1、利率期限结构的静态估计基于上交所国债的实证分析特 导报 鹋 利率期限结构的静态估计 基于上交所国债的实证分析 高美馨 (厦门大学 06 级金融系金融工程专业，福建 厦门 361 000) 【摘 要】本文以上海证券市场国债交易数据为基础，分别运用息票剥离法、多项式样条估计法、指数样条估计法、B-spline 估计、NELSONSIEGEL 模型和扩展的 NELSON-SIEGEL 模型 SVENSSON 模型分析国内国债利率期限结构，比较这几种主要的估计方法 的拟合效果 。 【关键词】利率期限结构；息票剥离法；样条估计法 一、引言 利率期限结构是指在某个时点上不同期限的利率所组成 的一条利率曲线
2、。由于零息票债券一定期限的的到期收益率等 于这个期限的市场利率，所以利率期限结构也可以表示为在某 个时点不同期限的零息票债券的到期收益率所组成的一一条收 益率曲线。所谓静态分析，就是指对某个时点的整个利率期限 结构的分析和估计。 宏观方面，利率期限结构具有连接货币市场与宏观经济的 功能；而微观方面，利率期限结构则是资产定价、金融产品设 计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准。近年来在主要工 业国家的货币政策执行中，利率期限结构正扮演着越来越重要 的角色。其可以从市场上交易的债券，特别是无违约风险的国 债的价格中反映出来，因此，我们就可以根据市场上交易的国 债价格来估计和分析整个市场利率的期限
3、结构。 二、利率期限结构模型简单介绍 (一)息票剥离法简介 息票债券可以看成一系列不同期限的零息债券的组合，这 些零息债券对应着息票债券的息票和本金。息票剥离法是将息 票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平 的一种方法。 如果在市场上可观察到一组到期期限时间间隔相同的附 息国债价格，就可以通过息票剥离求得期限的即期利率，其基 本原理是附息国债的价值应该等于从附息国债分离出来的全 部零息债券的价值之和。但是，一旦市场上债券之间的间隔不 均匀，那么市场上存在缺失数据点，我们所要求的利率到期期 限在市场上没有债种可以匹配，那么这种方法就难以适用了。 所以我们一般在息票剥离法中配合采用插
4、值法来解决缺失数 据问题。 (二)样条估计法简介 1多项式样条插值函数 多项式样条函数是由麦卡拉 Mcculloch 提出的。它假设利 率期限结构以贴现因形式表示，贴现因子表示为到期期限 t 的 连续函数 B(t)，并且它是一个多项式分段函数。在实践中多采 用三阶，因为当采用三阶时，函数连续且二阶可导连续，这保证 一 130 企业导报2009 年第 4 期 了瞬时远期利率曲线的平滑性得以实现，而且又不会使函数形 式过于复杂增加参数估计的难度。假如我们选取了 5 年和 98 lB8，2O 这里，对于贴现函数 B(T)来说，显然有 B(0)=l。同时，由于 要满足函数平滑度以及导数的条件，右面的等
5、式也必须成立： f B。(T )=13。+ (T。) B， “ (Tj)=Bl+“ (Tj) lBj( (Ti)=B ( (Ti) 其中 Bi 是函数 B。的第 k 阶导数 (k=0，1，B。(0)=1，Bo( (5)=Bs (5)，B5 (8 (8 B(t)=1B5(t)=B0(t)+(d2-d。)(t-5) t5，8(t)=BD(t)+(d2-d )(t 一 5)。+(d3 一 d2)(t-8，20 前面已经给出了三次样条函数的贴现函数的形式，由此就 可以通过贴现函数给出样本债券的理论定价： n p： F(t0)B(t1，t2) m k P 为债券全价(包括成交价格与应计利息)，F(ti)
6、表示债券 i 所包含的未来时间 t 发生的现金流 B(t，ti)是指在未来时间 ti 到期的零息票债券在时间 t 的价格。参数估计的标准是使样 本函数的定价误差(理论价格与实际价格的差别)最小。如果以 普通最小二乘法来进行估计，就是给每个债券赋予了相等的权 重。实际上，债券价格的波动主要受利率变动的影响。在利率变 动同样大小的情况下，债券的价格还要同时受其久期和凸度的 响。显然，中长期债券价格的波动性要大于短期债券价格的波 动性。所以以最小二乘估计的中长期债券的定价，误差要大于 短期债券定价误差。这就是在进行利率期限结构曲线拟合时无 法避免的样本异方差特征。为了能更准确地定价，在进行最小 化决
