1、.中学数学建模思想数学建模是一种实用性非常强的解题思想，在解决许多复杂的实际问题时有很大的帮助，所以建模教学进入中学课堂是一种趋势也是一种必然. 一、 什么是数学建模？所谓数学建模就是把所要研究的实验问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。其基本思路是：实际问题 数学模型 数学问题的解新世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素
2、质教育跃上一个新的高度。数学建模的概念数学建模就是通过对实际问题的抽象、简化确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题，求解该数学问题、解释、验证所得到的过程.它是一种数学思维方式，是对“现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”. 在数学学习活动中，认识问题和解决问题，都是知识与方法相互作用的结果 初中数学中重要的数学思想有：字母代数的思想、转化与化归的思想、数形结4合思想、分类的思想、方程与函数的思想、公理化思想等数学方法有：类比法、归纳法、演绎法、配方法、换元法、待定系数法、数形结合法等这些思想方法相互联系，相互渗透
3、，相互补充，将整个数学知识构成一个有机和谐统一的整体数学建模教学要重视数学知识，更应突出数学思想方法建模活动包括以下四个主要过程：1、问题分析过程：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质；2、假设化简过程：选出影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，这样既简化了问题以便进行数学描述，抓住了问题的本质；3、建模求解过程：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序对模型进行求解；4、验证修改过程：检验模型是否符合实际，并对它做出解释，最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益或经济效益. 抽象(转化)求解(运用数学知识、方法)返回解释(检验).建模解题的基本步骤数学建模是一个数学解
4、题过程，大致分为以下四个步骤：1、审题：现在的高中数学应用题的题目较长，要求学生具有较强的数学阅读能力.通过仔细阅读题目，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量和未知量的内在联系. 审题时要准确理解关键语句的数学意义，如“至少” 、“不大于” 、“总共”、“增加” 、“减少”等，明确变量和参数，合理设元. 2、建立数学模型：将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数学符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型. 3、求解数学模型：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中
5、特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件. 4、检验：既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题做出合乎实际意义的回答. 建模解题的基本题型一、建立“方程（组） ”模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系， “方程（组） ”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组） ”模型，通过列方程（组）加以解决例 1（2007 年深圳市中考试题）A、B 两地相距 18
6、公里，甲工程队要在 A、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在 A、B 两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设 1 公里，甲工程对提前 3 周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？解：设甲工程队每周铺设管道 x 公里，则乙工程队每周铺设管道（x1）公里。依题意得： 38x解得 x1=2， x 2=3经检验 x1=2，x 2=3 都是原方程的根。但 x2=3 不符合题意，舍去。x1=3答：甲工程队每周铺设管道 2 公里，则乙工程队每周铺设管道 3 公里。.二、建立“不等式（组） ”模型现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统
7、筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。例 2 （2007 年茂名市中考试题）某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共 100 只，付款总额不得超过 11815 元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：品名 厂家批发价(元/只)商场零价（元/只）篮球 130 160排球 100 120（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场能把这 100 只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于 2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？
8、解：（1）该采购员最多可购进篮球只，则排球为（100x）只，依题意得：130x100（100x）11815解得 x60.5x 是正整数，x60答：购进篮球和排球共 100 只时，该采购员最多可购进篮球 60 只。（2）该采购员至少要购进篮球只，则排球为（100x）只，依题意得：30x20（100x）2580解得 x58由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这 100 只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球 60 只，此时排球平均每天销售.40 只，商场可盈利（160130）60（120100）40=1800800=2600（元）答：采购员至少要购进篮球 58 只，该商场最多可盈利 26
