1、2016 年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【江苏版】热点十九 数列大题【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例 1 【2013 江苏高考】设 是首项为 ，公差为 的等差数列（ ） ， 是前 项和. 记nad0dnS， ，其中 为实数.2nSbcNc（1）若 ，且 ， ， 成等比数列，证明： ；01b24 2(,)nkkSN（2）若 是等差数列，证明 .n 0例 2 【2014 江苏高考】 （满分 16 分）设数列 的前 项和为 .若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，则称 是nanSnmnmSan“ 数列”.H（1）若数列 的前 项和为 ，证明： 是“ 数列”.n *2()nNna
2、H（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 ，若 是“ 数列” ，求 的值；a1a0dd（3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“ 数列” 和 ，使得n nbc成立.nnabc*()N例 3 【2015 江苏高考】设 是各项为正数且公差为 d 的等差数列1234,a(0)（1）证明： 依次成等比数列；来源:Zxxk.Com3124,a（2）是否存在 ，使得 依次成等比数列，并说明理由；1d2341,a（3）是否存在 及正整数 ，使得 依次成等比数列，并说,ankknkna34231,明理由.【热点深度剖析】1. 江苏高考中，数列大题要求较高，常常在压轴的代数论证中考数列的综合应用.近几年江苏高考
3、中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，而对递推条件证不等式有所淡化。尤其 11 年江苏卷的数列题命制非常出色，条件与结论中都隐含着等差数列，所以解题过程中既有等差数列性质的挖掘，又有等差数列的判断论证，综合性极强.2.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应 的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.注意数列与函数方程、不等式等知识的交汇.在复习中要参透数列作为一种离散型的特殊函数与函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值、图像等关系.3.解
4、决数列综合题，关键是熟练掌握等差数列、等比数列的定义及性质，注 意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到提高分析问题和解决问题能力的目的.4.预计 16 年数列依然是考查重点内容，出与等差数列相关的代数论证压轴题的可能性较大. 【最新考纲解读】要 求来源:学.科.网备注内 容来源:Z,xx,k.Com来源:学。科。网来源:学科网 ZXXKA B C 数列的概念等差数列数列等比数列对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、B、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定
5、综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【重点知识整合】一、 与 的关系： naS1()2nnSa二、 （）定义：从第 2 项起每一项与它前一项的差（比）等于同一常数的数列叫等差（比）数列（）递推公式： 110nnadaqnN， ， ，（）通项公式： 1()n， ，（）等差数列性质单调性： 时为递增数列， 时为递减数列， 时为常数列0 d 0d若 ，则 特别地，当 时，有mnpq()mnpqaanpN， ， ， 2mnp 成等差数列2a()nd， 23kkkSS， ， ， 等比数列性质单调性：当 或 时，为递增数列；当 ，或 时为递10q， 11
6、0aq， 1q减数列；当 时为摆动数列；当 时为常数列若 ，则0qmnp特别地若 则()mnpanN， ， ， 2np ，当 时为等比数列；2np(0)maqq， ， 232kkkSS， ， 1q当 时，若 为偶数，不是等比数列若 为奇数是公比为 的等比数列1qk 1【应试技巧点拨】一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目2、公式法， 若已知数列的前 n项和 与 的关系，求数nSa列 的通项 可用公式 求解。3、由递推式求数列通项法，对于递推公式nan211nSann确定的数列的求解，通常可以通过递推公式
7、的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。4、待定系数法（构造法） ，求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中 化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。二、数列求和的基本方法：1.基本公式法： 1等差数列求和公式： 1122nnaSd 等比数列求和公式：11,nnnaqSqa3012nnnCC.2.错位相消法：一般适应于数列 nb的前 向求和，其中 na成等差数列， nb成等比数列。3
8、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有： 1若 na是公差为 d的等差数列，则 11nnada；212n； 31kn； 41mmnC； 5!1!n.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。【考场经验分享】1.目标要求：数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是
