1、.项目编号：GJJ 一般项目 项目类别 重点项目 江西省教育厅科学技术研究项目 申 请 书项目名称： 等距算子的延拓，逼近以及其应用 所属学科：泛函分析申 请 者：梁晓斌申请单位：上饶师范学院 申请日期：2010-6-2 江 西 省 教 育 厅二 O 一 O 年 .填 报 说 明 一、申请书各项内容，要实事求是，逐条认真填写。表达要明确、严谨，字迹要清晰易辨。外来语要同时用原文和中文表达。第一次出现的缩写词，须注出全称。二、申请书请用 A4 纸打印（复印），于左侧装订成册。第二页起各栏空格不够时，请自行加页。申请书一式三份（至少一份为原件），由所在单位审查签署意见后，统一报送省教育厅。申请项目
2、一经省教育厅批准立项，该“申请书”转为科技合同书执行，作为项目立项、管理及验收的依据。 三、封面左上角“项目编号”由省教育厅填写。 四、封面右上角“项目类别”由申请者在相应方框内打“”即可。 五、封面“所属学科”为申请项目所属的学科。“所属学科”按国家教委 1997颁布的授予博士、硕士学位和培养研究生的学科、专业目录的二级学科名称填写。未设二级学科的按一级学科名称填写。 六、“研究类别”栏目的填写，将相应提示符 A、B、C 之一填入该栏的右下角。基础研究（含应用基础研究） 指以认识自然现象、探索自然规律为目的及以获取新知识、新原理、新方法为主要目的的研究。 应用研究 指为获得新知识而进行的创造
3、性的研究，它主要是针对某一特定的实际目的或目标。 试验发展 指利用从科学研究和实际经验中所获得的现有知识、生产新材料、新产品、新装置、新流程和新方法，或对现有的材料、产品、装置、流程、方法进行本质性的改进而进行的系统性工作。 七、部分栏目填写要求： 项目名称 应确切反映研究内容和范围，最多不超过 25 个汉字。 申请金额 指申请教育厅经费金额。以万元为单位，用阿拉伯数字表示。 起止年月 起始时间从申请的次年 1 月算起。终止时间为完成年度的12 月。 项目组主要成员 指在项目组内对学术思想、技术路线的制定与理论分析及对项目的完成起主要作用的人员。参加单位数 指研究项目组主要成员所在单位数，包括
4、主持单位和合作单位(合作者所在单位)，以阿拉伯数字表示。 .一、简表 项目名称 等距算子的延拓，逼近以及其应用 英文名称 On Extensions and Approximations and Applications of Isometric Operators 研究类别 基础研究 项目类别 科研项目 项目级别 一般项目 所属学科 数学 泛函分析 合作单位数 0 个项目研究开始时间 2011-01 结束时间 2013-12 申请金额 1.5000 万元 姓名 梁晓斌 性别 男 身份证号 361102197212042038 学位 硕士 职称 中级 出生年月 1972 住宅电话 手机 159
5、70331809 电子邮箱 主持人 单位电话0793 8154855 单位联系人 吕岿 从事专业 逼近与最优化理论 合作单位 合作单位 单位电话 单位联系人 单位意见 项目组主要参与人员 姓名 性别 身份证号码 职称 学位 从事专业 所在单位 课题分工 签名黄时祥 男362301197211012038 副高 硕士 计算数学上饶师范学院 分析实验汪小明 男362323197806225118 讲师 硕士 微分方程上饶师范学院 应用实践.二、立项依据(包括项目的研究意义、国内外研究现状分析和发展趋势)1987 年 D.Tingley 在文献1 中提出如下等距算子延拓问题: 设 E、F 为赋范空
6、间，且其单位球面为 S(E) 和 S(F) ， 设 V:S(E) S(F)是一个满等距的， 那么 V 是否必为某线性或者仿线性算子在 S(E)上的限制? 对于一般的赋范空间, 即使二维空间上的 Tingley 问题也远还没有解决。D.Tingley 问题一方面有助于推动另外一个经典问题（一般的赋范空间线性等距算子的表现形式如何?）的 解决，另一方面问题本身的解决（过程）所产生的新思想或方法可能应用到最优化，控制理论等物理现实中。正因为如此，它自然引发了国内外数学工作者的高度关注。如国外的 Rassias T M 在文献2 中，Omladic M 3，Dowling P N45,Dilworth
7、 S J6等等, 研究了 等具10,lc体空间的情形。国内定光桂等人也做了大量的工作，文献系列78910 等（均发表中国科学等权威期刊） ，通过找到了赋 p- 范数空间线性等距算子的表现形式的方法, 完美的解决了 的单位球面间的满等距算子能否延拓为()pl全空间上的实线性等距算子问题。明显地, 如果能确定赋范空间线性等距算子的形式,对解决 D.Tingley 问题会有极大的帮助.众所周知，欧氏空间的线性等距算子的表现形式就是正交矩阵,利用正交阵我们也就能构造出新的标准正交基,这就给我们解决欧氏空间中的许多问题带来莫大的便利.正因如此,我们非常想知道是否存在其他的赋范空间（有限或者无限维的）,也