9、00 元。三、建立“函数”模型函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。例 3 （2007 年贵州贵阳市中考试题）某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱。（1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式。（3）当每箱苹果
10、的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）y=903（x50） 化简，得 y=3x240（2）w=（x40） （3x240）=3x 2360x9600（3）w=3x 2360x9600= 3（x60） 21125.a=30 抛物线开口向下当 x=60 时，w 有最大值，又 x60，w 随 x 的增大而增大，当 x=55 时，w 的最大值为 1125 元，当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得最大利润 1125 元的最大利润四、建立“几何”模型几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题
11、转化为几何问题加以解决例 4 （2007 年广西壮族自治区南宁市中考试题）如图点 P 表示广场上的一盏照明灯。（1）请你在图中画出小敏在照明灯 P 照射下的影子（用线段表示） ；（2）若小丽到灯柱 MO 的距离为 1.5 米，小丽目测照明灯 P 的仰角为 55，她的目高 QB 为 1.6 米，试求照明灯 P 到地面的距离；结果精确到 0.1 米；参考数据：tan55 1.428，sin550.819，cos550.574。解：（1）如图，线段 AC 是小敏的影子。（2）过点 Q 作 QEMO 于 E，过点P 作 PFAB 于 F，交 EQ 于点 D，则 PFEQ。在 RtPDQ 中，QM PA
12、 O 4.5 米 B小敏 灯柱 小丽55QE DFM PC A O 4.5 米 B小敏 灯柱 小丽55.PQD=55，DQ=EQED=4.51.5=3（米） 。tan55= DQPPD=3 tan554.3（米）DF=QB=1.6 米PF=PDDF=4.31.6=5.9（米） 。答：照明灯到地面的距离为 5.9 米。五、建立“统计”模型统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。例 5 （2007 年后湖北省荆州市中考试题）为了了解全市今年 8 万名初中毕业生
13、的体育升学考试成绩状况（满分为 30 分，得分均是整数） ，从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整） ，已知第一小组的频率为 0.12。回答下列问题：（1）在这个问题中，总体是 ，样本容量为 （2）第四小组的频率为 ，请补全频数分布直方图。（3）被抽取的样本的中位数落在第 小组内。频数(人)1801206015.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分).（4）若成绩在 24 分以上的为“优秀” ，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数。解：（1）8 万名初中毕业生的体育升学考试 成绩， =500。12.06（2）0.
14、26，补图如图所示。（3）三（4）由样本知优秀率为 100=28 5013估计 8 万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为 2880000=22400（人） 。六、建立“概率”模型概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。例 6 （2007 年辽宁省中考试题）四张质地相同的卡片如图所示。将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上。频数(人)1801206015.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分)游戏规则:随机抽取一张卡片,记下数字放回,洗匀后再取一张,将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为十位数
15、字和个位数字，若组成的二位数不超过 32，则小贝胜，反之则小晶胜.2 632.（1） 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字 2 的概率（2） 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图。你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由。若认为不公平，请你修改法则，使游戏变得公平。解：（1）P（抽到 2）= 14根据题意可列表2 2 3 62 22 22 23 262 22 22 23 263 32 32 33 366 62 62 63 66画树状图如下：2 2 3 6 2 2 3 62 2 3 62 2 3 62222第一次抛第二次抛.从表（或树状图）中可以看出所有可能的结果共有 16
16、 种，符号条件的有10 种，P（两位数不超过 32）= =，游戏不公平。调整规则如下。方法一：将游戏规则中的 32 换成 2631（包括 26 和 31）之间的任何一个数都能使游戏公平。方法二：游戏规则改为抽到的两位数中，不超过 32 的得 3 分，抽到的两位数超过 32 的得 5 分。方法三：游戏规则改为组成的两位数中，若个位数字是 2，则小贝胜，反之小晶胜。例 1：如图，三个相同的正方形，求证：12390。此问题多次出现在课本上（初中几何第二册 P.67 的复习参考题 21），其重要性可见一斑。以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：在距电视塔底部 100 米，200 米，300 米的三处