9、历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.2.注意问题：(1) 利用 an 与 Sn 的关系，不要忘记验证 a1 能否与 n2 时 an 的式子统一; (2) 运用等比数列求和公式时，需对 q=1 和 q1 进行讨论.3.经验分享：用函数的观点处理数列问题，数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及以函数为背景进行数列的构造命题，体现了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题者的首选。【名题精选练兵篇】1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏
10、北四市 2016 届高三第二次调研】已知各项均为正数的数列 的首项na， 是数列 的前 n 项和，且满足： .1anSa ).0(*111 NaSannnn （1）若 ， ， 成等比数列，求实数 的值;23（2）若 ，求 .n2. 【镇江市 2016 届高三年级第一次模拟考试】 (本小题满分 16 分)已知数列a n)的各项都为自然数，前 n 项和为 Sn，且存在整数 ，使得对任意正整数 n 都有 Sn(1)an 恒成立(1) 求 值，使得数列a n)为等差数列，并求数列a n)的通项公式；(2) 若数列a n为等比数列，此时存在正整数 k，当 1kj 时，有 ai2 016，求 k.j i
11、k3. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学】设数列 共有 项，记该数列前n(3)m项 中的最大项为 ，该 数列后 项 中的最小项为 ，i12,ia iAmi12,ima iB.(,3,1)iiirAB（1）若数列 的通项公式为 ，求数列 的通项公式；n2nair（2）若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；a1irna（3）试构造一个数列 ，满足 ，其中 是公差不为零的等差数列， 是等比数列，nnbcbnc使得对于任意给定的正整数 ，数列 都是单调递增的，并说明理由.mir4. 【苏州市 2016 届高三年级第一次模拟考试】 （本小题满分 16 分）已知数列 满足： ，
12、， , .na12113nnapq*NpqR（1）若 ，且数列 为等比数列，求 的值；0q（2）若 ，且 为数列 的最小项，求 的取值范围 .1p4anq5. 【泰州市 2016 届高三第一次模拟考试】已知数列 满足 ，其中 是数列,nab2()nnSabnS的前 项和 na（1）若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式；na231n（2）若 ， ，求数列 的通项公式；b2na（3）在（2）的条件下，设 ，求证：数列 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之ncbnc积6. 【苏锡常镇 2016 调研】已知首项为 1 的正项数列 满足 .na2 *+1+15,nnaN（1）若
13、 ，求 的取值 范 围；234=axa，x（2）设数列 是公比为 q 的等比数列， 为数列 前 n 项的和，若 ，求n nS *12,nnSq 的取值范围；（3）若 成等差数列，且 ，求正整数 k 的最小值，以及 k 取最小12,(3)ka1210ka+值时相应数列 的公差.,a7 【南通二模】设数列 na的各项均为正数， na的前 项和 214nSa， *Nn（1）求证：数列 为等差数列；（2）等比数列 nb的各项均为正数， 21nnbS， *N，且存在整数 2k，使得 21kkbS（i）求数列 公比 q的最小值（用 k表示） ；（ii）当 时， *Nn，求数列 n的通项公式8 【扬州中学
14、4 月检测】已知数列a n满足 a10，a 22 ，且对任意 m、nN *，都有a2m1 a 2n1 2a mn1 2(mn) 2（1）求 a3，a 5；（2）设 bna 2n1 a 2n1 (n N*)，证明： bn是等差数列；（3）设 cn( an+1a n)qn 1 (q0，nN*)，求数列c n的前 n 项和 Sn.9. 【江苏省清江中学 2016 届高三上学期周练数学试题】在等差数列 中， ，其前 项和为 ，a13nnS等比数列 的各项均为正数， ，其前 项和为 ，且 ， nb1bn2b9b（1）求数列 和数列 的通项；an（2）问是否存在正整数 ， ， ，使得 成立？如果存在，请求
15、出 ， ， 的关系式；mrnmnar mnr如果不存在，请说明理由10. 【扬州市 20152016 学年度第一学期期末检测试题】若数列 中不超过 的项数恰为 （na)(fmb） ，则称数列 是数列 的生成数列，称相应的函数 是数列 生成 的控制*Nmbna)(fna函数.（1）已知 ，且 ，写出 、 、 ；2na2)(f1b23（2）已知 ，且 ，求 的前 项和 ；mmS（3）已知 ，且 （ ） ，若数列 中， ， ， 是公差为n23)(Af*Nb125b（ ）的等差数列，且 ，求 的值及 的值d0103bdA11. 【连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 一模】(本小题满分 16 分)在
16、数列 中，已知 ， 为常数.na1221, ,nnaaN(1)证明: 成等差数列;14,5(2)设 ，求数列 的前 n 项和 ；2nacnS（3）当 时，数列 中是否存在三项 成等比数列，且 也成等0111,stpaa,stp比数列?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.,stp12. 【泰州 2015 一模】 （本题满分 16 分）数列 ， ， 满足： ， ， nabnc12nnba12nca*nN（1）若数列 是等差 数列，求证：数列 是等差数列；（2）若数列 ， 都是等差数列，求证：数列 从第二项起为等差数列；ncn（3）若数列 是等差数列，试判断当 时，数列 是否成等差数列？证明你的
