1、电磁感应中的切割问题1、如图所示，ab、cd 为两根水平放置且相互平行的金 属轨道相距 L，左右两端各连接一个阻值均为R 的定值电阻，轨道中央有一根质量为 m 的导体棒 MN 垂直放在两轨道上，与两轨道接触良好，棒及轨 道的电阻不计。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B棒 MN 在外驱动力作用下做简谐运动，其振动周期为 T，振幅为 A，通过中心位置时的速度为 v0 .则驱动力对棒做功的平均功率为（B）A. B. C D 20mvT2BLR28LATR20BLvR2、 如图 433 所示，两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根相同的导体棒 ab，cd
2、与导轨构成矩形回路导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中问用细线绑住，它们的电阻均为 R；回路上其余部分的电阻不计在导线平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场，开始时，导体棒处于静止状态，剪断细线后，导体棒在运动过程中( ) ADA回路中有感应电动势 B两根导体棒所受安培力自唠向相同 C两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒。机械能守恒 D两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒 3、水平固定的光滑 U 型金属框架宽为 L，足够长，其上放一质量为 m 的金属棒 ab，左端连接有一阻值为 R 的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计） ，整个装置处在向下的匀强磁场中，磁
3、感应强度大小为 B。现给棒一个初速 v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻 R 的电量和电阻 R 中产生的热量（2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求金属棒通过的位移（3）如果将 U 型金属框架左端的电阻 R 换为一电容为 C 的电容器，其他条件不变，如图所示。求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）答案：（1）由动量定理得 0Ftmv即 所以0ILBtmvqBL由能量守恒定律得 201Q（2） 所以SsEttEBLsqItR02mvRqsBL（3）当金属棒 ab 做切割磁力线
4、运动时，要产生感应电动势，这样，电容器 C 将被充电， ab 棒中有充电电流存在， ab 棒受到安培力的作用而减速，abC v0abR v0当 ab 棒以稳定速度 v 匀速运动时， BLv=UC= /cQ而对导体棒 ab 利用动量定理可得 BL =mv-mv0 由上述二式可求得： LBmv20 02cCBLmv22 200011()cEv C微元法4、如图所示，两根光滑的平行金属导轨 MN、PQ 处于同一水平面内（导轨足够长） ，相距 L=0.4m，导轨的左端用 R=0.3 的电阻相连，导轨电阻不计，导轨上跨接一电阻 r=0.1 的金属杆 ab，质量m=0.1kg，整个装置放在竖直向下的匀强磁
5、场中，磁感应强度 B=1T，现对杆施加水平向右的拉力F=2N，使它由静止开始运动，求：（1）杆能达到的最大速度多大？（2）若杆达到最大速度后撤去拉力，则此后通过导体横截面的电量为多少？（3）撤去拉力后杆 ab 能滑行的最大距离是多少？分析与解：（1）杆达最大速度时拉力与安培力平衡，设最大速度为 V，由平衡条件有： F=B（ ）LrRBV解得：V=F（R+r）/B 2L2=5m/s（2）当外力撤去后，由于安培力的作用，杆 ab 做减速运动，运动过程中通过导体的电流是变化的，将减速运动过程时间分为 t1、t 2、t 3tn，对应过程的电流为 I1、I 2、I 3In（由于时间间隔取得极短，可以认为
6、在这过程中电流是定值） ，每一过程对应的末速度为 V1、V 2、V 3Vn（V n=0） ，由动量定理有：-BI1Lt1=mV1-mV-BI2Lt2=mV2-mV1-BI3Lt3=mV3-mV2-BInLtn=0-mVn-1设通过导体横截面的电量为 Q，考虑 Q=I1t1+I2t2+I3t3+Intn，由以上式子联立得：Q=mV/BL=1.25c（3）如果将上面所有的动量定理表达式变形后就有如下的情形：-B（BLV 10/R 总 ）Lt 1=mV1-mV-B（BLV 20/R 总 ）Lt 2=mV2-mV1-B（BLV 30/R 总 ）Lt 3=mV3-mV2-B（BLV n0/R 总 ）L
7、t n=0-mVn-1其中 V10、V 20、V 30Vn0表示每一过程中相应的平均速度，R 总 =R+r，设滑行的距离为 X，显然应该有：X= V10t1+V20t2+V30t3+Vn0tn联立求解以上式子有：X=mV（R+r）/B 2L2=1.25m从上面不难看出：微元法的解题思路是选取“微元” ，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难） ；利用数学“极限”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具，既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果） 。5、两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为 L，足够长，在其上放置两根长也为 L 且与导轨
