1、42P.47 习题1按定义证明下列极限： 65limxx证 ，要 ，只需 ，于是 ，取 ，0x5| 5x05N，有 ，所以Nx| 6lim 2)16(li2x证 ，因为 ，不妨设 ，于是|4|0| x2x1|2|x，从而 . 所以 ，取31x |3|2|16|2 x 0， ，有,min|: |106| xx所以 )0(l2xx 15li2x证 ，设 ，要 ，0|x 1|4)|(1|44|15|22 xx只需 ，于是 ，取 ， ，有41|xNN|，所以|5|2 15lim2x 04lim22xx证 因为 ，于是 . 从而 ，取| xx2)(24 0， ，有 ，42x0: |所以 lim22x43
2、 0coslim0xx证 因为 |2sin|2sin|si|2| 0000 xxx. 所以 ，取 ， ，有|2|00xx|:0，所以|cos|0 0coslim0xx2根据定义 2 叙述 Afx)(li0解 ， ， ，0|:0x0|)(|Axf3设 ，证明fx)(lim0 hfh)(li0证 因为 ，所以A0， ， ，有 . |:0x|)(|Axf当 时，必有 ，从而 ，所以|0h|)(|0h|0hAxf)(lim4证明：若 ，则 . 当且仅当 为何值时反之也成立？xf)(li0 |)(|lim0Axfx证 因为 ，所以 ， ， ，有fx)(li0 0|:0x. 而 ，所以 .|)(|Axf
3、|)(| xfA|)(|lim0Afx当且仅当 为零时反之也成立.5证明： ffxf xx)(li)(lim)(li 000证 ）因为 ，所以 ， ， ，有Ax0 |0:0x. 于是当 ，也有 ，从而 . 同|)(|Axf 0 |)(|Af Afx)(lim044样，当 ，有 ，从而也有 .x0 |)(|Axf Axfx)(lim0）设 ，于是 ， ，当 ，fxxlim)(li00 0x有 ，当 ，也有 ，从而当 时，|)(|Af |)(|xf |有 .|x6讨论下列函数在 时的极限或左、右极限：0x f|)(解 ， ，所以1lim|li)(lim000 xfxx 1lim)(li00xfx不
4、存在.)(li0xf 解 ， ，所以0lili)(li00 xxxf 1lili)(li00 xxxf不存在.)(lim0fx 012)(xfx解 ， ，所以 .1lim)(li0xxf 1)(lim)(li200xxfx 1)(lim0xf7设 ，证明 .AAx证 ）因为 ，所以 ， ， ，有f)(li Nx. 现在取 ，当 时，有 ，于是 ，|)(|xf N10x1|)1(|Af所以 .Afx1lim08证明：对 Riemann 函数 有 ，)(xR0)(lim0x 1,45证 若 ，即 为无理数时，那末由于此时 ，所以有 . qpx 0)(xf |0)(|xf若 ，那末由于 是正整数，所
5、以对于任意的 ，使 （即 ）的 q11值只可能是有限个，设为 个，同时因为 ，从而以小于 的正整数 为分母的qmqp有理点 也只可能是有限个，设为 . 于是在 中除了这有限个点之外，pkx,21 1,0都使 ，从而对于 中的任一点 ，任给的 ，取qxf1)( ,00，那么由上面的讨论可知，当|,|,min| 00201 xxk时，就有 .|0x|)(|fP.51 习题1求下列极限：（3） 32)1(lim)1(2li12lim1 xxxxx（4） 2li3li)3()(li 02020 xxx（5） mnxxmnxmnx 1li )(1lili 21 （6） 3421)(li)321)(49l
6、im)(2(lili 444 xxxxxx46（7） axaxaxaxxx 21lim)(limli 202020 （8）分子、分母同除以 ：9. 902790279027 58315863li)15(863limxxxx2利用迫敛性求极限：（1） xxcosli解 因为 ，并且 ，所)0(,1x 1)(lim)1(li xxx以 1cslimxx（2） 4inl2解 因为 ，并且 所)0(,4si22xx 04li4li22xx以， . 0sil2x3设 ， . 证明：Af)(im0 Bgx)(li0（1） xl0（2） f)(i0（3） ， （当 B0 时）Axg)(lim0证明 因为 ，
7、 所以 ，分别存在 ，xf)(li0 Bxg)(lim0 001，使得当 时，有 ；当 时，有21|Af 2|x. |)(|Bxg47（1）证明 . BAxgfx)(lim0取 ，于是当 时，有,n21|00 2|)(|)(|()(| xgxfxgf所以 . BAxli0同理可证： xgf)(m0（2）因为 ，由 P.48 局部有界性定理 3.3，知存在 ，使 在xli0 03)(xf有界. 即存在 ，当 时， . 现在取),(30U0M30|xMxf|)(|，于是当 时，有,in321|x)(|)(|)(| |)(|)( BAfBxgf AxffgA 所以 xlim0（3）因为 ， ，于是由