7、策时对短期债券赋予了较高的权重，根据如下公式： w =揣 2_ 可以确定式中的 r (t)与 D (t)分别代表第 J 种债券在时 间 t 的到期收益率和久期。P 为债券的市场价格，C 是每次支付 的利息，F 是债券的面值，y 是债券的到期收益率，n 为债券剩余 付息次数，f 为付息频率，即一年内支付利息的次数。计算出每 个债券的久期 D (t)，然后代入权重公式，计算出每个债券的 wj 最后，在设定目标函数时加入权重 w ，设定的目标函数为 min w。 (P LJ_ ) J=1 2指数样条法 指数函数的衰减特性与利率期限结构理论有很多相近之 处，用指数函数拟合利率期限结构，要比三次样条获得
8、的收益 率曲线更加平坦。利用指数形式的贴现函数形式进行拟合，但 由于债券定价公式是非线性函数，估计参数时涉及非常复杂的 非线性估计方法。对贴现函数进行了数学变换，提出了三次指 数样条曲线。贴现函数的一般形式为： fDl(t，X)=a0+ale 一 +a2e 一 2a +a3e 3a ，tT0，T1 D(t，x)一D2(t，x)=b0+b1eat+b2e 2a +b3e 一：h ，tT1，T2 【D3(t，X)=CO+cle +c2e c3e aa ，tT2，T3 其中 x=(a0，al，a2，a3，b0，bl，b2，b3，e0，clc2，e3)。ai，bi， ci，i=O，l，2，3，是未知参
9、数。T0=0，T3 是所有国债的最常到期期 限。 根据光滑性条件，为保证分段函数的光滑性以及在分段点 的光滑过渡，必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一、二 阶连续可微，因此其和多项式样条插值有相同约束条件。利用 约束条件，我们将待估参数减少到 6 个。假定样条函数的节点 选为 7 年和 l0 年，则： D(t，x)= f D0(t，一 X)=1 一 a1 一 a2-a3+a1eat+a2e 一 2a +a3e 一 3a ，t0，7 f Dl(t，一 x)=1 一 ala2 一 a3+(as-b3)e za +a,-3(aa-b3)e_a e_a + laz+3(aa-b3)e +b3e ，t
10、7，10 l D2(t，一 x)=lala2-a3+(aa-b3)e+(b3 一 c3)e +al 一 3(a3-b3)e吨 一 I 3(ba-c3)e-zte-at+a2+3(aa-b3)e +3(b3 一 c3)e et+c3e 一 【，t10，2O 其中又 =(al，a2，a3，b3，c3，Q)。 利用无约束最小化条件可以求得待估参数： n N1 minP_o 一Ci(tn1)D(t )z l l m 1 3NELSON-S J EGEL 模型及其 SVENSSON 扩展模型 NelsonSiegel 模型是 CharlesNelson 和 AndrewSiegel 在 198 只。在选
11、择合适的债券 丽 万 一 13 卜 转 引匣 吣 船 进入估计利率期限结构的数据库时，笔者注意了一下几个问 题： 1我们知道，信用等级相同而且剩余期限差不多的债券， 倒推出其到期收益率 (YTM)应非常相近，否则，债券定价不合 理。所以，通过计算了每一只债券的到期收益率，笔者剔除掉 了 YTM 出现重大背离的定价不合理的债券。 2由于刚刚发行的债券价格不是很稳定，容易受到各种 不同经济因素以及市场信息的影响，所以，笔者去掉了 O9 年发 行的债券。 通过以上两个步骤，剩下 19 支满足条件的债券。由于 2002 年 3 月 25 日以后，国债交易价格是以扣除掉累计利息的 净价法表示，因此首先要
