1、1第二十一章 章末测试卷(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(每小题 4分,共 32分)1.已知关于 x的方程:(1)ax 2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:(1)ax 2+bx+c=0中,a 可能为 0,所以不一定是一元二次方程;(2)x2-4x=8+x2化简后只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 1,是一元一次方程;(3)1+(x-1)(x+1)=0和(4)(k 2+1)x2+kx+1=0符合定义,是一元二次方程.一
2、元二次方程的个数为 2.故选 B.2.方程 4x2=5x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是( C )(A)4x2,5x,2 (B)-4x2,-5x,-2(C)4x2,-5x,-2 (D)4x2,-5x,2解析:因为 4x2=5x+2,所以 4x2-5x-2=0,所以化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是 4x2,-5x,-2,故选 C.3.若代数式 x2+5x+6与-x+1 的值相等,则 x的值为( A )(A)x1=-1,x2=-5 (B)x1=-6,x2=1(C)x1=-2,x2=-3 (D)x=-1解析:据题意得 x2+5x+6=-x+1,所以 x2+6x+5=0,所以
3、x1=-1,x2=-5,故选 A.4.某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由 560元降为 315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为 x,下面所列的方程中正确的是( B )(A)560(1+x)2=315(B)560(1-x)2=315(C)560(1-2x)2=315 (D)560(1-x2)=315解析:由题意,得 560(1-x)2=315,故选 B.5.方程(m-2)x 2- x+ =0有两个实数根,则 m的取值范围为 ( B )314(A)m52(B)m 且 m252(C)m3(D)m3 且 m2解析:根据题意得20,30,=( 3)24(2)1
4、40,解得 m 且 m2.52故选 B.6.设一元二次方程 x2-3x-1=0的两根分别是 x1,x2,则 x1+x2( -3x2)的值( A )222(A)3 (B)-2 (C)-1 (D)2解析:因为一元二次方程 x2-3x-1=0的两根分别是 x1,x2,所以 -3x2-1=0,x1+x2=3,22所以 -3x2=1,22所以 x1+x2( -3x2)=x1+x2=3.故选 A.227.已知 a2,m 2-2am+2=0,n2-2an+2=0,mn,则(m-1) 2+(n-1)2的最小值是( A )(A)6 (B)3 (C)-3 (D)0解析:因为 m2-2am+2=0,n2-2an+2
5、=0,所以 m,n是关于 x的方程 x2-2ax+2=0的两个根,所以 m+n=2a,mn=2,所以(m-1) 2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2-4-4a+2=4（a- ） 2-3,12因为 a2,所以当 a=2时,(m-1) 2+(n-1)2有最小值,所以(m-1) 2+(n-1)2的最小值为 4（a- ） 2-3=4（2- ） 2-3=6,12 12故选 A.8.如图矩形 ABCD的周长是 20 cm,以 AB,AD为边向外作正方形 ABEF和正方形 ADGH,若正方形 ABEF和 ADGH的面积之和 68 cm2,那么矩形
6、ABCD的面积是( B )(A)21 cm2 (B)16 cm2 (C)24 cm2 (D)9 cm2解析:设 AB=x cm,AD=(10-x) cm,则正方形 ABEF的面积为 x2 cm2,正方形 ADGH的面积为(10-x) 2 cm2,根据题意得 x2+(10-x)2=68,整理得 x2-10x+16=0,解之得 x1=2,x2=8,所以 AB=2 cm,AD=8 cm,综上可得矩形 ABCD的面积是 16 cm2.故选 B.二、填空题(每小题 4分,共 24分)9.若将方程 x2+6x=7化为(x+m) 2=16,则 m= 3 . 解析:由方程 x2+6x=7,得 x2+6x+32
7、=7+32,配方,得(x+3) 2=16.所以,m=3.10.设一元二次方程 x2-3x+1=0的两根分别为 x1,x2,则 + = 7 . 2122解析:因为 x1,x2是 x2-3x+1=0的两根,所以 x1+x2=3,x1x2=1,3所以 + =(x1+x2)2-2x1x2=32-21=7.212211.已知点 A(m2-5,2m+3)在第三象限角平分线上,则 m= -2 . 解析:由题意得 m2-5=2m+3,解得 m1=4,m2=-2,当 m1=4时,2m+30,不符合题意,应舍去.12.如图是一个三角形点阵图,从上向下有无数多行,其中第一行有 1个点,第二行有 2个点第 n行有 n
8、个点,容易看出,10 是三角形点阵中前 4行的点数和,则 300个点是前 24 行的点数和. 解析:设三角点阵中前 n行的点数的和为 300,则有 n(n+1)=300,12整理这个方程,得 n2+n-600=0,解方程得 n1=24,n2=-25,根据问题中未知数的意义确定 n=24,即三角点阵中前 24行的点数的和是 300.13.对于实数 a,b,定义运算“*”:a*b= 例如 4*2=42-42=8.若 x1,x2是一元2(),2(0,所以方程总有两个不相等的实数根.(2)解:因为 x=0是此方程的一个根,所以把 x=0代入方程中得到 m(m+1)=0,所以 m1=0,m2=-1,因为
9、(2m-1) 2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5,把 m=0代入 3m2+3m+5,得 3m2+3m+5=5;把 m=-1代入 3m2+3m+5,得 3m2+3m+5=31-3+5=5.518.(10分)已知关于 x的一元二次方程(a+c)x 2+2bx+(a-c)=0,其中 a,b,c分别为ABC 三边的长.(1)如果 x=-1是方程的根,试判断ABC 的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断ABC 的形状,并说明理由;(3)如果ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.解:(1)ABC 是等腰三角形;理由:因
10、为 x=-1是方程的根,所以(a+c)(-1) 2-2b+(a-c)=0,所以 a+c-2b+a-c=0,所以 a-b=0,所以 a=b,所以ABC 是等腰三角形.(2)ABC 是直角三角形;因为方程有两个相等的实数根,所以(2b) 2-4(a+c)(a-c)=0,所以 4b2-4a2+4c2=0,所以 a2=b2+c2,所以ABC 是直角三角形.(3)当ABC 是等边三角形时,a=b=c,(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,可整理为2ax2+2ax=0,所以 x2+x=0,解得 x1=0,x2=-1.19.(10分)百货商店服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出 20件,每件盈利
11、40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价 1元,那么平均每天就可多售出 2件.(1)要想平均每天销售这种童装盈利 1 200元,那么每件童装应降价多少元?(2)要想平均每天销售这种童装盈利 1 800元,有可能吗?(3)要想平均每天销售这种童装获利达最大,则每件童装应降价多少元?每天的获利是多少元?解:(1)设每件童装应降价 x元,根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200,解得 x1=20,x2=10,因为要减少库存,所以 x=20,答:每件童装降价 20元.(2)设每件童装应降价 n元,根据题意得(40-n)(20+2n)=1 800,整理得 n2-30n+500=0,=b 2-4ac=302-41500=-1 1000,原方程无解,所以不可能平均每天销售这种童装盈利 1 800元.(3)根据题意得(40-x)(20+x2)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1 250,答:当每件童装降价 15元时,能获最大利润 1 250元.