17、，观察电视塔顶，测得的仰角之和为90，那么电视塔高为多少？只要有课本题的基础，就一定得出电视塔高为 100 米，否则三个仰角之和要么大于 90，要么小于 90。只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。例 2：几何模型：条件：如图 7，A、B 是直线 同旁的两个定点。l问题：在直线 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小。l方法是：作点 A 关于直线 的对称点 A，连结 AB 交 于点 P，则lPA+PB=A B 的值最小（不必证明） 。.模型应用：（1）如图 8，正方
18、形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点。连结 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称。连结 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 。（2）如图 9，O 的半径为 2，点 A、B、C 在 O 上，OAOB ， AOC=60，P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值；（3）如图 10，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10 ，Q 、R 分别是OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值。考法评析：从知识上来看，本题是考查“利用轴对称的性质和三角形三边关系”求一定条件下的两条线段和的最小值。从过程来看，本题却是考查在
19、掌握一种模型或模式之后能否善于在变形中应用，而这种将变式或变形划归为已有模型或模式的做法和能力，正是数学学习最为需要的能力。综合这两方面看，本题有较好的效度、可推广性和教育性。变式：某课题组在探究“泵站问题“时抽象出数学模型：直线 同旁有两个定点 A、B，则在直线 上存在点 P，使 PA+PB 的值最小。解l l法：作点 A 关于直线 的对称点 A，连续 AB，则 AB 与直线 的交点即为 P，且l lPA+PB 的最小值为 AB。请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图 1，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2，E 是斜边 AB 的中点，P 是边 AC 上的一动点，则 PB+PE
20、 的最小值为 ；（2）几何拓展：如图 2，ABC 中，AB=2，BAC=30，若在 AC、AB 上各取一点 M、N 使 BM+MN 的值最小，求这个最小值 ；（3）代数应用：求代数式 （0 4）的最小值。)4(122xxx.解：（1） 0（2）作点 B 关于直线 AC 的对称点 B作 BNAB 于 N，交 AC 于 M，连结 BM，则 BM+MN=BM+MN=BN 的值最小B、 B关于 AC 对称且CAB=30 ABB 是等边三角形则 BN=1，BB=2BN= 312BM+MN= BM+MN=BN=（3）如图作 AB=4，ACAB，DBAB 且 CA=1，DB=2作 C 关于 AB 的对称点
21、C，连结 CD 交于 AB 于 P 点，设 AP= x则 CP= DP=21x4)(2x作 CEDB 于 E则 CE=AB=4，BE=AC=AC=1DE=3CD= 534DEC22代数式 的最小值为 5)(1xx数学建模中的实际问题背景更加复杂，解答具有更大的综合性和多样性，而结论还需要进行检验和优化，带有更大的挑战性和创造性。数学建模的教学使学生走出课本，走出传统的习题演练；使他们进入生活、生产的实际中，进入一个更加开放的天地；使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径。从生活中的数学问题出发，强化应用意识日常生活是
22、应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立数学教学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识建立初等教学模型，加以解决。例 3：某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动车的安装，工厂决定招聘一些新工厂，他们经.过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 1
23、4 辆电动汽车。（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘 (0 10)名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚n好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 2000 元的工资，给每名新工人每月发 1200 元的工资，那么工厂招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额 W（元）尽可能的少？分析：本题以新式电动汽车的安装为背景，以招聘新工人为素材，以人员的搭配组合使用为条件的载体，以完成一定任务为确定招聘方案的标准，自然和谐地设计了前两问。整题的问题模型为：结
24、果= （招聘方案的情景，新工人，条件，决策性f要求） 。本题的设置意在考查学生建立方程组、一次函数模型来分析解决问题的能力，以及求解方程组等技能的掌握状况，使用解答题形式逐问呈现，较好地发掘了问题模型所蕴含的考试价值，有利于达到试卷预设的考查目标。例 4、分油的问题在山西民间，有一个人们常提的问题，说的是：3 斤的葫 7 斤的罐,10 斤的油篓分一半。实际上是：有一个能装 10 斤油的油篓装满了油，另外只有两个容器,即:能装 3斤油的葫芦和能装 7 斤油的罐。现在要把两个容器即能装 3 斤油的葫芦和能装 7 斤的罐.现在要把 10 斤油分出一半来。问：该怎么分? 解:要把 10 斤油分出一半来
