1、一、 填空 10% （每小题 2 分）1、 设 是由有限布尔格 诱导的代数系统，S 是布尔格 ，中所有原子的集合，则,A,A,A 。,2、 集合 S= ， 上的二元运算*为* 那么，代数系统中的幺元是 , 的逆元是 。3、 设 I 是整数集合，Z 3 是由模 3 的同余类组成的同余类集，在 Z3 上定义+ 3 如下： ，则+ 3 的mod)(3jiji运算表为 ；是否构成群 。4、 设 G 是 n 阶完全图，则 G 的边数 m= 。5、 如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。现有 28 个数需要计算和，它至少要执行 次这个加法指令。二、 选择 20% （每小题 2 分）1、 在有
2、理数集 Q 上定义的二元运算 *， 有 ，则 Q 中满足（ ） 。Qyx, xyy*A 所有元素都有逆元； B、只有唯一逆元；C、 时有逆元 ； D、所有元素都无逆元。1,12、设 S=0，1 ，*为普通乘法，则是（ ） 。A 半群，但不是独异点； B、只是独异点，但不是群；C、群； D、环，但不是群。3、图 给出一个格 L，则 L 是（ ） 。A、分配格； B、有补格； C、布尔格； D、 A,B,C 都不对。2、 有向图 D= ，则 长度为 2 的通路有（ ）条。41v到A、0； B、1； C、2； D、3 。3、 在 Peterson 图 中，至少填加（ ）条边才能构成 Euler 图。
3、A、1； B、2； C、4； D、5 。三、 判断 10% （每小题 2 分）1、 在代数系统中如果元素 的左逆元 存在，则它一定唯一且 。 （ ）Aa1ea1ea2、 设是群的子群，则 中幺元 e 是 中幺元。 （ ）3、 设 ， +,为普通加法和乘法，则代数系统是域。 （ ,3|均 为 有 理 数baxA）4、 设 G=是平面图，|V|=v, |E|=e，r 为其面数，则 v-e + r=2。 （ ）5、 如果一个有向图 D 是欧拉图，则 D 是强连通图。 （ ）四、证明 46%1、 设 ，是半群， e 是左幺元且 ，使得 ，则是群。 （10 分）Ax, ex*2、 循环群的任何非平凡子群
4、也是循环群。 （10 分）3、 设 aH 和 bH 是子群 H 在群 G 中的两个左陪集，证明：要末 ，要末 。 （8 分）bHabHa4、 设，是一个含幺环， |A|3，且对任意 ，都有 ，则不可能是整环（这时称是布尔环） 。 （8 分）5、 若图 G 不连通，则 G 的补图 是连通的。 （10 分）五、布尔表达式 8%设 是布尔代数 上的一个布尔表达式，试写出)()()(),( 32321321 xxxE ,1,0其的析取范式和合取范式。六、图的应用 16%1、 构造一个结点 v 与边数 e 奇偶性相反的欧拉图。 （6 分）2、 假设英文字母，a，e ，h，n，p，r，w，y 出现的频率分
5、别为 12%，8%，15% ，7%，6%，10% ，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出 happy new year 的编码信息。 （10 分）一、填空 10%（每小题 2 分）1、；2、，；3、 ,是；4、 ；5、9)(2n一、 选择 10%（每小题 2 分）题目 1 2 3 4 5答案 C B D B D二、判断 10%（每小题 2 分）题目 1 2 3 4 5答案 N Y Y N Y三、 证明 46%1、 （10 分）证明：（1） cbaAcba则若 *,cbea:,)*()( )*()(:即 使事 实 上 (2) e 是之幺元。事实上：由于 e 是左幺元，现证 e 是右幺元。
6、为 右 幺 元即由 使x xexxAx,*)1( *)(*,（3） 1则 xexex xeA* *)()(: 有 逆 元故 有事 实 上 由（2） ， （3）知：为群。2、 （10 分）证明：设 是循环群 ,G=(a)，设是的子群。且 ，则存在最小正整数 m，使得： ，对任意GSe, Sam，必有 ，Sal0,0,tmrtl故： 即：Saatltmltlr )(*atmrl )(*所以 但 m 是使 的最小正整数，且 ，所以 r=0 即：r Stmla)(这说明 S 中任意元素是 的乘幂。 所以 是以 为生成元的循环群。m+3 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 13、 （8 分
