1、 1 2009大专A班数学分析第13章二重积分的计算练习题解答 一、求下列二重积分： 1. 2 2( )d d R x y x y , 其中R： 1 1x ， 1 1y . 解： 13 1 1 12 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )d d d ( )d d3 R yx y x y x x y y x y x 13 1 2 1 0 2 8(2 )d 4( ) 3 3 3 3 x xx x . 2. (3 2 )d d R x y x y ，其中R是由坐标轴与 2x y 所围成的闭区域. 解: 如图，积分区域可以表示为x型区域: 0 2y x ,0 2x .于是有 (3 2 )d d R x
2、 y x y 2 2 2 22 00 0 0d (3 2 )d 3 d x xx x y y xy y x 2 2 0 (4 2 2 )dx x x 23 2 0 2 20(4 ) 3 3 xx x . 3. cos( )d d R x x y x y ,其中R是以(0,0) (,0) (,)为顶点的三角形区域. 解: 如图，积分区域可以表示为x型区域: 0 y x ,0 x .于是有 cos( )d d R x x y x y 0 0 0 0 d cos( )d sin( ) dx xx x x y y x x y x 0 0 1(sin2 sin )d d(cos cos2 ) 2x x
3、x x x x x 00 1 1 1 3(cos cos2 ) (cos cos2 )d ( 1 ) 0 2 2 2 2x x x x x x . 4. d d R x y x y ，其中R是由 2y x 与y x 所围成的闭区域. 解: 如图.积分区域可以表示为x型区域: 2x y x ,0 1x . 于是有 d d R x y x y 22 31 1 2 0 0 2d d d 3 x x xxx x y y x y x 71 44 0 2 ( )d 3 x x x 111 54 0 2 4 1 6( ) 3 11 5 55x x . x y y x o x x y 2 2 2y x o x
4、 2 5. ( + )d d R x y x y , 其中R： 1x y . 解：如图，积分区域为两个x型区域 1R 与 2R 之并， 其中 1R ： 1 1x y x , 1 0 x ， 1R 2R 2R ： 1 1x y x , 0 1x 于是有 1 2 ( + )d d ( + )d d ( + )d d R R R x y x y x y x y x y x y 0 1 1 1 1 1 0 1 d ( )d d ( )dx x x x x y x y x x y y 0 11 12 2 1 11 0 1 1( ) d ( ) d 2 2 x x x x y x x y x x 0 12
5、 2 1 0 1 1 21 (2 1) d 1 (2 1) d 2 2 3x x x x 6. 2 2( )d d R x y x x y ，其中R是由直线 2y ,y x 及 2y x 所围成的闭区域. 解: 如图，积分区域可以表示为y型区域: 2y x y ,0 2y . 于是有 2 2( )d d R x y x x y 3 22 2 2 2 2 0 02 2 d ( )d d3 2 y y y y x xy x y x x y x y 2 3 2 0 19 3 13( )d 24 8 6y y y 7. d d1 R x x y y ，其中R是由 2 1y x , 2y x 及 0 x
6、 所围成的闭区域. 解：如图，积分区域可以表示为x型区域: 22 1x y x ,0 1x . 于是有 d d1 R x x y y 2 21 1 1 1 20 2 0 1d d ln( 1) d 1 x x xxx x y x y xy 1 12 0 0 ln( 2)d ln(2 1)dx x x x x x 9 1ln3 ln 2 8 2 x y 1 2y x o x 2 2 1y x 1 3 8. sin d d R x x y x ，其中R是由直线y x , 2 xy 及 2x 所围成的闭区域. 解：将二重积分化为先y后x的累次积分 积分区域可表示为x型区域: 2x y x ,0 2x
7、 （如图） 故 sin d d R x x y x 2 2 0 02 sin 1 1d d sin d (1 cos2) 2 2 x x x x y x x x 9. 2sin d d R y x y ，其中R是由直线y x , 1y 及 0 x 所围成的闭区域. 解：将二重积分化为先x后y的累次积分 积分区域可表示为y型区域: 0 x y ,0 1y （如图） 故 2sin d d R y x y 1 12 2 0 0 0 1sin d d sin d (1 cos1) 2 yy y x y y y 10. 2d dy R e x y ，其中R是由直线 1y x , 2y 及 1x 所围成的
8、闭区域. 解：将二重积分化为先x后y的累次积分 积分区域可表示为y型区域: 1 1x y ,0 2y （如图） 故 2d dy R e x y 2 22 1 2 4 0 1 0 1d d d (1 ) 2 yy ye y x ye y e 二、将二重积分 ( , )d d R f x y x y 化为不同次序的累次积分，其中区域R分别是： 1.由直线y x 及抛物线 2 4y x 所围成. 解：积分区域如图 (1) 将二重积分化为先x后y的累次积分 积分区域为y型区域: 2 4 y x y ,0 4y ,于是有 ( , )d d R f x y x y 24 0 4 d ( , )dyyy f
9、 x y x (2) 将二重积分化为先y后x的累次积分 积分区域为x型区域: 2x y x ,0 4x ,于是有 ( , )d d R f x y x y 4 2 0 d ( , )dx x x f x y y x y 2 2 y x o x 2 xy x y 1 1 y x o y x y 2 3 1y x o 1 y 4 2.由x轴及半圆周 2 2 2x y r ( 0)y 所围成. 解：积分区域如图，有 ( , )d d R f x y x y 2 2 0 d ( , )dr r x r x f x y y 2 2 2 20 d ( , )d r r y r y y f x y x 3.
