1、1数学分析选论习题选第十章. 多元函数微分学1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限（1） , ；22)(),(yxyxf)0,(0（2） .,1sin),(f ),(0yx解 (1) 注意到 , ， 故两个累次极限均为 0，但是, ),(lim0yxfy )0,lim0fx )(y所以重极限不存在.,1),(linfn ,1,nn(2) 注意到 , , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 0),yfyf 1sin),4(2)(， 所以 .|,(|0xf0,(lim)0,( xfyx2 设 证明: .).,(,0),(2yxyf 0),(li)0,( yxfyx证明 对 由于 , |,|21
2、|21|0),(| 22yf 可知当 时,便有 . 故 .02yx |0),(|xf 0),(lim)0,( yxfyx3 设 证明： 不存在.24),(f ,lim)0,(,yfyx证明 注意到 ,24220(,)0,()li,li(1)xxyymxf m 它随 而异，因此 不存在.m,li),(,fyx4 讨论下列函数的连续性（1） )0,(,0,sin),(2yxyxf2（2） )0,(,02),(yxxyf解 （1）注意到 ， 有2|2 |2|sin|2i|,| xyxyf 因此, ，即 在（0，0）处连续.)0,(),(lim)0,( fyxfyx),(xf（2）注意到 , 故 在（
3、0，0）处不连续.,1,nn 541,limnn ),(yxf5 讨论函数 在点 处的偏导数的存在性.0,0,),( 22)(yxyxeyf ),(解 由定义知： ,1lim),(),(lim),( 300 xefffxx.300(,)(,)(,)liliyy yfff6 试讨论函数 在 处的可微性.0,0,),( 212yxexfyx ),(解. 因为, ,lim),()(lim),( 2/100 xxxx efff ,li,li, 2/100 yyyy fff所以, ,)(),(),( 2)/(12xefxf yx其中 , ， 0, 22/1yyx ,2y由此知 在 处可微 .),(f0,
4、7 设 , 而 , . 求 , . 和ln2vuz2yxeyv2xzdz解. 由于 , , , , 于是2yxe2yx1, )(22xuevxvzuxz y3.)14(122yxuevyvzuyz.dxdzdex)(22 dyyx)(228 设 是某可微函数的全微分，求 的值.2)(yaa解 不妨设该可微函数为 ，则按定义可得),(yxfz， ，2)(ax2)(由此知 . )(|ln)(2 xgyxgdyz从而又得 .)(2)(12x 联系到上面第一式，有或 ,)()(22xgyxa yxayxa222)()()() 从而 .9 设 . 求 , .),(yfz2xzy解 这里 是以 和 为自变
5、量的复合函数, 它可写成如下形式 , , . 由复合函)(vufzxy数求导法则知.vfyufxvfufxz1于是1)1( 22222 xvfuvfyxfufvfyufxz ,222fff)1(vfyufyxz4122222 yvfuvfyfyvuff .232 fvfxfy10 设在 上可微函数 满足 + ，试证：在极坐标系里 只是 的函数.2R),(fxf0y f证 对于复合函数 ， , 由于 yucosrsinr， = + ，sincoyxffr iffuyxxf0y因此当 时， ， 与 无关，即在极坐标系里 只是 的函数.0ru)sin,co(rrf f第十一章. 隐函数1 设 是由方
6、程 ，求 .),(yxzyzxlnd解 方程两边对 求偏导，有 , 因而 . xzz112 xz方程两边对 求偏导，有 ,y 22yyx因而 . 故 .xz2 dxzdz2 设 , 求 .022vuyxvu,解 方程组两边对 求偏导得到 , 因此有x02xxvyu， 。24vuyvx24ux方程组两边对 求偏导得到 , 因此 0yyv.22,4uxvuxyy53 设 由方程 所确定，试求 .),(yxz33axyz)(2xyz解 对原方程两端对 求导，可得 ，从而知xyz2. 3224222 )()/()1()( xyzyzxyzx 4 设 由方程 所确定，试求 .),(zx2xz解 对原方程
7、取对数，得 ，并该式两端对 求导，有ylnl，即 ，xzyzxllnxzl再对上式两端对 求导，得 )1)(ln)(lnl()ln(122 xzyzxzyzxyzx.2)(lz5 证明： 方程 所确定的隐函数 满足0/,/xzyxF ),(yxz.y证明 对方程 两边分别对 和 求偏导数，有0)/,/(xzyxx，1)1(22Fzy .0)1()1(2yzFyzF分别解得 ， ，21)(yx21x于是，得到 .)()(212 xyzyFzzz 6 试求椭球面 内接最大长方体的体积.22cbyax解 易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性