25、,必须把 7 斤的罐的油倒出 2 斤到 3 斤的葫中，而 3 斤的葫中油的另外一斤油可由 7-32=1 得来例 5、真和假很久以前，在很远的地方，住着两个种族的人：阿纳尼阿斯人他们都是积习很深的说谎者；迪昂根尼斯人他们无例外地都是诚实者。一次，一个外来者来访这块土地，遇见三个居民，问他们各属于什么种族。第一个人回答声音很低，外来者没听清楚他说了什么。第二个人指着第一个人说：他说他是阿纳尼阿斯人”。第三个人指着第二个人说：“你说谎”。请你想一想：他们各是什么种族的人。解:每一个居民必定说自己是迪昂根尼斯人.迪昂根尼斯人这么说,因为他们说真话,.阿纳尼阿斯人这么说,因为他们说慌话.因此,第二个人说
26、的话必定是假的,因而,第三个人说的话是真的,他是迪昂根尼斯人.于是,可以判断第二个人和第三个人属于什么种族.第一个人属于什么种族,尚难确定例 6：（日用电量的计算） 我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于 3 米/秒的时间共约160 天，其中日平均风速不小于 6 米/秒的时间约占 60 天。为了充分利用“风能”这种“绿色能源” ，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用 A、B 两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：日平均风均 v（米/秒） v3 3v 6 v6A 型发电机 0 36 150日发电量（千瓦时） B 型发电
27、机 0 24 90根据上面数据回答：（1）若这个发电厂购 x 台 A 型风力发电机，则预计这些 A 型风力发电机一年的发电量至少为 千瓦时。（2）已知 A 型风力发电机每台 0.3 万元，B 型风力发电机每台 0.2 万元，该发电厂拟购置风力发电机共 10 台，希望购机的费用不超过 2.6 万元，而建成的发电厂每年发电总量不少于 102000 千瓦时，请你提供符合条件的购机方案。解：（1）12600x。（2）设购 A 型发电机 x 台，则购 B 型发电机（10x）台，由题意： 102)(78066.12.3.解得 5x6可购 A 型发电机 5 台，B 型发电机 5 台；或购 A 型发电机 6
28、台，B 型发电机 4 台。本题的基本思想是已知常量之间的不等关系，建立不等式模型。例 7：（住房问题）某房屋开发公司用 100 万元购得一块土地，该地可以建造每层 1000 平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关。楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高 5%，已知建筑 5 层楼房时，每平方米的建筑费用为 400 元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和） ，公司应把楼建成几层？分析 本题是属于综合费用最省的优化问题，问题解决的关键是寻找楼层的层数.与综合费用的函数关系式，将问题转化为求函数的最值问题。解 设楼
29、房应建成 x 层，则每平方米的购地费用为= （元） 。x10每平方米建筑费用为 400+400（x5）5%（元） ，每平方米的综合费用为 xy10%540）（= 321= 2050x当 即该楼房每平方米的平均综合费用最少，此时， x50解得 x7，因此应把楼建成 7 层。总之，对于某些实际问题，可以通过建立合理的数学模型作为桥梁来解决，对于相同类型的问题，采用相同的数学模型，使学生的思维过程形象化、公式化。这样，学生学起来不感到抽象、难懂，并能增强记忆和理解，容易被学生所接受。一个学生是否具有数学的创造能力的一个重要标志是他是否有建立并应用数学模型的能力。因此在数学教学中应充分重视培养这种能力
30、，鼓励他们独立思考、勇于探索，发现前人尚未发现问题的新结论、新方法。以社会热点问题出发，介绍建模方法：国家大事、社会热点、市场经济等，是初中数学建模教学的好素材，适当地选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不但可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了条件。例 8：为了防范“甲流”病毒入侵校园，根据上级疾病控制中心的要求：每平方米的教室地面，需用质量分数为 0.2%的过氧乙酸溶液 200 克在进行喷洒消毒。（1）请估算：你所在班级的教师地面面积约为 平方米（精确到 1 平方米） ；.（2）请计算：需要用质量分数为 20%的过氧乙酸溶
31、液多少克加水稀释，才能按疾病控制中心的要求，对你所在班级的教师地面消毒一次？分析：设教室面积为 a 平方米，需用 x 克的水将质量分数为 20%的过氧乙酸溶液进行稀释稀释前溶质质量 = 稀释后溶质质量(200a-x)20% = 200a0.2%X = 198a学生通过阅读本题，自然而然地想到 2003 年上半年那场可歌可泣的、没有硝烟的抗“非典”战争。这是一个列方程类的应用题。第一小题考查了学生应初步具有的估算能力，第二小题把浓度问题巧妙地融合于其中，既解决实际问题，又简单易解。不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。例 9、2008 年国际金融危机使我
32、国的电子产品出口受到严重影响，在这种情况下有两个电子仪器厂仍然保持着良好的增长势头。（1）下面的两幅统计图（图 5）反映了一厂、二厂各类人员数量及工业值情况，根据统计图（图 5）填空：一厂、二厂的技术员占厂内总人数的百分比分别是 和 （结果精确到1%）一厂、二厂 2008 年的产量比 2007 年的产值分别增长了 万元和 万元。（2）仅从以上情况分析，你认为哪个厂生产经营得好？为什么？分析：本题由两幅统计图和一张统计表，分层展现了不同方面的问题，或由统计图直接得出结论，或通过简单计算得出结论，或由表到图，或基于以上分析，得出判断，问题紧密相连，设计合理，它的问题模型可分别表述为：百分比= （统