8、垂直的金属棒 ab 和 cd，它们的质量分别为 2m、 m，电阻阻值均为 R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计） ，整个装置处在磁感应强度大小为 B、方向竖直向下的匀强磁场中。（1）现把金属棒 ab 锁定在导轨的左端，如图甲，对 cd 施加与导轨平行的水平向右的恒力 F，使金属棒 cd 向右沿导轨运动，当金属棒 cd 的运动状态稳定时，金属棒 cd 的运动速度是多大？（2）若对金属棒 ab 解除锁定，如图乙，使金属棒 cd 获得瞬时水平向右的初速度 v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒 ab 的电量是多少？整个过程中 ab 和 cd 相对运动的位移是多大？答案：当 cd 棒稳定时
9、，恒力 F 和安培力大小相等，方向相反，以速度 v 匀速度运动，有：F=BIL 又 联立得： RBLvI22LBRv ab 棒在安培力作用下加速运动，而 cd 在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失， ab， cd 棒开始匀速运动。设这一过程经历的时间为 t，最终 ab、 cd 的速度为 v，通过 ab 棒的电量为 Q。则对于 ab 棒由动量守恒： BILt2 mv 即： BLQ2 mv同理，对于 cd 棒： BILt mv mv0 即： BLQ m（ v0-v）得： BLmv320设整个过程中 ab 和 cd 的相对位移为 S，由法拉第电磁感应定律得： t
10、SE流过 ab 的电量： 得：tREQ22034LBRv6、如图所示，在光滑的水平面上有两个方向相反的匀强磁场垂直穿过，磁场的宽度均为 L,磁感应强度大小均为 B，水平面上放有一正方形金属线框，其边长为 a（aL），电阻为 R 。（1）若线框以速度 v 从磁场区左侧匀速向右穿过该磁场区域到达磁场区右侧的过程中，求外力所做的功。（2）若线框从磁场区左侧以水平向右的某个初速度进入磁场，刚好能从磁场区右侧全部出来，求线框在进入磁场和离开磁场的过程中产生的热量之比。解：（1）线圈进入磁场的过程中，安培力做功（2 分）线圈从左侧磁场进入右侧磁场的过程中，abcdFB甲v0 BOcab d乙安培力做功 （
11、3 分）线圈离开磁场的过程中，安培力做功（2 分）整个过程中外力做功等于安培力做的总功 （1 分）（2）设线圈进入磁场前的初速度为 ，在左侧磁场中运动的速度为 , 线圈在右侧磁场中运动的速度为 ，线圈的质量为线圈在进入磁场过程中，根据动量定理得：（1 分）即 线圈从左侧磁场进入右侧磁场的过程中，同理可得：（1 分）即 线圈离开磁场的过程中，同理可得： （1 分）即 其中 其中所以 （1 分）由式解得 （2 分）所以 （2 分）7、如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为 B 的匀强磁场中有两条光滑固定的平行金属导轨MN、PQ，导轨足够长，间距为 L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直ab、cd 为两
12、根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接人回路中的电阻分别为 R，质量分别为 m与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与 cd 棒的中点连接，细线能承受的最大拉力为 T，一开始细线处于伸直状态，ab 棒在平行导轨的水平拉力 F 的作用下以加速度 a 向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨相垂直(1)求经多长时间细线被拉断？(2)若在细线被拉断瞬间撤去拉力 F，求两根金属棒之间距离增量X 的最大值是多少？解：（1） ab 棒以加速度 a 向右运动时，当细线断时， ab 棒运动的速度为 v，产生的感应电动势E=Blv 回路中的感应电流 I=E/2R cd 棒受到的安培力 FB
13、=T v=at 由、式得t=2RT/B2L2a (2)细线断后， ab 棒做减速运动， cd 棒做加速运动，两棒之间的距离增大，当两棒达共同速度 u而稳定运动时，两棒之间的距离增量 x 达到最大值，整个过程回路中磁通量的变化量 =BL x 由动量守恒定律得mv=2mu 回路中感应电动势的平均值E1= / t 回路中电流的平均值 I=E1/2R 对于 cd 棒，由动量定理得BILt=mu 由、 式得 x=2mR2T/R4L4 8、如图所示， 和 为两平行的光滑轨道，其中 和 部分为处于水平abcde/eabcd/e面内的导轨， 与 a/b 的间距为 与 间距的 2 倍， 、 部分为与水平导轨部分
14、处于竖直cd/ e/向上的匀强磁场中，弯轨部分处于匀强磁场外。在靠近 aa和 cc处分别放着两根金属棒 MN、 PQ，质量分别为 和 m。为使棒 PQ 沿导轨运动，且通过半圆轨道的最高点 ee，在初始位置必须至少2给棒 MN 以多大的冲量？设两段水平面导轨均足够长， PQ 出磁场时 MN 仍在宽导轨道上运动。解析：若棒 PQ 刚能通过半圆形轨道的最高点 ee，则由，Rvge2可得其在最高点时的速度 .gRve棒 PQ 在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在 dd的速度为 ，dv由 可得：Rmgved2122gRvd5两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路中存在感应电流，受安培力作用，棒 MN 速
