1、1统计专业和数学专业数学分练习题计算题1. 试求极限 .42lim)0,(,xyyx2. 试求极限 .)cos(122),(, yxyxe3. 试求极限 .1inli)0,(,yx4. 试讨论 .m42),(,yx5. 试求极限 .11li2)0,(, yxyx6. , 有连续的偏导数，求 fuf .,yux7. 求,arctnxyz,xe.dz8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程.2)3,1(M9. 求 在 处的泰勒公式.56),( yf )2,(10. 求函数 的极值.(22xey11. 叙述隐函数的定义.12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.13. 叙述隐函数可微性定理的内容
2、.14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.15. 讨论笛卡儿叶形线 033axyx所确定的隐函数 的一阶与二阶导数.)(fy16. 讨论方程 0),(323zyxzyxF在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.17. 设函数 , 方程23(,)fxyz.223xyzx(1)验证在点 附近由上面的方程能确定可微的隐函数 和 ;0(1,)P (,)yzx(,)zy(2)试求 和 ,以及它们在点 处的值.xfyz(,)xfyzf18. 讨论方程组201),( ,22xyvuyxGF在点 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。)2,1(0P19. 设方程组 221,0. uvxy问在什么条件下
3、,(1)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?,vxy(2)由方程组可以唯一确定 是 的可微函数?u20. 求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线与5022zyx 22z)5 ,43(法平面方程。21. 求曲面 在点 处的切平面与法线方程.3ze0(,1)M22. 抛物面 被平面 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最yx2zyx短距离.23. 叙述含参量 的正常积分定义.24. 叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.25. 叙述含参量 的无穷限反常积分定义.x26. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.27. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.28.
4、 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.31. 求 ).0(ln10abdxIab32. 计算积分 .10sil (,0)ndxb33. 计算 ).,(sini0 abpdxaeIpx并由此计算 00isi(), IaIxx34. 利用公式 , 计算20xed3.20()cosxrerd35. 利用可微性计算关于参数 的含参量反常积分a.0in()(0,)kxkaI并由此计算 00sisin(), xIadIdx36. 计算 ，其中 L 为单位圆周 .Ldsy| 12y37.计算 ，其中 L 为
5、从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.zyzx)()()(38.求积分 ,其中曲线 与 轴围成34432,525sinCBAxyd ,CABx的面积为 . S39.求 ,其中 .2332141Cxyxdxydy 2:1xyab40.求全微分 的原函数. zzz )()()( 2241.求 其中 由 围成.,Dxy2,yx42.求 ,其中 由 , 所围成22VzdV2zy220xzR的有界闭区域.43.求 与 所围成区域 的面积.2xyab0,ab0D44.求 ,其中 是 .2sinDdxyD21xyab45.求 ,其中 由 所围成的有界闭区VzxyV2221,403zz域.46.求 ,其中
6、 .Sd22:0yaha47.求 ,S 是 ,取球面的外侧为正侧.zxy(,)zxy48.设 具有连续导数,求()fu.22 23 3 31sinSz yxdyfydzxfzdxyzA其中 为 所围立体的表面的222222,0yxaba外侧.449.求 ,其中 是3323111sincos2xySxzdyxdzedA S的表面,取外侧为正侧 .22,Vya0a50.计算积分 ，其中 S 是椭球面 的S dxyzydzxI 2 122czbyx外侧. 51. 试求极限 .42lim)0,(,xyyx解 (,)0, (,)0,lilim(24)xy xyxy(,),1xy. 2. 试求极限 .(c
7、os1lim22)0,( yxyxe解 由2 222(,)0, (,)0,sin1cos(li lim)4()xy xyxy xyxee1. 3. 试求极限 .sin)(lim)0,( yxyx解 由于 (,)0, (,)0,111lisilimsinsin)xy xy yxx,又 ,2所以 (,)0,1limsinxyxy， (,)0,1lisin0xyxy, 所以 (,)0,li)sixyxy. 4. 试讨论 .42),(,yx解 当点 沿直线 趋于原点时，2342400limlixxy.当点 沿抛物线线 趋于原点时， ),(yx2244001lili2yyx. 因为二者不等，所以极限不存
