1、离散数学试卷（一）第 1 页 共 7 页一、单项选择题(本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1.一个连通的无向图 G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路C.汉密尔顿通路 D.初级回路2.设 G 是连通简单平面图，G 中有 11 个顶点 5 个面，则 G 中的边是( )A.10 B.12 C.16 D.143.在布尔代数 L 中，表达式(ab)(a bc)(bc)的等价式是( )A.b(a c)B.(ab) (a b)C.(ab) (a b
2、c)(bc)D.(bc)(a c)4.设 i 是虚数，是复数乘法运算，则 G=是群，下列是 G 的子群是( )A. B.-1, C.i, D.-i, 5.设 Z 为整数集，A 为集合， A 的幂集为 P(A),+、-、/ 为数的加、减、除运算，为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.Z，+ ，/ B.Z，/ C.Z，-，/ D.P(A)，6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.Q，*Q 是全体有理数集，*是数的乘法运算B.Mn(R),*,Mn(R)是全体 n 阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.Z， ， Z 是整数集， 定义为 x xy=xy, x,yZD.Z，+ ，Z 是整数集
3、，+是数的加法运算7.设 A=1,2,3，A 上二元关系 R 的关系图如下：R 具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设 A=a,b,c，A 上二元关系 R=a,a ， b,b,a,c，则关系 R 的对称闭包 S(R)是( )A.RI A B.R C.R c,a D.RI A9.设 X=a,b,c,Ix 是 X 上恒等关系，要使 Ixa,b ， b,c ， c,a ， b,aR 为 X 上的等价关系，R 应取( )A.c,a ， a,c B.c,b ， b,aC.c,a ， b,a D.a,c ， c,b10.下列式子正确的是( )A. B. C. D. 11.设解释 R
4、如下：论域 D 为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x是群。设 n 是正整数，求(a -1ba)n a-nbnan28.(6 分) 设 A=1,2,3,4,5,A 上偏序关系R=1，2 ， 3，2 ， 4，1 ， 4，2 ， 4，3 ， 3，5 ， 4，5I A;(1)作出偏序关系 R 的哈斯图(2)令 B=1,2,3,5，求 B 的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。29.(6 分) 求(PQ) (PQ)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。30.(5 分) 设带权无向图 G 如下，求 G 的最小生成树 T 及 T 的权总和，要求写出解的过程。31.(
5、4 分) 求公式( x)F(x,y)( y)G(x,y)( x)H(x)的前束范式。四、证明题 (共 20 分)32.(6 分) 设 T 是非平凡的无向树，T 中度数最大的顶点有 2 个，它们的度数为 k(k2),证明T 中至少有 2k-2 片树叶。33.(8 分) 设 A 是非空集合， F 是所有从 A 到 A 的双射函数的集合， 是函数复合运算。证明：F, 是群。34.(6 分) 在个体域 D=a1,a2,，a n中证明等价式：( x)(A(x)B(x) ( x)A(x)( x)B(x)五、应用题(共 15 分)35.(9 分) 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过
6、DELPHI 语言而且学过 C+语言。只要他学过 DELPHI 语言或者 C+语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。36.(6 分) 一次学术会议的理事会共有 20 个人参加，他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于 20。问能否把这 20 个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?离散数学试卷（一）第 4 页 共 7 页参考答案一、单项选择题(本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分)1.B 2.D 3.A 4.A 5.D6.D 7.D 8.
7、C 9.D 10.B11.A 12.A 13.C 14.B 15.C二、填空题16.0 117.1 018.单位元 119.xy xy20.入射 满射21.x R=y R 22.A(x) B(y)23.(M(x)D(x) M(x)D(x)24.可满足式 永假式(或矛盾式)25.陈述句 真值三、计算题26. M= 10M2=10ijji2148,Mij2146G 中长度为 2 的路总数为 18，长度为 2 的回路总数为 6。27.当 n 是偶数时， xP(A),x n=当 n 是奇数时， xP(A),x n=x于是：当 n 是偶数，(a -1b a ) n a -nb na n= (a -1)n
8、b na n= 当 n 是奇数时，(a -1b a ) n a -nb na n=a -1b a (a -1)nb na n=a -1b a a -1b a= 28.(1)偏序关系 R 的哈斯图为离散数学试卷（一）第 5 页 共 7 页(2)B 的最大元：无，最小元：无；极大元：2，5，极小元：1，3下界：4， 下确界 4；上界：无，上确界：无29.原式 (PQ)(PQ)(PQ) (PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(P Q) (P QP Q)(P Q)(PQ) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) P(QQ) P(QQ) (PQ)(PQ)命题为真的赋值是 P=1,Q=0 和 P=1,Q=130.
9、令 e1=(v1,v3), e2=(v4,v6)e3=(v2,v5), e4=(v3,v6)e5=(v2,v3), e6=(v1,v2)e7=(v1,v4), e8=(v4,v3)e9=(v3,v5), e10=(v5,v6)令 ai 为 ei 上的权，则a1,其中 V=v1,v2,，V 20是以 20 个人为顶点的集合，E中的边是若任两个人 vi 和 vj 相互认识则在 vi 与 vj 之间连一条边。ViV,d(v i)是与 vi 相互认识的人的数目，由题意知 vi,vjV 有 d(vi)+d(vj) 20,于是 G 中存在汉密尔顿回路。设 C=Vi1Vi2Vi20Vi1 是 G 中一条汉密尔顿回路，按这条回路的顺序按其排座位即符合要求。离散数学试卷（一）第 7 页 共 7 页