8、能通过原基“旋转 “得到具有相同赋范的新基呢?进而一般地赋范空间的线性等距算子的表现形式如何呢?这是自 Banach 引入 Banach 空间时就开始考虑过的经典问题，直到今天我们也只有在 Banach 本人的经典名著17中，.可以看到空间 c 上线性等距算子的表现定理, 当然对于某些具体的如赋 -p 范数实空间,文献457等也有一些结论 .但是,如果在非确定的范数情形下 ,迄今为止,据我所知，几乎没有任何结果.此时问题是相当困难，进展甚缓 .（关于此问题，本项目申请人最新得到了二维空间上的一些原创性结果，已经被安排发表在 数学物理学报 2010 年第四期。关于有限维维空间上的情形，我们也有了
9、重大突破和结果。 ）另一方面，将等距嵌入以及保范延拓应用在最优化以及控制论等物理现实中，这是一个持续的热点。如 waston 在文献11 ，李冲12 ，王玉文13，王建华14 ，以及梁晓斌在 15中，都做了不少的工作。特别是王玉文在 13首先得到了点到超平面的距离具体的计算表达公式，王建华在14进行了推广，这些都是不小的突破。但是大多数最优化以及最优控制中的问题不能化归为点到超平面（余一维）的距离，更值得重视的是如何解决一般 Banach 空间点到有限维（或者余有限维）空间（或者集合）距离最佳逼近计算问题。而将保范（或者保值）延拓和等距( )逼近方法结合在一起解决该问题的方法应该有着很好的发展
10、趋势和前途。 (在 16中本项目申请人正是应用保值延拓和等距逼近方法首先提出一个点到有限余维空间的具体计算公式，注意到一般 Banach 空间无正交概念，所以要做到一个通用的具体计算公式是不容易的。这亦是一个非常值得进一步思考研究的领域。 )参考文献1Tingley D. Isomet ries of the unit sphere J .Geomet ric Dediceta,1987 ,22 :271 378.2RassiasTM and SemrlP. ON the Mazur-Ulan theorem and the Aleksandrov Problem for unit .dist
11、ance preserving mapping J.Proc .Amer. Math.soc.,1993,118:919-925.3OmladicMand semrl P.On noliner perturbations of iometriesJ.Math.ann.,1995,303:617-628.4DowlingP N.Asymptotically Isometric copies of in Banach spacesJ .J.Math.anal.,0c1998,219:377-391.5Dowling P N.Isometric copies of in duals of Banac
12、h spaces J.J.Math.anal.,2000,244:223-l227.6Dilworth S J,Girardi M and Hagler J. Dual Banach spaces which contain an isometric copy of J.Bull.Polish Acad.Sci.Math.,2000,48(1):1-12.1L7DING Guang-gui. The 1-Lipschitz mapping between the unit spheres of two Hilbert spaces can be extended to a real linea
13、r isometry of the whole space J. Science in China,Ser.A, 2002, 45: 479-483.8DING Guang-gui.The isometric extension problem in the unit spheres of l_p(Gamma)(p1) type spacesJ. Science in China,Ser.A ,2003，36(3):991-995.9DING Guang-gui.Samll into isometric from C0 into C() type.J.Acta.math.scientia.20