8、 P.48 局部保号0)(li0gx 02)(lim0 xgx性定理 3.4 知，存在 ，当 时， . 现在取440|)(|Bx，于是当 时，有,min421|0x2|2|)(| |)()(| )(| BABxgBAf xgAffxgf 所以 . fx)(lim0484设 ，nmbaxbxbaxf nnmm ,0,)( 0110试求 . lifx解 ，于是mnnmnnmxx xbxbaxaf 110li)(li nmbaxfx0if)(li5设 ， . 证明： ，其中 为正整数. 0)(xfAxf)(li0 nnxAf)(lim0 2证明 因为 ，所以 . )(li0fx（1）当 A = 0
9、时，由 ，可得， ， ，当)(li0fx 0时，有 ，于是 ，所以|00xnf)(n )(li0nxf（2）当 A 0 时，因为 ，所以 ， ，当Afx)(lim0 时，有 ，于是|0x|)(|xfnn nnnnnnAxf AxfAxff11 13221|)(| )()()(| 因此 . xflim06证明 )(ax证明 先证： . ，若 ，则 ，因1li0xxxa1| 1x49为 ，于是 . 从而取 ，当 时，有10a)1(logax )1(logax0，所以 . 同理可证： . 因此 . |xim0x lim0xix7设 ， . Afx)(li0 Bx)(li0（1）若在某内有 ，问是否必
10、有 ？为什么？gA（2）证明：若 ，则在某 内有 . )(0xU)(xgf证明 （1）不一定. 例如，设 ， ，在 的任何邻域内，2f20都有 ，但 . )(xgf)(lim)(li00xgfx（2）由 ，取 ，于是存在 ，当Afxli0 2B1时，有 ，从而1|0xf)(；由 可知也存在 ，当2)(fxg)(li0 02时，有 ，从而 . 20|xBxg)( 2ABB取 ，于是当 时，同时有 ，即在邻,min1|00 )(2)(xfAx域 内，有 . )(0xU)(xf8求下列极限： 1li1|li00 nxnx m| 1)()()li1li 2121 xxx nnx )()()li 212
11、nx 32n50 nxxxx nnnxnx 1)1()(lim1li 200 xli解 由 P.50 例 1，知 . 令 ，于是li0xt 1limli0txt9 证明：若 存在，则 .)(m3fx)()(li300fxf 若 存在，试问是否成立 ?)(li20fx li2xx证明 设 ，则 ， ，当 时，有afx)(li3011|0x. 取 ，当 时，有 ，于是有|)(|3axf 1|x3|，所以|)(| 3af fx)(lim0 不一定. 如 , , 但 不存在.1xf 1li20fx )(li0xfP.55 习题1叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在. )(limxfxxxco
12、slim证明 对任何 有Afx)(li )(nn Afn)(取 ， ，则显然有 ，但n2)1y ,yxn12coslicos(li)(li xfnxx )(m)mnyyxn所以 不存在. xcsli2设 为定义在 上的增（减）函数. 证明： 存在的充要条件是 在f),a )(limxfxf上有上（下）界. ),a51证明 不妨设 为定义在 上的增函数. f),a充分性 假设 在 上有上界，由确界原理， 存在，设 . )(sup,xfaxAxfax)(sup,下面证明： . Axfx)(lim，由上确界的定义，存在 ，使得 . 取 ，则由0 ),axAxf)(xM的递增性，对任何 ，有 ，另一方
13、面，由于 A 是上确fMxf(界，有 ，更有 . 从而当 时，有 ，即A)(Af)(xxf)(，所以 . |xf xxlim必要性 设 ，取 ，存在 ，使得当 时， ，于fx)(li10Mx1|)(|Axf是 . 又因为 是定义在 上的增函数，所以对任何 ，也11Aff),a有 ，从而 在 上有上界 . )(xf),a1A3 （1）叙述极限 的柯西准则；(limxx（2）根据柯西准则叙述 不存在的充要条件，并应用它证明 不存在. )f xxsinlm证明 （1） 存在的充要条件是： ， ，对任何 ，(lix0M，有 . Mx |)|ff（2） 不存在的充要条件是： ， ，存在 ，)(limx0
