以 21/5(,5)XYFn7.求总体 XN（20，3）的容量分别为 10，15 的两个独
14、立随机样本平均值差的绝对值大于0.3 的概率.【解】令 的容量为 10 的样本均值， 为容量为 15 的样本均值,则 N(20,310), YXN(20, )，且 与 相互独立 .Y15则 30,(0,.5)XN那么 (,1).5YZ所以 0.3(|0.3)|21(0.4)5PXPZ2(1.68).78.设总体 XN（0， 2）,X 1,X10,X15 为总体的一个样本.则 Y=服从 分布,参数为 . 215210【解】 i=1,2,15.(,)i那么 1 22 20 152(0),(5)i ii iXX且 与 相互独立,12所以 22211015/(0,5)()XXYF 所以 YF 分布，参
15、数为（10,5）.9.设总体 XN（ 1,2）,总体 YN(2,2),X1,X2, 和 Y1，Y 2， 分别来自总体 Xn2n和 Y 的简单随机样本，则= . 2)()(1212nYXEnjjnii【解】令 1 2221 1(),(),n ni ii jSXSY则 1 22 2211()(),()(),n ni ji jyS又2 22 211 2(),(1),Sn那么 1221 221212()()()nni ji jXYEEn:221122()n10.设总体 XN（, 2） ，X 1，X 2，X 2n（n2）是总体 X 的一个样本， ，niiX21令 Y= ，求 EY. niini12)(【
16、解】令 Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,n.则ZiN(2,22)(1in),且 Z1,Z2,Zn 相互独立.令 211 ()/1,i iiiSn则 211,niiiXZ故 那么22211()()(1),nnini ii iYXZnS所以 22()().ES11. 设总体 X 的概率密度为 f(x)= (-0)（为递减函数） ，那么 时，L=L()最大,18maxii所以 的极大似然估计值 =0.9.因为 E( )=E( ),所以 = 不是 的无偏计.18maxii18aiix6.设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的样本，E（X ）= ，D（X）= 2， =k,问 k 为何值时 为
17、2 的无偏估计.12()niiiX【解】令 i=1,2,n-1,1,iiYX则 2()(0,(),iii iEEDY于是 12221),nikknk 那么当 ,即 时,2()E22()有 1.()kn7.设 X1，X 2 是从正态总体 N（ ， 2）中抽取的样本1 12312;34XXX试证 都是 的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.2,【证明】 （1） 11212()()(),333EE,212()4X3()()所以 均是 的无偏估计量.12,(2) 221145()()(),339DXDX22221()()(),48231()(),DXD8.某车间生产的螺钉，其直径 XN（ ， 2） ，
18、由过去的经验知道 2=0.06,今随机抽取 6枚，测得其长度（单位 mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求 的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】n=6, 2=0.06,=1-0.95=0.05,0.2514.9,196axu 的置信度为 0.95 的置信区间为./2(4.01.96)(4.75,16)xn9.总体 XN(,2)， 2 已知，问需抽取容量 n 多大的样本，才能使 的置信概率为 1-，且置信区间的长度不大于 L？【解】由 2 已知可知 的置信度为 1- 的置信区间为 ,/2xun于是置信区间长度为 ,/2un:那么由 L,得 n/2/24(
19、)10.设某种砖头的抗压强度 XN（ ， 2） ，今随机抽取 20 块砖头，测得数据如下（kgcm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求 的置信概率为 0.95 的置信区间.（2） 求 2 的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】 76.,18.4,095.,20,xsn/20.252. 0.975()().3,8(1)8.tnt(1) 的置信度为 0.95 的置信区间/2.4(1)63(6.1,8509)2asxtn(2) 的置信度为 0.95 的置信区间22222/1/()()1919,
20、8.4,8.4(190.3,72.)3.507nssn 11.设总体 Xf(x)= ),0;,.x中中X1,X2,Xn 是 X 的一个样本，求 的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1) 110()()d()d,2Exfx又 1(),2XE故 1所以 的矩估计量 2.X(2) 似然函数.11() 0(1,2)()nniiii xnLfx其 他取对数 1lnl()ln(01;),d,iiiiixinL所以 的极大似然估计量为 1.lniiX12.设总体 Xf(x)= 36(),0;,.x中X1,X2,Xn 为总体 X 的一个样本（1） 求 的矩估计量；（2） 求 .()D【解】(1) 2306()d()d,xExf令 ,EX所以 的矩估计量 2.(2) ，4()2)(),DDn又