14、08.2:307-31110定光桂.AL-空间单位球面上的等距算子的延拓J. 中国科学 A.2008,38(5):541-555.11 Watson, C,Li, Best simultaneous approximation of infiuite set of function.Computer math,Applic.1999,37:1-9.12 C,Li, On Best simultaneous approximation.J.Approx,Theory.1996,26:23-34.13王玉文,余金凤.Banach 空间一类度量投影的判据与表达式 ,数学物理学报,2001,21A(1
15、):29-35.14王建华. 非自反Banach 空间的度量投影, 数学物理学报,2006,26A(6):840-846.15梁晓斌，黄时祥，王建华.关于无限直和空间 E(x)中弱紧集上的单值远达点,数学杂志，2009，Vol.29(5):661-670.16LiangXiaobin HuanShixiang. On the Problem of Distance From a Point to the Subspace of Finite Codimension in Real Banach Space, to appear.17Banchs.TheorivedesopverationsLi
16、nveairs.Warszawa:Monografie.Matematyczne.1932.三、研究方案1、 研究内容、研究目标和拟解决的关键问题研究内容（1 ）：一般地赋范空间的线性等距算子的表现形式问题，在此基础上进一步研究一般的赋范空间的 D.Tingley 问题。研究目标和拟解决的关键问题：首先完全解决（或者有条件解决）有限维空间线性等距算子的表现形式问题。 （注意：一般地非具体有限维赋范空间线性等距算子问题并非是简单平凡的。事实上此问题相当困难，迄今为止, 据我所知，除了本项目申请人得到二维空间的一个原创性结果外，国内外几乎没有任何一般性已知结果。 ）其次运用有限维空间线性等距算子的
17、表现形式，解决对应的 D.Tingley 问题。解决问题的关键就是一般地赋范空间的线性等距算子的表现形式。研究内容（2 ）：等距嵌入以及保范延拓在最优化以及控制论中的应用。研究目标和拟解决的关键问题：给出能解决某类赋范空间上关于点到有限余维空间（或者集合）距离问题的具体计算公式，或者得到能控制估计误差的有实际应用价值意义的近似计算公式。其中的关键是寻找合适的相应空间“小波正交基”。.2、 拟采取的研究方法、技术路线、实验方案及可行性分析研究方法：1）泛函分析中的对偶方法，延拓和等距逼近方法。2）代数中有限循环群方法，组合数学方法。3）计算机辅助证明方法。技术路线：遵循从简到难、从具体赋范空间到
18、一般抽象赋范空间的研究技术路线，先对二维空间进行研究，从中得到启示，进而研究有限维的情况；再研究无限维情形。并且尽量发挥现代计算技术的优势，使用计算机辅助证明。理论与实践相结合，从实践中归纳抽象出一般理论，再重新指导应用于实践。可行性分析：（1）前期工作准备充分。近年来本项目申请人一直在从事本项目的前期研究工作，并且已经获得了一些比较好的结果，积累了一定的经验。研究方法已被我们的实践证明是合理和可行的。（2）有好的合作团队。本项目组成员都是具有硕士学位青年教师，精力充沛，研究方向包含了逼近与优化，计算数学，微分方程与控制理论三个方向的人员。有机的组合更保证了成功的可能性，各成员对本项目具有浓厚
19、兴趣，能全心投入该领域。（3）工作条件和研究基础良好。本项目组成员具有扎实的理论基础，已取.得了不错的研究成果，已在国内核心和CSCD以上学术期刊上发表/ 录用相关文章多篇。（4）对于本项目所涉及的一些问题，一些国内外同行已经在这一方面取得了一些好的成果，为我们提供了重要的资料依据和参考。我们的研究方案从理论到实践都是切实可行的，我们相信在研究周期中完全能够达到预期的研究目标，取得很好的成绩。3、 本项目创新点及特色本项目研究的问题是经典且远未解决的，当然此问题使用常规思想和方法是比较难解决的。所以必须有全新的方法和思想。一：该课题研究方法的新颖性、创新性，即：通过泛函和代数巧妙结合，本项目申
20、请人首次得到了关于某类非具体赋范的二维空间上的线性等距算子表现形式的原创性结果，这种的方法是全新的。另外，在经典和基础理论问题中使用计算机（mathlab 环境下）辅助证明，这也是一个特色，国内使用此方法解决问题很少见。 （当然，在国外这是一个很.热的领域，比如最著名的就是使用计算机解决经典难题四色问题。 ）二：该课题应用领域研究方面创新性，即将等距嵌入以及保范延拓在最优化以及最优控制理论中的应用，我们已应用保值延拓和等距逼近方法得到了一个点到有限余维空间的具体计算公式。应用研究领域也是本项目有创新和特色的部分。.4、 年度研究计划及预期进展本 课 题 预 计 三 年 内 完 成 ：(1) 2