14、x，使得 . |)(| xff下面证明 不存在：取 ， ，取 ，xsinl210MMx1，这里符号 表示不超过 最大整数. 于是有M21，所以 不存在.01|sii|)(| xff xxsinlm524设 在 内有定义. 证明：若对任何数列 且 ，f)(0xU)(0xUn0limxn极限 都存在，则所有这些极限都相等.limn证明 设任意的两个数列 ， ，满足 ， . nx)(0xy0lixn0lixyn构造数列： ，于是 ，由题设有 存 ,:21nyxz 0limzn)(zf在. 从而作为 的两个子列 ， 必有相同的极限.)(f )(nxf)(yf5设 为 上的递增函数. 证明： 和 都存在
15、，且0xU0)(0xf，)(sup)(00ffx)if)(00xfxU证明 仅证明 存在及 .(sup()0f先证 在 的空心左邻域 中有上界. 设 是 的空心右邻域 上任f0x)0xyx)(0xU一点，因为 为 上的递增函数，所以 ，有 ，即)(U)(0)(yff是 在 的空心左邻域 中的一个上界. 由确界原理， 存在，)(yff0x)(0x )(sup0xUx设 ，下面证明： .AxUsup)(0 Af，由上确界的定义，存在 ，使得 . 取 )(0xU Af)(，当 时，必有 ，则由 的递增性，有0x0，另一方面，由于 A 是上确界，有 ，更有 . Axff)( xf)(xf)(从而当 时
16、，有 ，即 ，所以0 xf)( |A. xfx)(lim0类似地可证 存在，且)(0f )(inf)0(0xxfUx解法 2 在 内任取严格递增数列 , （ ）, 则xU n0n53递增, 且有上界 , . 故由单调有界定理, 收敛. 于是)(nxf )(xf)(0xU)(nxf由归结原则知 存在. 记 ，下面证明： .0(f Afxsup)(0 A0显然 ，有 , 从而有 . 另一方面, 由上确界的定)0xUfxf)(0义, , 存在 , 使 . 因为 为 上的递增函数, 所(0 f)(f)(0xU以 . 由 的任意性, 得 . 从而 .Axf)(0 Ax0 A6设 为狄利克雷函数， . 证
17、明： 不存在. DR0)(lim0xDx证明 （用柯西准则证明）取 ， ，由有理数及实数的稠密性，在21中既有有理数，也有无理数，从中取有理数 ，取无理数),(0xU ),(0xU，于是 ， ，从而 ，所以 1)(xD0)(x21|)| D不存在. )(lim0xx解法 2 （用归结原则证明）取有理数列 ， ，则 . 再取无理数nr0x1)(limnr列 ， ，则 , 所以 不存在.nq0x0)(limnnq)(li0x7证明：若 为周期函数，且 ，则 . ffx f证明 只需对任何实数 ，证明 . y)(因为 ，所以 ， ， ，有 . 设 的周期为0)(lixfx 0Mx|)(|xff，则存
18、在整数 n ，使得 ，从而 . 即 ，都TTy|)(|nTyf 0有 ，所以 .|)(|yf 0)(f解法 2 设 的周期为 ，假设存在 , 使得 . 由题设 , 有0x0)(xf )(limxfx. 但是 . 矛盾.)(lim0nTxfn )(lim)(li fnTfn548证明：设函数 在点 的某空心右邻域 有定义， 的充要f0x)(0xU Axfx)(lim0条件是：对任何以 为极限的递减数列 ，有0nnnP.58 习题1求下列极限：（1） 2sinlm2sil00xx（2） 01siil)(sil 2323 xx（3）令 ，则 . tinl2coli0txt（4） 1csinlmtal
19、i00 x（5） 21cos1sinlmo)(is 2033 xxxx（6）令 ，于是 ，tarcntantairctli （7） 1silm1sil0xx（8） )sin()sin(liinil22 axaaaxax )sin(2cosilm)si(sicolim axxaax a2sin2（9） )1)(1(4sil14li00 xxx558)1(4sinlm1)(4sinlm00 xxxx（10） xxxx cos12inlicos12ilicos1li 0020 2s2inlm220xx2求下列极限：（1） 21li2li exxxxx （2） exxx1010)(lim)(li（3）
20、 xxx tan10cot0 )(li)an(li（4） 21010)(lili exxx（5）121212 3lim3lim3li xxxx 21231limex （6） xxxx 1li1li563证明： 12cos2coslim0 nnx xx证明 因为 ii2si，所以nn xx2sicosco21 （由于 ，故 ，从而 ）nnxis2cos1 0x02sinx于是 ，xxxxx nnnnn sii2slimsi2licos2coslim1 从而 lissli 020 xxnnx 4利用归结原则计算下列极限：（1） nsilim解 由于 ，所以由归结原则有0sinlili xxx 0s