17、结论b130bana13. 【扬州 2015 一模 】已知数列 中， ，且 对任意正整数都成立，数n2,12()nka列 的前 n 项和为 Sn。a（1）若 ，且 ，求 a；2k2015S（2）是否存在实数 k，使数列 是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 按某顺序排n 12,ma列后成等差数列，若存在，求出所有 k 值，若不存在，请说明理由；（3）若 。1,2nS求14. 【南京盐城 2015 一模】设数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，若 ，nannS1564a.5348S（1）求数列 的通项公式；na（2）对于正整数 （ ） ，求证：“ 且 ”是“ 这三项经适当,kml
18、l1mk3l5,kmla排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设 数 列 满 足 ： 对 任 意 的 正 整 数 ， 都 有nbn121321nnnabb，且集合 中有且仅有 3 个元素，试求 的取值范围.1246n*|,nbMNa15.【镇江 2015 一模】 （本小题满分 16 分）已知数列 中， ，在 之间插入 1 个数，在 之间插入 2 个数，在 之间插入 3 个数，na12, 32,a43,a，在 之间插入 个数，使得所 有插入的数和原数列 中的所有项按原有位置顺序构成一个正1,na na项等差数列 .b（1）若 ，求 的通 项公式；94n（2）设数列 的前 项和为 nS，且满
19、足 为常数） ，求 的通项公式.b ,(2nnbSna16. 【苏州 2015 一模】已知数列 中 .na11,3nna(为 奇 数 ）为 偶 数 ）（1）是否存在实数 ，使数列 是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；2-n（2）若 是数列 的前 项和，求满足 的所有正整数 .nSna0nSn17. 【常州 2015 一模】 （本小题满分 16 分）已知数列 （ ， ）满足 ， 其中 ， na*N146n 1a1,15,630,4,ndna d*Nn（1）当 时，求 关于 的表达式，并求 的取值范围；a46d46a（2）设集合 |,116ijkMbaijijkN 若 ， ，求证：
20、 ；13a4d2是否存在实数 ， ，使 ， ， 都属于 ？若存在，请求出实数 ， ；若不存在，请说明理由185340Mad18.已知 a为实数，数列 na满足 1，当 2n时， 113()43nna， （） 1010S当 时 ， 求 数 列 的 前 项 的 和 ；(5 分)（）证明：对于数列 na，一定存在 *kN，使 3ka；(5 分)（）令 2(1)nnb，当 23时，求证： 12.nib(6 分)【名师原创测试篇】1数列 是递增的等差数列，且 ， na61a843a（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 的最小值；nnS（3）求数列 的前 项和 aT2.已知数列 中， ， ，
21、 .n13132nna*N（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；2nna（2）在数列 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所 有符合条件的项；若不存在，请说na明理由；（3）若 且 ， ，求证：使得 ， ， 成等差数列的点列 在某一直线上.1rs*N1ars ,rs3.已知无穷数列 的前 项和为 ，且满足 ，其中 、 、 是常数.nanS2nnABaCABC（1）若 ， ， ，求数列 的通项公式；0A3B2C（2）若 ， ， ，且 ，求数列 的前 项和 ；160nananS（3）试探究 、 、 满足什么条件时，数列 是公比不为 的等比数列.14.称满足以下两个条件的有穷数列
22、 12,n 为 2,34 阶“期待数列”： 1230naa ； 3naa .（1）若等比数列 为 *kN阶“期待数列” ，求公比 q 及 n的通项公式；（2）若一个等差数列 n既是 2阶“期待数列 ”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记 n 阶“期待数列” ia的前 k 项和为 1,23,kS ：（i）求证： 12kS；（ii）若存在 ,3,mn 使 2mS，试问数列 kS能否为 n 阶“期待数列”？若能 ，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.5.数列 的首项为 （ ） ，前 项和为 ，且 （ ） 设 ，na0anatn10t1nSb（ ） nnbbkc21Rk（1）求数列 的通项公
23、式；a（2）当 时，若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；t *N|3bna（3）当 时，试求三个正数 ， ， 的一组值，使得 为等比数列，且 ， ， 成等差数atkncatk列6.设项数均为 （ ）的数列 、 、 前 项的和分别为 、 、 . 已知集合k*2,NnbnnSTnU= .121,kkab ,46,2,4k（1）已知 ，求数列 的通项公式；nnUnc（2）若 ，试研究 和 时是否存在符合条件的数列对2ST*(1,)kN4k6（ ， ） ，并说明理由；nab（3）若 ，对于固定的 ，求证：符合条件的数列对（ ， ）*(,)nnkknab有偶数对.7.已知数列 具有性质： 为整数；对于任意的正整数 ，当 为偶数时，na1ana；当 为奇数时， .122n（1）若 为偶数，且 成等差数列，求 的值；123, 1a（2）设 ( 且 N)，数列 的前 项和为 ，求证： ；1mannS123mn（3）若 为正整数，求证：当 ( N)时，都有 .21logn0a