8、可知该长方体的体积为 ，从而问题转化为求函数 在条件),(zyx xyz8 xyzf8),(6下的最值问题。设辅助函数为 , 122czbyax )1(),( 22czbyaxyzxF, 则有0,.,022zyxcxFbyaz122czbya从中可得出唯一解 ， ， 。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体300y30cz在第一象限的顶点为 时达到最大体积),(cba.3838abcV7 求表面积为 , 而体积最大的长方体的体积.2a解 设长，宽，高分别为 ，则问题变为求函数 的最大值，联系方程为 zyx, )0,(zyxzV. 设辅助函数为022zyx，则有2, axzyx202yzxy
9、xza解方程组得到 ，因而最大体积为 .663aV8 求空间曲线 ， ， ，在点 （对应于 ）txsin1cosyt4sin2tz0p2t处的切线方程和法平面方程.解 将 代人参数方程，得点 ，该曲线的切向量为2t 0p),2(T=（ , 1),()zyx7于是得切线方程为 212zyx法平面方程为 =0，即 1()()() .42yx9 求椭圆面 在 处的切平面方程与法线方程.6322zyx,解 设 . 由于 在全空间上处处连续, 在),(2F2,4,6xyzFF处 于是, 得切平面方程为)1,(x,4yz,0)1(6)()(2即 .法线方程为 . 3zyx 312zyx第十三章. 重积分1
10、 设 是由直线 和 围成, 试求 的值.D,0x1yxdxyeID2解 先对 积分后对 积分 .103021 2ydeIy由分部积分法, 知 .eI362 设 是由矩形区域 ， 围成, 试求 的值.D1|x20ydxyID|2解 由于 则22,| xyxy dyxddI xD 22100122|txdx4/02/310310 cos86)(458463 设 = , 试求 的值.D2,1,:),( 22 xyyxyx dxyID8解 利用极坐标变换 cos213/0inrdrdxyID169sic)s6(413/044 试用变量代换计算下面的积分（1） , D 由 围成.dxyID2)1( ,0
11、yx（2） , .yxI3)( 1,0:),(yx解 （1）令 ，则 D 变成 ，且积分成为（xyvu/, 10,:),(vuv)/(2vuJ.211011 dvudvJuIDD（2） 令 ，则 D 变成 ，且原积分成为yx, uvu,1:),(.12)(1403udvdI5 设 是 上的正值连续函数，试证)(xf,ba，其中 是 ， .2)()(dyfDDbxay证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此 )()(21)( dxyfdxyfxyfDDD.2)( abff 6 计算 , 其中 为由平面 , , , , 与 所围成.Vyxdz2V1x0zxyyz解 在 平面上的投
12、影区域为 , 于是o21,:),(yD.2ln1|)ln(01022102212 dxyxxdxdzyyxdzV97 计算 ,dxyzIV2其中 积分区域为 ， 的公共部分.22a22)(azyx解法 1 用球坐标计算积分，积分区域分解成； ，其中21V；0,3,0:),(1arrV，2,cos2:),(2于是 drrdrrdI aa sincosinc 2s2020/3/2023/20 = .53/0 2/3/75625 489siosina 解法 2 用平行于 0xy 平面去截此 V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有 2222/2/02 zayxaaZayxV ddzdxyzI
13、= .52/2/02 4809)()( zaa 8 变换为球面坐标计算积分 .210yxxdd解 积分区域变换为球面坐标为 .2,4,:),( rrV于是, =2210yxxdzd drd2204/02/ cossin.15i524/0 9 设函数 连续， ,)(tf dvyxfztF)()(2其中 ， ，求 和 .hz0:2yxtF20(limtt解 因为区域 为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便)(2yxfdvyxfzdvtF)(2 dxyfdzxyztyxhth )(22 200210.rdfhtt)(3022rdfhtt)(2302于是, . 利用洛必达法则, 有23
14、tftdtF.)0(3)(lim)(li 2020 hftfhttt 10. 求曲面 被柱面 与平面 所割下部分的面积.zyx2yyz解 曲面方程表示为 , , , 22x2zyx于是所求面积S= . 2122122 9)()(1 ddzydyzxyD第十四章. 曲线与曲面积分1 计算 ， 其中 L 是摆线 Lyds ),sin(tax),cos1(tay的一段 （ ）.,0a2t解 由 , , 可得 , , 则 =txcos)( tysi)( 2sin)(22ttytx 0Lyds.20320 n4in1 adadt2 计算 ，其中 为以 ， ， ， 为顶点的正方形封闭ABCDyx|ABCD