21、inlimn（2）nn21lim解 因为12122 221 nnnn， ，enn1li ennnnnn 21212 limlili 2所以 n2lim解法 2 nnnnn 11111 22257enn1limP.66 习题1证明下列各式：（1） )0(2xOx证明 因为 ，所以2lim0x )0(2xOx（2） )0()sin23证明 因为 ，所以1il230xx )0()sin23xx（3） )0(1o证明 因为 ，所以01lim1li00 xxxx )0(1xox（4） )()1(on证明 因为 ，所以0li1)(li 3200 xCx nnnxx )(1)(on（5） 233xOx证明
22、因为 ，所以2lim3x )()323xOx（6） )()()( 0gogo证明 由高阶无穷小量的定义有 ，于是)(li0xx58，0)()(lim)(lim00 xgoxgoxx所以 0g（7） )()()()( 02121 xxoxo证明 因为 ，所以0)(lim)(li)(lim2121 000 xgogogxxx)()(21xogo2应用定理 3.12 求下列极限：（1） 0cos1limcos1licosartnlimxxxx（因为 ，见 p.58 习题 1（6） ）1rtlixx（2） （因为 ， ）12limcos1li2020xx 21x)0(2cosx4求下列函数所表示曲线的
23、渐近线：（1） （2） （3）xyxyarctnxy243解 （1）因为 ，所以直线 为垂直渐近线. x1lim00因为 ，所以直线 为水平渐近线. lix y（2）因为 ，所以直线 为水平渐近线. 2arctn 2y因为 ，所以直线 为水平渐近线. lix 59（3）因为 ， 所以直线 ， 为垂直渐近线. xx243lim0 xx243li 0x2由于 ，)(li)(li23fxx，所以有斜渐近线624lim4li)(li 23 xxkfxx 63xy5试确定 的值，使下列函数与 当 时为同阶无穷小量：0（1） （2）xsin2i)1(x（3） （4）1ta5324解 （1）因为 ，于是32
24、)1(cosin2si2in xxx，所以 . 1silm30xx 3（2）因为 ，于是 ，所以)0()(2x1)(lim20xx 2（3）因为 )0(cos)in1ta(sitsin1taxxxxx所以 1（4） ，所以 . 5252532)4(4xx6试确定 的值，使下列函数与 当 时为同阶无穷大量：x（1） （2） （3）52x)sin(2x)1()(12nxx60解 （1） ，所以)()1(25352 xxx 25（2） ，)|(4|sin|1sin|sin| 2 x所以 （3） ，所以11lim)1()(1lim22 nxnx xx 总练习题1 )1(lim1nxx解 令 ，t)1(
25、)(li)(li 01 mntnmx tt)()(li 22220 toCttoCt mnt )()(li 22220 tttnnmt )1)(li20 nntomt 2分别求出满足下述条件的常数 与 ：ab 0)1(lim2baxx解 因为 ，所以当01)()lim)(li 22 xbaxx时， 是比 高阶的无穷大，于是 ，x1(2baa，所以 ， .0baab61 0)1(lim2baxx解 由 ，知 . x 0a因为 bxxbaxxx 1)(lim)1(li 222 0(lim2xx所以 ， ，于是 1a， 01a01b2b )(li2axx解 由 ，知 .mx 0因为 baxxbaxx
26、x 1)(lim)1(li 222 0(li2xx所以 ， ，于是 ， 01a01b1a2b3试分别举出符合下列要求的函数 ：f )2(lim2fxf解 01)(f 不存在li2xf解 201)(f4试给出函数 的例子，使 恒成立，而在某一点 处有 . f0)(xf 0x0)(lim0xf这同极限的局部保号性矛盾吗？62解 0201)()xxf不矛盾，因为局部保号性，是由极限的符号来保证函数在某去心邻域内的符号.5设 , , 在何种条件下能由此推出 ?Axfa)(limBug)(li Bxfgax)(lim证明 设 , 且在某 内 , , 则fax)(0aUAfu. Bfgax)(li由 ,