33、计情景，f人数，产值，两幅统计图） ，一厂销售情况扇形统计图= （一厂、二厂销售情况统计f表） ，判断结果= （百分比，扇形统计图，判断要求） 。这里，第（1）问重在考查识f图、简单的列方程计算技能，简单易于求解，设计成了填空题；第（2）问既要判断又要说量，使用解答题。这样的设计是恰当的。例 10、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加。据统计，某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆。（1）若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同，求该小区到 2009 年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了
34、缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位。据测算，.建造费用分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/ 个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案。分析：本题的基本对象是车位，条件有“露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍”等，方案由设定的条件自然确定，从数学上说，这里的设计其实是两种不同车位数量的确定。其问题模型可简略地表述为：方案= （车位，数值条件，关系条件） 。其中，f第（1）问是增长率问题，第（2）问涉及到的数据较多，为考查学生建立不等式模型解
35、决实际问题的应用能力，两问相连，使用解答题型，是适当的选择。例 11：荆门火车货运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往某市。这列货车可挂 A、B 两种不同规格的货厢共 50 节。已知用一节 A 型货厢的运费是 0.5 万元，用一节 B 型资厢的运费是 0.8 万元。（1）设运输这批货物的总运费为 （万元），用 A 型货厢的节数为 （节），试写出 与 的函数关系式；（2）如果甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨可装满一节 A 型货厢，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B 型货厢。按此要求安排 A、B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案
36、？请你设计出来。（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元纵观近年来全国各地中考试题中考查学生解决实际问题能力的试题，需经抽象、转化建模的可谓五彩缤纷，争奇斗艳。在市场经济大潮中，人们更加注重对普遍存在的诸如造价成本最低，产出、利润最大，风险决策、股市、期货、开源节流，扭亏增盈、最优化等问题的研究，可透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，抽象成函数的（区间）极值（目标）模型等。学生通过建模求解，体会到了科学、正确决策的意义和作用，也体会到了正确的决策离不开数学。虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不
37、是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的工作打下坚实的基础.因此，在教学时，授之以渔，尤其注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起的能力。分 析 ： (1) 总 运 费 = 甲 运 费 + 乙 运 费 y = 0.5x + 0.8(50-x) y=40-0.3x (2)设 用 A型 货 厢 的 节 数 为 x节 ， 用 B型 货 厢 的 节 数 为 （ 50-x） 节 ， 150)(3518x0（ 3） y=40-0.3x， y随 x增 大 而 减 小 ， 当 x=
38、33时 ， y最 小 为 30.1 .以活动为手段，培养建模能力利用课外活动时间开展综合实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去解决实际问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题。比如为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
39、通过教学使学生了解利用数学理论和方法去解决实际问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题。例 12、一头大象和一只蚊子一头大象的重量和一只蚊子的重量相等吗?设 为一头大象的重量， 为一只蚊子的重量。两者重量的和为 ，则xy v2。由此方程，我们能进一步得：vy2; vx2两式等号左右分别相乘，得：vyx22加上 ：v或222)()(vyx取平方根： yx这么一来，这头大象的重量( )等于这只蚊子的重量( )。y错在何处?例 13：我曾以一道开放题-“王老吉易拉罐的尺寸为什么是这样的”为例进行教学：先让学生测量出听装 345ml 王老
40、吉易拉罐的高和底面直径（高约为 12.3cm，底面直径为 6.6cm）.然后围绕厂家为什么采用这样的尺寸，同学们展开了热烈的讨论 .有的同学从审美角度去考虑（是否满足“黄金分割率” ）；有的同学从经济效益的角度去考虑（是否用料最省，工时最省）；有的同学从生理学的角度去考虑（是否手感最好，饮用最方便）虽然最后没有得到一个一致的、十分完美的结论，但这节课对于培养学生的数学应用能力和发散性思维能力起着十分重要的作用.引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦” ，能拓宽视野、增长知识、积累经验.这亦符合玻利亚的“主动学习原则” ，也