15、)0,1(),(B)0,1(C),(D围线.解 段：直线方程 ， ，x10.)(|1dyyxdAB段：直线方程 ， ，C0x.2)1(|0dyxdBC段：直线方程 ， ，Dx011.0)1(|0xdyxdCD段：直线方程 ， ，A.21|0xdyxdDA于是有， =0 .ABC|3 计算 ，其中 为四分之一Lydxx2L)0,(22yxax的边界，依逆时针方向.解 设 ， ，则sincoay20原式 daa20 233 sincosi .8414s 4204202da4 解答下列问题（1）设 是光滑弧 上的连续函数， 长度记为 ，则),(yxP)(QABABl， ，ABlMdyxp|,| ma
16、x2),(QPy(2) 设 ， ， 则 ，22:RyxLLxdI22)( 0liRI（3）设 是曲线 上从 到 之线段，证明: 0,1,(.)1(2dsxxyIL解 (1) 注意到柯西不等式，2/12/122/12 )()sin(co)(|sinco| QPQPP ABABddI |)(|。Mlss2（2）由于 ， ，22)(),yxyxP 22)(),(yxyxQ可知 . 采用极坐标，222)(Q可得12.232322 )sin(41)cosin1()( RRxyQP由此知 , 利用题（1） ，有3),( 4maMLyx， 0842| 23RI).(（2） 因为 ，所以2)(1xdyds，
17、。2coxsxsy1cos.LLdxdyI)c(将曲线 用参数式表示，即令 ， ，且取顺时针方向为正，可知1):22x tcostyin.14cos)(sin/0 tttI5 判别下列表达式 .是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.dyxdxyx)234(423解 设 ，因为 , QyP),(),( 423xQyxP213则 是某函数 的全微分.且dyxdxx(42423yxu, dyyu23, 4,03xyxy,.2346 求 , 其中 是点 A(2,0)到点 O(0,0)的上半圆周.dyedxeICx 1cossin C解 用 轴上直线段 , 使上半圆周和直线段 构成封闭曲线. 设
18、, oAoAyeyxpxsin),(.有1cs),(yexQx.1)cos(yePxx于是,由格林公式知= .dyedxyeIabox cssin 2Dx其中在直线段 上, 有 , , 则A0)2(13.01cossin dyedxyeoAx因此 .2I 2i xoAx7 计算下列积分（1） ， 是 中的一条简单光滑闭曲线， 在 上连续可微.)(2ydfILL2R)(xfR（2） ， 是从点 到点 的直线段, 是 上的yxfyxL21( )32,(A1Bf连续函数.解 （1）由 可知),(),(2yxfP)(),(2xfQ， , xPfxyQ2Dy,其中 是 所围区域，由格林公式, 可得DL.
19、0),()(dxyxyI（2）由 , 可知，当yfP(1),(221),()(yxfQ0y时，有 。 从而取点 。 并作 ， 使 形闭曲线，记 所xy),(, )3,(CABCABCA围区域为 ，于是D dyxfydxyfdyfdyfI CBACABC 2222 1)()(1)()(1fxf )()3(203/2213/23/2.41dyftf8 求曲面 被平面 截下部分之曲面面积 S.xyz 0,x解 由 得 ，从而 。2 zyx/,/ xyzxzyx 2)()(122注意到该曲面上的点关于平面 对称，且其上半部分在平面 上的投影为区域oo，从而有yD10,: dyxdxxSD )(2210
20、14dxx)1(3)(2310./9 计算曲面积分 , 其中 为圆锥面 被曲面 所割下的部SdSzxy)( 2yxzaxyx22分.解 对于圆锥面 ，则 ，2z2yx2yx在 平面上投影区域为 ： ，于是SxyxyD2)(adSz)( dxyyxxy )(2rda2/ cos203csincos(i /0 44 )a.42/5 2156328cs8 aad10 计算 ， 其中 S 是由曲面 与平面 所围成立体表面的外SyxzeI2 2zxy2,1y侧.解 曲面 S1 取负侧，而投影区域为 D1： ，于是应用极坐标可得12zx，erdedzedxzeIDSy 201212 曲面 S2 取正侧，而投影区域为 D2： 2，于是应用极坐标可得x，202221erdedzxeISy 于是, .1()I11. 求 , 其中 S 是边长为 的正方体的外侧.dxyzydzxyzxS )(22 a解 利用高斯公式, 得IS )()(22Vdxyzaadxzy0015.420)1(adya12 计算 , 其中 是圆周 , ，若从L dzxzxy)3( L22Rzyx0zyx轴正向看出，L 是沿逆时针方向运行.x解 平面 的法线方向单位向量为 ， 围成 方程为 0z )31,(S,022zyxR依斯托克斯公式得，=L dzxyzdxy)3()2()1( Sxzyxdy321.2RxyzySS