15、度减小，棒 PQ 速度增大。当棒 MN 的速度 和棒 PQ 的速度 达到 时，回路中磁通量不再变化而无感应电流，1221v两者便做匀速运动，因而 。52gRvd在有感应电流存在时的每一瞬时，由 及 MN 为 PQ 长度的 2 倍可知，棒 MN 和 PQ 所受安培力 F1IlBF和 有关系 。2F21从而，在回路中存在感应电流的时间 t 内，有 。21F设棒 MN 的初速度为 ，在时间 t 内分别对两棒应用动量定理，有：0v， 112mtF2vF将以上两式相除，考虑到 ，1并将 、 的表达式代入，可得1v2 2530gRv从而至少应给棒 MN 的冲量： mI09、如图所示在水平面上有两条相互平行
16、的光滑绝缘导轨，两导轨间距工 L=1m，导轨的虚线范围内有一垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度 B=0.2T，磁场宽度 S 大于 L，左、右两边界与导轨垂直有一质量 m=0.2kg，电阻 r=0.1 边长也为 L 正方形金属框以某一初速度，沿导轨向右进入匀强磁场(1)若最终金属框只能有半面积离开磁场区域，试求金属框左边刚好进入磁场时的速度(2)若金属框右边剐要离开磁场时，虚线范围内磁插的磁感应强度以 K=0.1T/s 的变化率均匀减小。为使金属框此后能匀速离开磁场，对其平行于导轨方向加一水平外力，求金属框有一半面积离开磁场区域时水平外力的大小解：(1)金属框左边刚好进入磁场区域时的运动速度为
17、v，在磁场中作匀速运动设离开磁场运动过程的时间为 t，此过程中的平均感应电动势为： (1 分)BsttE(1 分)21L所受平均安培力： 安 = ： (1 分)FErBL由动量定理有： - 安 t=0-mv (2 分)解得： v= l ms (2 分)(2)金属框开始匀速离开磁场到有一半面积离开磁场区域的时间为：(1 分)2Lvt当线框一半面积离开磁场时，左边因切割磁感线而产生的电动势为：E1=(B-kt)Lv (2 分)因磁场变化而产生的感应电动势为：E 2= (2 分)2LkBts此回路产生逆时针方向的感应电流为： (分)12ErI则此时水平向右的外力大小为：F=F 安 =(B-kt)IL
18、 (1 分)代人数据，解得： F=0.3N10、如图所示导体棒 ab 质量为 100g，用绝缘细线悬挂后，恰好与宽度为 50cm 的光滑水平导轨良好接触.导轨上放有质量为 200g 的另一导体棒 cd，整个装置处于竖直向上的磁感强度 B=0.2T 的匀强磁场中，现将 ab 棒拉起 0.8m 高后无初速释放.当 ab 第一次摆到最低点与导轨瞬间接触后还能向左摆到0.45m 高处，求： cd 棒获得的速度大小；瞬间通过 ab 棒的电量；此过程中回路产生的焦耳热.答案：0.5m/s 1C 0.325J解:（1）（8 分）ab 棒下落过程中切割磁感线，产生感应电动势，但没有感应电流，只有落到最低点时接
19、触导轨与导轨组成闭合回路时，才有感应电流产生。棒在向下、向上运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒。最低点的速度为 （2 分）（2 分）当 ab 运动到最低点的瞬间，回路产生感应电流，磁场对 ab、cd 棒均有安培力作用，系统在水平方向上合外力为零，设 cd 棒获得的速度大小为 ，由动量守恒（2 分）（2 分）（2）（6 分）当 ab 棒与导轨接触的一段时间内，安培力对 ab 棒有冲量作用，使棒的动量发生变化（2 分）（2 分）（2 分）（3）（6 分）根据能的转化与守恒定律，对系统有abcd（4 分）（2 分）11、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 L，导轨上
20、面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路。如图 7 所示，两根导体棒的质量皆为 m 电阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨面内都有竖直向上的匀强磁场，磁场强度为 B。设两导棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒 cd 静止，棒 ab 有指向 cd 的速度 V0 如图。若两根导体棒在运动中始终不接触。求（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？（2）当棒 ab 的速度变为初速度的 3/4 时，棒 cd 的加速度时多少？解析：开始时 ab 向 cd 靠近，穿过回路的磁通量在减少，回路发生电磁感应现象，电流方向由楞次定律可判断从 a b d c a。于是电路中产生焦耳楞次热。同时感应
21、电流产生的安培力对 ab 棒作负功使速度减小，对 cd 棒做正功使其向右加速运动。随着 cd 棒的运动， ab、 cd 相对运动速度减小，感应电流 也减小，当两棒共速时，回路磁通量不变，感应电动势消失，电流消失，至此vrRlBI2回路产生热量最多。按上述分析，取两棒为系统，其运动过程等效于力学中光滑水平面上滑板滑块模型。因两棒长度相等安培力等值反向合力为零，系统动量守恒，机械能的减少量即为系统产生的总热量。其次只需求出 vab=3v0/4 时 ab 棒所受安培力即可由牛顿定律求出加速度 a 。取 ab 棒 v0为初态，共速 v 为末态，由动量守恒有mv0=2mv ， v=v0/2 。再由能量守恒，求得整个过程产生热量。20220411mvmEQK取初态 v0及 ab 速度 v=3 v0/4 为末态，由动量守恒，可求 cd 棒速度。Mv0=3mv0/4 + mv v= v0/4 。回路感应电动势： ， 0021)3(BlvvBl回路电流： ，RlErRI42cd 受安培力： ，0vlF由牛顿定律得加速度： 。024RmlBa图 7