8、在. 5. 试求极限 .11lim2)0,(, yyx6解 由 222(,)0, (,)0,)(1)limlim1xy xyyxyx=2(,),xy .6. , 有连续的偏导数，求 )(yfuf .,yux解 令 wxv则 ufvffxvwxyy7. 求,arctnxz,xe.dz解 由 21()yxx2(1)(xxee. 8. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。2yz)3,1M解 由于4,xyz,在 处 ， )3,1(M)(z2)(所以, 切平面方程为 13z.即 4230xyz法线方程为 1. 9. 求 在 处的泰勒公式.56),(22yxyxyf )2,(解 由 001,()f(
9、)41,0x xf,23,2y yf ,()4xxff(,)1,yy,ff. 得 2 2(,)5(1)()()fxxy. 10. 求函数 的极值.),(22yeyxf7解 由于 2222()()0xxfeyey10y解得驻点 ， ),1(2222(),),x xxyxfeyf2(1,)0,(1,)0,(1,)x xy yABfCfe2CBA 所以 是极小值点, 极小值为 )1( .2,ef11. 叙述隐函数的定义.答: 设 ， ，函数 对于方程 , 若存在集合RXY.:RYXF0),(yxF与 ，使得对于任何 ，恒有唯一确定的 ，使得 满足方程IJIxJ,则称由方程 确定了一个定义在 上，值域
10、含于 的隐函数。一0),(yxF0),(yIJ般可记为 且成立恒等式)(xf.JI(,),.FxfxI12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答: 若 满足下列条件:(,)Fxy（i）函数 F 在以 为内点的某一区域 上连续;0P),(yx2RD（ii） （通常称为初始条件）;),(y（iii）在 D 内存在连续的偏导数 ;yxF,（iv） 0,0,yxF则在点 的某邻域 内，方程 =0 唯一地确定了一个定义在某区间0PU)(yx,内的函数（隐函数） ，使得,(x)(f1 , 时 且 ；0yf,(0x)(,0PUx0)(,xfF2 在 内连续 .x)13. 叙述隐函数可微性定理的内容.答: 若
11、 满足下列条件:(,)Fy8（i）函数 F 在以 为内点的某一区域 上连续;0P),(yx2RD（ii） （通常称为初始条件）;),(y（iii）在 D 内存在连续的偏导数 ;yxF,（iv） 0,0,yxF又设在 D 内还存在连续的偏导数 ，则由方程 所确定的隐函数在),(yx0),(yx在其定义域 内有连续导函数，且)(xfy,(0x.),()(yxFf14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答: 设 在 的某邻域内有连续的导函数 ，且 ; 考虑方程)(xfy0 ()f0)(yxf.0),(xyx由于, , 0),(0yxF1yF00(,)(),xfx所以只要 ，就能满足隐函数定理的
12、所有条件，这时方程0()f能确定出在 的某邻域 内的连续可微隐函数 ，并(,Fxyx0y)(0yU)(ygx称它为函数 的反函数.反函数的导数是)(f 1() .()yxFgffx15. 解: 显然 及 在平面上任一点都连续，由隐函数定理axyF3),(3y,知道，在使得 的点 附近，方程 都能确02y x033axyx定隐函数 ；所以，它的一阶与二阶导数如下：)(xf对方程求关于 的导数（其中 是 的函数）并以 3 除之，得y,20ax或 （1）22.yay9于是 （2）2.ayx.02axy再对（1）式求导，得： 即 22()(),x（3）2 .yaxyx把（2）式代入（3）式的右边，得
13、3322() .)yaax再利用方程就得到 32 .()ayyx16. 解 : 由于 处处连续，根据隐函数定理zyz FF,01),0(,),0(18.3，在原点 附近能惟一确定连续可微得隐函数 ，且可求得它得偏导数, ),(xf如下： ,312xyzFxzzx.2yzy17. 解: (1)令 , 则有22(,)3Fxyzx.,23 xyzzFxy由于 均连续,且0(), yzP,00()1yzP故在点 附近由上述方程能确定隐函数 和 .0(1,) ()yx(,)zy(2)当 时 , 由定理知yF;23xxyFz同理, 当 时, 由定理知0zF10.23xxzFyz于是求得 233123(,)
14、,(), x xxfyzfyzyz232132(,)(). x xxfyzfyzzz并且有, .(1,)1xfy(,1)2xfz18. 解: 首先， 即 满足初始条件. 再求出 F，G 的所有一阶偏导数,0)0pGPFP,2vuFxy.1, vx容易验算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有0P.014),(00 PvxPGFvxF因此，只有 难以肯定能否作为以 为自变量的隐函数 . 除此之外，在 的近旁, ,yu0P任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得 的偏导数，只需对方程组分别关于 求偏导),(),(vuxvu,数，得到（1）,012uxy（2）.v由（1）解