7、）证明：对集合 ，只有下列两种情况：bHa和（1） ； （2）bHa对于 ，则至少存在 ，使得 ，即有 ，这时任意 ，有h21, 21bha12hbaaHh，故有bha12同理可证： 所以 aHb4、 （8 分）证明：反证法：如果，是整环，且有三个以上元素，则存在 aaA且1,即有： 这与整环中无零因子条件矛盾。因此不可能是aaa)1(1,但整环。5、 （10 分）证明：因为 G=不连通，设其连通分支是 ， ，则有两种情况：)2(),)(1kVG Vvu,（1） u , v，分别属于两个不同结点子集 Vi， Vj，由于 G(Vi) , G(Vj)是两连通分支，故(u , v)在不 G 中，故
8、u , v 在中连通。G（2） u ,v ，属于同一个结点子集 Vi，可在另一结点子集 Vj 中任取一点 w，故(u , w),(w , v )均在 中，故邻接边( u ,w ) ( w , v ) 组成的路连接结点 u 和 v，即 u , v 在 中也是连通的。G五、布尔表达式 8%函数表为： 1x2x3x),(321xE0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1析取范式： )()( )(),( 321321 321321 xxxxE合取范式： )(),( 321321 六、 树的应用 16%1、 （6 分）解：2、 （1
9、0 分）解：根据权数构造最优二叉树：传输它们的最佳前缀码如上图所示，happy new year 的编码信息为：10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000 附：最优二叉树求解过程如下：一、单项选择题(本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分)1.设 P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（ ）A.PQB.PQC. PQD.PQ2.下列命题联结词集合中，是最小联结词组的是（ ）A.， B.，C.，D.，3.下列命题为假命题的是（ ）A.如果 2 是偶数，那么一个公式的析取范式惟一 B.如
10、果 2 是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果 2 是奇数，那么一个公式的析取范式惟一 D.如果 2 是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一4.谓词公式 x(P(x)yR(y)Q(x)中变元 x 是（ ）A.自由变元 B.约束变元 C.既不是自由变元也不是约束变元 D.既是自由变元也是约束变元5.若个体域为整数减，下列公式中值为真的是（ ）A. xy(x+y=0) B.y x(x+y=0)C. x y(x+y=0) D.xy(x+y=0)6.下列命题中不正确的是（ ）A.xx-xB.xx-xC.A=xx,则 xA 且 xAD.A-B=A=B7.设 P=x|(x+1)24，Q=x|x 2+1
11、65x,则下列选项正确的是（ ）A.PQB.PQC.QPD.Q=P8.下列表达式中不成立的是（ ）A.A(BC)=(A B) (AC) B.A(B C)=(AB) (AC)C.(AB)C=(AC) (BC) D.(A-B) C=(AC)-(BC)9.半群、群及独异点的关系是（ ）A.群 独异点 半群B.独异点 半群 群C. 独异点 群 半群D. 半群群独异点10.下列集合对所给的二元运算封闭的是（ ）A.正整数集上的减法运算 B.在正实数的集 R+上规定为 ab=ab-a-b a,bR +C.正整数集 Z+上的二元运算 为 xy=min(x,y) x,yZ +D.全体 nn 实可逆矩阵集合 R