41、正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也” 。.比起学习抽象的数学理论，学习与实际紧密相连的数学建模对学生更有吸引力，能够引起学生兴趣并且能用他们熟悉的数学解决的问题还有很多，在教学中改编的有：20 世纪是世界人口增长率最快的一段时期，联合国人口基金组织把 1999 年 10月 12 日定为世界 60 亿人口日并预测到 2013 年将达到 70 亿，2028 年将达到 80 亿，2054 年将达到 90 亿.请对未来约半个世纪的世界人口增长率做出分析，并制出图表说.图 12明，等等。学生对这些问题的研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的
42、习惯.。例 14、题目 1 问题解决如图 11，将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E（不与点C、D 重合） ，压平后得到折痕 MN。当 时，求 的值。21CDENAM类比归纳在图 11 中，若 ，则 的值等于 ；31CDEBNAM若 ，则 的值等于 ；若41CEB（ 为整数） ，则 的值等于 。 （用含nD的式子表示）联系拓广如图 12，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E（不与点 C、D重合） ，压平后得到折痕 MN，设 ， ，则 的值等于)1(mCAnDBNAM_。 （用含 ， 的式子表示）n考法评析：题目 1 的问题是首先解决正方形一
43、种特殊折叠形成的线段比，进而通过类比与归纳，推广到较为一般的情形，最后再拓展推广到矩形相应的情形。题目 2的问题是将特殊摆放的 5 个同样大小的正方形通过“中心对称”剪拼成一个新正方形，进而将这种方法推广应用到矩形的情况，最后又将这种方法以相反的过程应用于平行四边形。这样的考法使得题目问题展开的方式和过程有助于考查学生数学学习经验的积累，而且对于改进、引导教法和学法也有积极的意义。例 15：要测量人民公园的荷花池 AB 的距离 ，由于条件限制无法直接测量，请你用所学过的数学知识设计出一种测量 AB 的方案？ 建模一：构造直角三角形，运用勾股定理解决问题，求出 AB。建模二：构造等腰三角形或等边
44、三角形，求出 AB。建模三：构造三角形及其中位线，利用中位线的性质求出 AB。建模四：构造两个三角形，利用全等或相似性质来求出 AB方法指导：为了求得 的值，可先求 BN、AM 的长，不妨设：AB=2.BNA.点评：设计开放性试题的评分标准是中考的难点问题，如何处理好试题开放所导致的解法多样及不同解法之间评分的等价性问题，直接影响试题的效度。例 16、问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对较园中一些物体进行了测量。下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图 4，测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm.乙组：如图 5，测得学校旗杆的影长为 9
45、00cm。丙组：如图 6，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为 200cm，影长为 156cm.任务要求（1） 请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；图 4 图 5 图 6（2）如图 6，设太阳光线 NH 与O 相切于点 M。请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径。 （友情提示：如图 6，景灯的影长等于线段 NG 的影长；需要时可采用等式 1562+2082=2602）考法评析：本题的第（1）问考查利用平行线构造相似三角形，第（2）问通过利用圆的切线构造相似三角形及相似三角形较为典型的两种形式的判断和应用，较为全面地考查了相似三角形的判定与性质。特
46、别地，对于第（2）问而言，它通过要求学生两次使用相似知识解决问题的过程，较好地考查了学生综合运用数学知识的能力，具有较好的区分度。总而言之，应用数学知识去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活的特点，数学建模教学的本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提
47、高的过程。.案例 圆周角定理的建模教学1、背景问题（1）如图 1 所示， 、 是O 中的 所对的两个圆周角，分别量出ACBDAB这两个圆周角的度数，比较一下它们的大小再变动点 在圆周上的位置，这时圆周C角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？（2）再量出图中 所对的圆心角 的度数，ABAB你又有什么发现? （人教版数学九年级上册第 91 页）2、模型建立（1）模型猜想同弧所对的圆周角的度数相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半（2）验证猜想问题 1 你选择先证明“同弧所对的圆周角相等” ，还是先证明“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”？说说你的理由？归纳 选择先证明“
48、弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半” 因为随着 在圆周上的位置发生变化，得到许多个圆周角，而这条弧所对的C圆心角只有一个；如果“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”成立，那么“同弧所对的圆周角的度数相等”自然成立问题 2 按照圆心与圆周角的位置关系，变动 在圆周上的位置时所得到许多个C圆周角可以分成几种情况？归纳 按照圆心与圆周角的位置关系，圆周角分三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部问题 3 在这三种情况中，你选择先证明哪一种情况？说说你的理由归纳 选择先证明“圆心在圆周角一边上”的因为此时 为圆的直径，这是AC.一种特殊情况问题 4 如图 2 所示，圆心在圆周角的一条边 上，你怎样证明AC？12ACBO归纳 转化为证明 ABC问题 5 如图 3 所示，圆心 在圆周角 的内部，你怎样证明OAB？12AB归纳 因为“圆心在