10、环形闭区域: 2 21 4x y . 解：积分区域如图可分成4个小的x型区域(或y型区域),于是有 ( , )d d R f x y x y 2 2 2 2 1 4 1 1 1 1 1 4 d ( , )d d ( , )dx x x x x f x y y x f x y y 2 2 2 2 1 4 2 4 2 4 1 4 d ( , )d d ( , )dx x x x x f x y y x f x y y . 或 ( , )d d R f x y x y 2 2 2 2 1 4 1 1 1 1 1 4 d ( , )d d ( , )dy y y y y f x y x y f x y
11、 x 2 2 2 2 1 4 2 4 2 4 1 4 d ( , )d d ( , )dy y y y y f x y x y f x y x 4.由双曲线 2xy ,抛物线 21y x 及直线 2x 所围成. 解：积分区域如图 表示为x型区域: 22 1y xx ,1 2x , 有 ( , )d d R f x y x y 22 1 21 d ( , )d x x x f x y y 表示为两个y型区域: 1R ： 2 2xy ,1 2y ； 2R ： 1 2y x ,2 5y , 有 ( , )d d R f x y x y 2 2 5 22 1 2 1 d ( , )d d ( , )d
12、 yy y f x y x y f x y x 5.由圆 2 2 2x y x , 2 2 4x y x 及直线y x , 0y 所围成. 解：积分区域如图 可以表示为两个x型区域: 1R ： 22x x y x ,1 2x ； 2R ： 20 4y x x ,2 4x , x y r 2 2 2x y r or x y 1 2xy o 5 21y x 2 2 1 x y 2 y x o 1 2 2 4x y x 4 2 1 2 2 2x y x 5 有 ( , )d d R f x y x y 2 2 2 4 4 1 2 2 0 d ( , )d d ( , )dx x x x x x f
13、x y y x f x y y 可以表示为两个y型区域: 1R ： 2 21 1 2 4y x y ,0 1y ； 2R ： 22 4y x y , 1 2y , 有 ( , )d d R f x y x y 2 2 2 1 2 4 2 2 4 0 1 1 1 d ( , )d d ( , )dy y y y y f x y x y f x y x 三、改变下列累次积分的积分次序： 1. 1 0 0 d ( , )dyy f x y x . 解: 所给累次积分为先x后y的积分,积分区域为: 0 x y ,0 1y ,(如图). 改变积分次序,积分区域可以表示为: 1x y ,0 1x ,于是有
14、 1 0 0 d ( , )dyy f x y x ( , )d d D f x y x y 1 1 0 d ( , )d x x f x y y . 2. 22 2 0 d ( , )dy y y f x y x . 解: 所给累次积分为先x后y的积分,积分区域为: 2 2y x y ,0 2y ,(如图). 改变积分次序,积分区域可以表示为: 2x y x ,0 4x ,于是有 2 2 2 0 d ( , )dy y y f x y x 4 0 2 d ( , )dxxx f x y y . 3. ln 1 0 d ( , )de xx f x y y . 解: 所给累次积分为先y后x的积
15、分,积分区域为: 0 lny x ,1 x e ,(如图). x y 2 y x o 1 2 2 4x y x 4 2 1 2 2 2x y x 6 改变积分次序,积分区域可以表示为: ye x e ,0 1y ,于是有 ln 1 0 d ( , )de xx f x y y 1 0 d ( , )dye e y f x y x . 4. sin 0 sin 2 d ( , )dxxx f x y y . 解: 所给累次积分为先y后x的积分,积分区域为: sin sin2x y x ,0 x ,(如图). 改变积分次序, 积分区域为两个y型区域 1D 与 2D 之并， 其中 1D ：arcsi
16、n arcsiny x y , 0 1y ， 2D ： 2arcsin y x , 1 0y ， 于是有 sin 0 sin 2 d ( , )dxxx f x y y 1 arcsin 0 0 arcsin 1 2arcsin d ( , )d d ( , )dy y y y f x y x y f x y x . 5. 1 2 2 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )dx xx f x y y x f x y y . 解: 所给累次积分为两个先y后x的积分之和,故积分区域为两个x型 区域 1D 与 2D 之并，其中 1D ：0 y x , 0 1x ； 2D ：0 2y x ,
17、 1 2x 改变积分次序,积分区域可以表示为: 2y x y ,0 1y ,于是有 1 2 2 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )dx xx f x y y x f x y y 1 20 d ( , )dyyy f x y x . 6. 21 1 1 0 d ( , )dx x x f x y y . 解: 积分区域如图,有 原式 2 21 2 2 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )dy y yy f x y x y f x y x . 7 7. 1 2 3 3 0 0 1 0 d ( , )d d ( , )dy yy f x y x y f x y x . 解:
18、 积分区域如图. 原式 2 3 0 2 d ( , )dxxx f x y y . 8. 14 ( 4) 2 0 4 d ( , )dy y y f x y x . 解: 积分区域如图. 原式 20 4 2 2 4 d ( , )dx x x f x y y 9. 2 20 4 2 4 2 22 0 2 2 d ( , )d d ( , )dx xx xx f x y y x f x y y . 解: 积分区域如图. 原式 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 0 4 0 2 2 1 4 d ( , )d d ( , )d d ( , )dy y y y y y y f x y x y f x y x y f x y x 10. 21 1 0 1 d ( , )dy y y f x y x . 解: 积分区域如图.化为先y后x的累次积分, 积分区域为两个x型区域 1D 与 2D 之并， 其中 1D ：1 1x y , 0 1x ； 2D ： 1 1x y , 1 2x 故原式 1 1 2 1 0 1 1 1 d ( , )d d ( , )d x x x f x y y x f x y y x y 3 3x y o 2 2x y 1 x y 2 2 2 4x y o2 1 x y 1 1y x o 2 1y 1y x