12、nn 上的矩阵加法11.设集合 A=1，2，3，下列关系 R 中不是等价关系的是（ ）A.R=,B.R=,C.R=,D.R=,12.下列函数中为双射的是（ ）A.f：ZZ,f(j)=j(mod)B.f：NN,f(j)= C.f：Z N,f(j)=|2j|+1D.f：RR,f(r)=2r-15是 偶 数是 奇 数j,0113.设集合 A=a,b, c上的关系如下，具有传递性的是（ ）A.R=,B.R=,C.R=,D.R=14.含有 5 个结点，3 条边的不同构的简单图有（ ）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个15.设 D 的结点数大于 1，D=是强连通图，当且仅当（ ）A.D 中至少
13、有一条通路 B.D 中至少有一条回路C.D 中有通过每个结点至少一次的通路 D.D 中有通过每个结点至少一次的回路二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。16.设 A=1,2,3，B=3,4,5 ，则 AA=_，AB=_ 。17.设 A=1,2,3,4,5，RAA，R=，,，则 R 的自反闭包 r(R)=_。对称闭包 t(R)=_。18.设 P、Q 为两个命题，德摩根律可表示为_，吸收律可表示为_。19.对于公式 x(P(x)Q(x)，其中 P(x)x=1,Q(x)x=2,当论域为1,2时，其真值为_ ,当论域为0,1,
14、2时，其真值为_。20.设 fRR,f(x)=x+3,gRR,g(x)=2x+1,则复合函数 , 。_)(gfx _)x(fg21.3 个结点可构成_个不同构的简单无向图，可构成_个不同构的简单有向图。22.无向图 G=如左所示，则 G 的最大度(G)=_，G 的最小度 (G)=_ 。23.设图 G,V=v1,v2,v3,v4,若 G 的邻接矩阵 ，则 deg-(v1)=_ _,deg+(v4)=_。01A24.格 L 是分配格，当且仅当 L 既不含有与_同构的子格，也不含有与_同格的子格。25.给定集合 A=1,2,3,4,5，在集合 A 上定义两种关系：R=,S=, ，则， 。_SR _R
15、S三、计算题（本大题共 5 小题，第 26、27 题各 5 分，第 28、29 题各 6 分，第 30 题 8 分，共 30 分）26.设 A=a,b,c,d，A 上的等价关系 R=,I A，画出 R 的关系图，并求出 A 中各元素的等价类。27.构造命题公式（P Q） （PQ）的真值表。28.求下列公式的主析取范式和主合取范式：P（QP）（PQ） ）29.设 A=a, b, c, d, e，R 为 A 上的关系，R=，, , , I A，试画的哈斯图，并求 A 中的最大元，最小元，极大元，极小元。30.给定图 G 如图所示， （1） G 中长度为 4 的路有几条？其中有几条回路？（ 2）写出
16、 G 的可达矩阵。四、证明题（本大题共 3 小题，第 31、32 题各 6 分，第 33 题 8 分，共 20 分）31.设（L，）是格，试证明： a, b, c L, 有 a（b c）（ab）（ac） ；a（bc）（ab）（a c） 。32.设 R 是 A 上的自反和传递关系，如下定义 A 上的关系 T，使得 x, yA ，T R(y, x)R。证明 T 是 A 上的等价关系。33.设有 G=, V 的结点数|V|=n ，称该图为 n 阶图，若从结点 vi 到 vj 存在路，证明从 vi 到 vj 必存在长度小于等于 n-1 的一条路。五、应用题（本大题共 2 小题，第 34 题 7 分，第
17、 35 题 8 分，共 15 分）34.构造下面推理的证明。每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。35.今要将 6 人分成 3 组（每组 2 个人）去完成 3 项任务。已知每个人至少与其余 5 个人中的 3 个人能相互合作。（1）能否使得每组的 2 个人都能相互合作？（2）你能给出几种不同的分组方案？2008 年 4 月全国自考离散数学参考答案一填空题（每小题 2 分，共 10 分）1. 谓词公式 的前束范式是_ xyP(x)Q(y) _。)()(xQxP2. 设全集 则 AB =_2_， _4,5_，,5,31,54