15、出 .2,21yxuyxu由（2）解出11221,.vvxxyvy19. 解: 设,22(,)1Fxuxy.,Gyv(1) 关于 的雅可比行列式是,FGvu,2(,)()1uvFv当 时, 在满足方程组的任何一点 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定uv(,)xy是 的可微函数;,xy(2) 关于 的雅可比行列式是FG,2(,)()1xuFGyy当 时, 在满足方程组的任何一点 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定xuy(,)v是 的可微函数.,v20. 解: 设 ， . 它们在 处的50),(22zyxzF 22),(zyxzyG)5 ,43(偏导数和雅可比行列式之值为：,6xF,8y,10
16、zF,G,zG和， ， .160),(zyF(,)120Fzx0),(yxF所以曲线在 处的切线方程为：5 ,43(，05124603zyx即 ()(),5. z12法平面方程为，0)5()4(3)(4zyx即.x21. 解: 令 , 则(,)zFye,(),(,)1 zxyzFxye故 , 因此曲面在点 处的法向量为0 001,2 xyzMM02,(1)n所求切平面方程为,(2)()0xy即.4法线方程为 21,0xyz即 23,xyz22. 解: 这个问题实质上就是要求函数（空间点 到原点 的距离函数的平方）22),(zyxzyf(,)xy(0,)在条件 及 下的最大、最小值问题. 应用拉
17、格朗021日乘数法，令.222(,) 1Lxyzxyzxyzxyz对 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有.01,2,0zyxLLzyx求得这方程组的解为13,317,35与 （1）.2,1zyx（1 ）就是拉格朗日函数 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得 .由于),(zL所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值） ，故由1,),(2yxzxzy3,232f所求得的两个值 ，正是该椭圆到原点的最长距离 与最短距离 .3595935923. 叙述含参量 的正常积分定义.x答: 用积分形式所定义的这两个函数（1）.,),()(dcbaxyfI与 , （
18、2）)(xF通称为定义在 上含参量 的（正常）积分，或简称含参量积分.ba,（1）式的意义如下：设 是定义在矩形区域 上的二元函数。),(yxf dcbaR,当 取 上某定值时，函数 则是定义在 上以 y 为自变量的一元函数.倘若x, dc,这时 在 可积，则其积分值是 在 上取值的函数，记它为 ，就有)(yfdc, x)(xI.,dcbaxxI（2）式的意义如下：一般地，设 为定义在区域),(yxf上的二元函数，其中 为定义在 上的xdyxG),()(, )(,xdcba,连续函数，若对于 上每一固定的 值， 作为 的函数在闭区间 上ba,x),(yf )(xdc可积，则其积分值是 在 上取
19、值的函数，记作 时，就有 xxF.,),()()xdcyfF24. 叙述含参量 的正常积分的连续性定理的内容.答: 设二元函数 在区域),(f14bxadyxcG),()(,上连续，其中 为 上的连续函数，则函数)(,dxcba（6）)(,xdcyfF在 上连续.ba,25. 叙述含参量 的无穷限反常积分定义.x答: 设二元函数 定义在无界区域 上，若对),(yf (,),Rxyabcy于 上每一固定的 值，反常积分ba,(1)(,)cfxyd都收敛, 则它的值是 在 上取值的函数, 当记这个函数为 时, 则有xba()Ix,()(,) cIfxyab称(1)式为定义在 上的含参量 的无穷限反
20、常积分, 或简称含参量反常积分.,26. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.x答: 若含参量反常积分 与函数 对任给的正数 ，总存(,)cfxyd()(,)cIxfyd在某一实数 使得当 时，对一切 ，都有,NNMba,)(),(cxIyf即,),(Mdf则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 ，或简单地说含参量积分,cxyba,)(x在 上一致收敛.(,)cfxydba,27. 叙述含参量 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.答: 含参量反常积分 在 上一致收敛的充要条件是：对任给正数 ，总(,)cfxydba, 存在某一实数 ，使得当 时，对一切 ，都有MMA21 bax,
21、.1(,)fxyd28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.15答: 设对一切实数 Nc，含参量正常积分 对参量 在 上一致有界，即)(i Ncdyxf),(xba,存在正数 M，对一切 Nc 及一切 ，都有xba,;)(MyfNc对每一个 ，函数 关于 y 是单调递减且当 时，对参量)(ixba,xgy一致地收敛于 0. ,yxg则含参量反常积分 cdyxgf),(,在 上一致收敛ba,29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.答: 设在 上一致收敛；)(icdyxf),ba,对每一个 ，函数 为 的单调函数，且对参量 ， 在),(yxgx),(yg上一致有界，则含参量反常