21、011.12011.4 提 出 总 体 研 究 计 划 方 案 。(2) 2011.52012.8 初 步 （ 有 条 件 ） 解 决 有限维空间线性等距算子的表现形式问题，解决某些对应的 D.Tingley 问题，并发表论文 1-2 篇。 奠 定 思想 方 法 的 基 础 。(3) 2012.92013.9 研 究 等距嵌入以及保范延拓在最优化以及控制论中的应用，力争得到有比较大应用价值的结果，并发表论文 1-2 篇。(4) 2013.92013.12 总结项目成果，申请结题。5、 预期研究成果、提供成果的形式及预期成果要达到的技术、经济指标力争在 CSCD 核心期刊上发表或者录用论文 2-
22、3 篇(在国家一级期刊或者sci 级期刊至少一篇)，要求具有较高的学术参考价值和学术意义， sci 期刊必须是比较知名有一定影响力的，尽量争取能在中国科学上发表文章。.四、研究基础1、 与本项目有关的研究工作积累和已取得的研究工作成绩自 2005 年以来，课题申请成员在核心和 CSCD 以上期刊共发表了和课题相关论文 6 篇，另外 SCI 级期刊录用一篇。研究方向主要在逼近理论，最优控制理论，以及数值实现方面。其中与本项目密切相关的等距嵌入逼近，二维空间上线性等距算子表现形式的研究已经有了初步成果（成果已分别被数学杂志和数学物理学报CSCD 核心库，Linear Algebra and its
23、 ApplicationsSCI源刊 发表或录用）。这些前期研究基础和结果为我们进一步的深入探索提供了参考和提示。因此，我们具有完成本项目的切实可行的、扎实的前期工作基础。项目申请人以及成员近 期 发表/录用有 关 的 学术论 文 ：其中申请人的姓名用*代替。1 *.置换空间中的最佳逼近.数学研究.2006, Vol. 39(2):216-222。2 *.置换空间中的最佳逼近存在性与唯一性定理.大学数学.2008.Vol.24(6):105-109。3*.关于无限直和空间 E(x)中弱紧集上的单值远达点.数学杂志.2009， Vol.29(5):661-670.4 *.两个同类的 E_2 型空
24、间线性等距映射的表现定理 ，数学物理学报.2010,Vol. 30(4). 5 *.On the Representation of linear Isometries operator in the finite dimensional space with the normed symmetric basis. J.Linear Algebra and its Applications. SCI 源刊 to appear.6 *. On the problem of distance from a point to the subspace of finite codimension in
25、 real Banach space. J.Approx,Theory. SCI 源刊 to appear.7 *.一类求解非线性约束问题的区间算法. 大学数学.2008,Vol.25(2):120-126.8 *. p-Laplacian 方程的 Aubry-Mather 集. 应用数学学报 .2010,Vol.33(2):374-3849 *.板 几 何 中 一 类 具 反 射 边 界 条 件 的 奇 异 迁 移 算 子 的 谱 应 用 泛 函 分 析 学 报 ，2009， （ 1） ： 47-542、 已具备的实验条件或资料准备情况，尚缺少的实验条件或资料，拟解决的途径课题组所在学院为科
26、研工作提供了良好的环境。学校图书馆有相当数量的文献图书，并购置了较为完善的中外文电子文献，为查找文献提供了条件，能够使用 scholar ，google 和 citeseer 等搜索工具查找文献。课题组虽然已有了一定的前期研究准备，资料积累,但是反映最新发展动向的相关资料还有待于进一步搜集, 庞大的高维计算还需要高性能的计算机支持。我们计划请求兄弟院校或国外教授支持,参加适量的国际、国内学术会议等途径 ,跟踪收集反映国外最新研究动态的文献资料。.五.项目经费 申请教育经费 自筹经费 1.50(万元) 0.50(万元) 注：自筹经费来源渠道应附相应的有效证明或材料，装订在申请书后面。 支出科目 金额（万元） 支出说明1.科研业务费 0.8 出版/文献/信息传播/专家咨询费/知识产权事务费2.试验材料费 0.3 计算软件，电脑耗材3.仪器设备费 0.1 4.实验室改装费 0.0 5.协作费 0.5 含兄弟院校高性能计算机支持，协助等6.管理费 0.0 7.其它经费 0.3 会议，差旅费等.六、审查意见1.高等学校科技管理部门审查意见（公 章）年 月 日2.高等学校审核意见（公 章）年 月 日七、省教育厅审批意见:（公 章）年 月 日.