18、,AE A_ 1,3,4,5 _BA3. 设 ，则 _ c,a,c,b,c,a,b,c _， _。bac, )( )(AB4. 在代数系统（N，+）中，其单位元是 0，仅有 _1_ 有逆元。5如果连通平面图 G 有 个顶点， 条边，则 G 有_e+2-n_个面。ne二选择题（每小题 2 分，共 10 分）1. 与命题公式 等价的公式是（ ）)(RQP（A） （B） （C ） （D）)()(RQP)(RP2. 设集合 ,A 上的二元关系 不具备关系( )性质cba,ba,（A） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性3. 在图 中,结点总度数与边数的关系是( )EVG(A) (
19、B) (C) (D) vi2)deg(Evi)degVviE2deg(VviE)deg(4. 设 D 是有 n 个结点的有向完全图 ,则图 D 的边数为( )(A) (B) (C) (D)1()(2/)1(n/1n5. 无向图 G 是欧拉图,当且仅当 ( )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且 G 的所有结点度数都是奇数。三计算题（共 43 分）1. 求命题公式 的主合取范式与主析取范式。 （6 分）rqp解：主合取方式：pq r(pqr) (pqr)(pqr)= 0.2.4主析取范式：pq r(pq
20、r) (pqr) (p qr) (p qr) (pqr)= 1.3.5.6.72. 设集合 上的二元关系 R 的关系矩阵为 ,求 的关系矩阵，并画出dcbaA, 10RM)(,)(RtsrR， 的关系图。 （10 分）)(,)(Rtsr3 无向图 G 有 12 条边，G 中有 6 个 3 度结点，其余结点的度数均小于 3，问 G 中至少有多少个结点？ （10 分）解：G（V,E） ，| E |=V，d（Vi）8故 G 中至少有 9 个节点。4 求下面两个图的最小生成树。 （12 分）5. 试判断 是否为格？说明理由。 （5 分）),(z解：（Z,）是格，理由如下：对于任意 aZ，aa 成立，满
21、足自反性；对于任意 aZ，bZ，若 ab 且 ba，则 a=b，满足反对称性；对于任意 a，b，cZ，若 ab，bc，则 ac，满足传递性；而对于任意 a，bZ，ab，b 为最小上界，a 为最大下界，故（Z，）是格。（注：什么是格？ ）四证明题（共 37 分）1. 用推理规则证明 。 （10 分）DACBA)(,)(,证明：编号 公式 依据（1） （BC）C 前提（2） BC，C （1）（3） B （2）（4） AB （3）（5） A （3）（4）（6） （AD） 前提（7） AD （6）（8） D （5）（6）2. 设 R 是实数集， ， 。求证： 都是满射，但不是单bafRf ),(: a
22、bgRg),(: gf和射。 （10 分）证明：要证f是满射，即yR,都存在（x1，x2）RR，使f（x1，x2）=y，而f（x1 ，x2）=x1+x2，可取x1=0，x2=y ，即证得；再证g是满射 ，即yR，,都存在（x1，x2 ）RR，使g（x1 ，x2）=y，而g（x1 ，x2）=x1x2，可取x1=1，x2=y ，即证得；最后证 f不是单射，f（x1，x2）=f（x2 ，x1）取 x1x2，即证得，同理：g（x1，x2 ）=g（x2，x1 ），取x1x2，即证得。3. 无向图 G 有 9 个结点，每个结点的度数不是 5 就是 6，求证：G 中至少有 5 个 6 度结点或 6 个 5 度结点。 （10 分）证明：设 G 中至多有 4 个 6 度结点且 5 个 5 度结点，d（Vi）=49 不是偶数，故它不是一个图，矛盾。（下面只供参考，个人答案）4. 设平面上有 100 个点，期中任意两点间的距离至少是 1，则最多有 300 对点距离恰好为 1。 （7 分）证明：设任意两点间的读书和恰好为 1，则满足：d（Vi）=2ed（Vi）661002ee300故最多只有 300 条边，即 300 对点距离恰好为 1.