22、积分ba, cdyxf),(,在 上一致收敛。,30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.答: 设 在 上连续，若 在 上一致收敛，),(yxf,cbacdyxfI),()(ba,则 在 上可积，且)I .),(),(baccba xyfdyxfd设 在 上连续.若),(yxf,关于 在任何闭区间 上一致收敛，iay,cdyxf),(关于 在任何区间 上一致收敛；xb,积分 （18）)(i acca dxyfdyxfd),(),(与中有一个收敛，16则（18）中另一个积分也收敛，且 .),(),(acca dxyfdyxf31. 解: 因为 所以 由于函数 在 上,lnxdyxbbabayx
23、I.10ybaR,10满足定理 的条件，所以交换积分顺序得到6.19 .1ln10 abdyyIbaba 32. 解: 因为,01limsnl0baxx0lilbaxx所以该积分是正常积分.交换积分次序, 得.1 1 10 0 0sinlsinl sinlbabbyyaaxIdxdxdxy在上面的内层积分中作变换 ,有lu,1 (1) 200 1sinlsin()y yuxdxedy于是.1 20sil arct(1)arctn(1)1()b bya aIxxyb 解法二: 取 为参量, 利用积分号下求导数的方法, 有1 20()sinl(1)bIbxd积分上式,可得 ()arct()Ic由于
24、 ,即有 ,于是有()0Iaarctn1.()rta()rctan(1)Ib1733. 解: 因为 ，所以baxydxbcossini0ieIp0cosdxyebapx（21）由于 及反常积分 收敛，根据魏尔斯特拉斯 M 判别法，含参pxpxeyecos0dxep量反常积分 0cosypx在 上一致收敛.由于 在 上连续，根据定理 19.11 交换积分ba, yepxcosba,),（21 ）的顺序，积分 I 的值不变 .于是ba bapx dypdd20s.rctnrt在上述证明中，令 ，则有0b, (22)si()arctn(0)pxFedp由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在 上一致收
25、敛.于是由定理 19.9， 在0)(pF上连续，且0p .sin)(0dxaF又由（22）式 00()lim()liarctsgn.2ppIa a在上式中，令 ，则有 .12I34. 解: 由于 对任一实数 成立及反常积分 收敛 ，所以原积分2cosxxerer02xe在 上收敛.,r考察含参量反常积分, (24)2 200cossinx xrederd18由于 对一切 成立及反常积分 收敛，22sinxxerer,002dxe根据魏尔斯特拉斯 M 判别法，含参量积分（ 24）在 上一致收敛.,综合上述结果由定理 19.10 即得 Axx rderder00 sinlimsin)( 22xxA
26、0co1i1lim22.cos02 rrderx于是有,2lnln4rc.2re从而 ，又由原积分， ，所以 ，因此得到c002dx2c.242rer35. 解: 把含参数 的反常积分a.0sin()(0,)kxkaId中的被积函数关于 求偏导数 , 可得,0coskxe当 时, 有0k,kxkxy因此, 由 M 判别法, 关于参量 是一致收敛的,因此对 可以在积分0coskxead0a()kIa号下求导,即.20()coskxk kIed因为 ,所以(0)kI.1201()arctnakkIdk于是19.000sinsin()limlimarctn2kxk kaxIded 令 ,有 .1a2
27、36.解： . |Lyds 220cossin|i| 4si037.解： 直线段的参数方程是：， 132tzytx于是， L dzxyzdx)()()( 10 )3()2()( dttt.2710t38.解:原式 ,CBAABPxQyxy04bDdxyd ,CAB2S0,0bx39.解: 23321CxydxydA.44D Dxab40.解： 由于，因此，全微分dzyxdyzdzxyzyxd )2()2()2()(2 的原函数是 . ) Cx241.解:().画出积分区域yxo20(). . 1 0xDxydyd31220xxd3042.解: 22Vz 2 4sinRrr. 4400sinRd
28、rd5 5401co2R43.解: yv2uvoxo(). 由 ,得 .2xyab22110yyabab于是 ,故 是抛物线.令 ,得22240BACxy.故 与 轴相交于 .0,xaxyba,0a().令 ,则 ，故 uxyvab,2.uvy,2xaybuvyv(). 2DDabSdudv2 1 12001uabadud44.解: sinxy 2 0sinr. 120ird 120cord 12201sin4r445.解: Vzxy2 2 3 4rz.2 4 2 30 31rdrd 5 2 33019rd.624 0152146.解：因为 ,故 ,22zaxy2222,x yzzaaxy .
29、22222211xy y于是 .22xySDdaydxza 2xyDadh47.解：S 是 分解为两部分:22(0,)zx,21: ,0z.2y故 Szdxy12SSzzdx2 22xy xyDDaadxy.22xyd 232016rra48.解：原式= 222 2133Vyyf fzdxyzzzz 223()xydx 240sinbadrdr. 4406sinbar2615zyox49.解:().画出积分区域 z22oyx().原式= .22Vxyzdx 2 200.sinadrdr54a50.解：由 Gauss 公式，得 ，由广 VS VzyxyzxyI )(22义球坐标变换 , ，得cosinrzbyax sin),(2abcrrJ 20 22221022 sin)cosii( drabadI222220sincosini54().1bcba