27、, , , .uA0);(0u|(|Bg由 , 对上述 , , , . 即xfa)(lim);0aUx|(|Axf, 注意到条件 , 得 , 于是有;)(UfAxf)()Af|Bg所以 .Bxfgax)(li注 限制条件: “在某 内 ” 不能缺少. 例如，令 ，)(0aUAxf0)(xf. 则 , 而 , . 若 在点 A 连01)(uglim0ug1)(fg1)(lim0xfgxg续, 则不必有此限制条件.6设 ，试作数列xfcos)( 使得 （ ） ， （ ）.nxn 0)(nxf解 ，则 （ ） ， （ ）.2nx)(nfn 使得 （ ） ， （ ）.nyn )(nyf解 ，则 （ ）
28、 ， （ ）.y 使得 （ ） ， （ ）.nzn )(nzf63解 ，则 （ ） ， （ ）.)12(nznz)(nzf7证明：若数列 满足下列条件之一，则 是无穷大数列：aa |limrn证 设 ，则存在 ，使得当 时， ，于是 ，1q0NNnqn| nqa|而 是无穷大数列，所以 是无穷大数列.n na 1|limsan证 设 ，则存在 ，使得当 时， ，于是有q0NNnqan|1，|1qa|12NN| 1kkaq上述不等式两端分别相乘，可得 ， . 而 是无穷大|NN,2kq数列，所以 是无穷大数列，从而 是无穷大数列.kNa n8利用上题的结论求极限： 2)1(limnn解 ，所以1
29、)(li| eann 2)1(limnn 2)1(lin解 设 ，则 ，所以2)(nn 1)1(li|li enan，所以2)(limnn 01lim2649设 ，证明nalim nn21证明 因为 ，不妨设 （ ） ，于是有 ，nli 0na,210G， ， . 从而当 时，有01N1Ga1NnNnanna 1222 11再由 ，知存在 ，使得当 时， . 因此取0lim1n 02N2N1，当 时，有,ax21NnG21)(1所以 naan21lim(2) 若 ，则),(0nna21lim证明 由 ，知 . 由 P.40，总练习题 3 题的结论，有nali 0lin1li1lim212 nn
30、nna所以 .na1li10利用上题结果求极限： 因为 ，所以nli nn21lim!li 因为 ，所以mnnn ll)(11设 为 内的递增函数. 证明：若存在数列 且f)(0xU )(0xUn65（ ） ，使得 ，则有0xnAxfn)(limAxfxfUx)(sup)0(0证 先证 在 内有上界. 因为数列 收敛，所以数列 有上f)(0U nf nf界，即存在 ，使得 （ ）. ，因为 （MMxfn,21)(0x0x）所以存在数列 中的一项 ，使得 . 又因 为 内的递增函nmxf数，于是有 ，所以 在 内有上界.xffm)()f)(0U设 ，下面证明 在 的左极限 . 由上sup)(0B
31、xUx BxfxfUx)(sup)0确界的定义， ，有 ； ， ，使得0Bf)(. 取 ，由 的递增性， ，有xf)( xf );(),00xx，从而 ，所以 .Bf )( Bf(下面证明： . 因为 是 在 内的上界，所以 （ABf)0xUxfn)(） ，于是 . 由上确界的定义， ， ，,21nxfn)(lim0U使得 . 又因 （ ） ，所以存在 ，当 时，有Bxf)( 01N1，从而有 . 又因 ，存在 ，当n Bxffn)( Axfn)(lim2时，有 . 取 ，当 时，有2NAA,a21N，于是 ，所以 . 因此 .xffn)( BB12设函数 在 上满足方程 ，且 ，,0)(2x
32、ff Axfx)(li证明： ，Axf)(),(证明 , 对任何自然数 n, 有 , 所以0)2()2(xfxff nxfxfxfnn )2(lim)(li)(6613设函数 在 上满足方程 ，且f),0()(2xff，1(lim)(li0fxxx 证明： ，)(ff),证明： ，存在 ，使得当 时， ；存在0NNx|)1(|fx，当 时， . 对任何 , 若 , 则10x0|)1(|f ,01x存在正整数 , 使得 , 于是 , 从而有nn2 |)(|)| 2fxffxn. 若 , 同理可证也有 .)(fxfx()f14设函数 定义在 上, 在每一个有限区间 内有界, 并满足f)(a)(ba. 证明Axx )1(limAxf)(lim证明 由 , , , , ffx)(li 0Mx3|1| fx, 可表为Mk其中 k 为非负整数, . 于是0|)()()|)(| AxxffAxf |(| MAkf因为 在 内有界, 故只要取 充分大, 就能使下面两个不等式同时f)1,Ma)(成立: , 3|(|xf 3|Ax另一方面, 由 式, 有 |)()| Akfx |)()1()2()1(1|1 AMffxffxf 673|1kx结合 , , 式, 得 |)(|Axf