12、加上这些债券的累计利息，得出真实 的息票债券价格。 利用前面模型简介部分介绍的方法，笔者利用 4,TLAB 编 程来拟合了如下利率期限结构。并且在以下几种方法中，笔者 在处理现金流权重时坚持异方差假定，因为债券期限越长，越 难对其价格进行估计(涉及到越多的不同期限利率的估计)，因 此其方差更大；短期债券依赖的贴现利率较少，因此利率的变 动引起价格变动相对长期债券来说要小的多，所以相应的其残 差方差也应该相对较小。 (二)实证结果分析 从下面几种利率期限结构估计结果图来看，我们可以得出 以下结论： 1我国国债利率期限结构是随着到期期限的增加而上升 的，这与理论要求是一致的。到期期限越长，投资者对
13、回报的 补偿要求就越高，按不同到期期限进行分析，可以看出，对于短 期债券(05)年，即期利率上升的势头明显，而中期(58)年左右，以及中长期债券(812) 年的即期利率曲线上升势头缓慢，即期利率相差不大，这说明 长期债券的盈利有进一步上升的空间，可能导致流动性不足。 2可以看出，几种拟合利率期限结构总体差异不是很大， 相对来说，指数样条法估计的利率期限结构在中长期利率段和 其他几种估计方法的到得结果差异比较大。说明我国的国债 利率期限结构己基本形成，而且，利用这几种方法拟合的利率 期限结构也是有效的。尽管我国的国债收益率曲线符合传统 的利率期限结构的解释，但是从即期利率曲线也可以看出，我 国的
14、国债收益率水平偏低，长期国债和短期国债利差较小，不 能完全反映市场的风险状况。我国国债表现出这些特征主要 是由于我国资本市场发育不充分，主要的融资方式仍然仅仅限 于银行借贷，融资渠道狭窄，一些银行大量持有国债，从而使国 债收益率偏低；同时由于我国的利率市场化尚未实现，利率水 平目前仍处较低水平，这也造成我国债收益率较低。 (三)静态估计方法简单比较 一 132 一 企业导报2009 年第 4 期 通过实证分析的出的结论基本上和理论是一致的，在此， 笔者对以上分析结果进行简单的比较。 1息票剥离法和样条估计法 息票剥离法是在假定两个最近时间之间的利率服从线性 或者非线性变化的条件下进行估计的，是
15、单个利率水平从短期 到长期的不断单变量的求解，最后将这些利率水平连接起来， 就构成利率期限结构；而样条估计法则是在假定整个样本区间 内零息票率服从某种随时间变化的函数关系的条件下进行估 计的，是对整条利率期限结构的同时估计，使用的是一种线性 拟合的办法 。 息票剥离法由于是不断地进行单变量求解，因此它的计算 误差相对比较小，是为样条估计法的选择提供了个标准。但 是它假定某个时期的利率水平只跟最近两个时期的利率水平 线性相关，因此对利率随期限变动的描述上就显得简单。样条 估计法则是进行曲线的线性拟合，因此误差比起单变量求解来 说，会相对比较大。但样条估计如果能够得出和息票剥离相近 的结果，则可以
16、避免误差过大的缺陷，又可以发挥它非线性以 及计算简单的优势。 2样条估计法中各具体方法比较 根据笔者进行的对国债样本的理论价格和实际市场价格 的价差实证检验显示，在样条估计法中，多项式样条法、B2 样条 法、Nelson2siege1 模型及 Svennson 模型相对比，多项式样条 法、B2 样条法在价格拟合度方面占有明显优势，估计误差比较 小，相比之下，能够较为真实反映不同期限的即期利率水平，在 此基础上进行的各期限债券的定价误差应该较小，NS 模型和 NSS 模型虽然规范性较好，但价格拟合精度牺牲较多。通过笔 者参考很多业内学者的进一步研究表明，NS 和 NSS 模型在反映 近期即期利率
17、时表现较好，但在对到期日较长的债券定价时误 差较大。B 样条法在利率期限结构的拟合精度、曲线光滑性及 平稳性方面等综合方面效果最好。因此模型构造的利率期限 结构与债券市场隐含的期限结构有一定差异。 样条估计和息票剥离法各有自身的特点以及缺陷，将二者 结合起来互相比较使用，就可以比较科学合理地对利率期限结 构进行静态估计。每一种样条估计法又有各自不同的侧重，所 以，在引用这些模型时应根据自己不同的侧重看来选择不同时 段不同期限的模型。 参考文献： 1郑振龙，陈蓉彭宇，谢兴超金融工程 第二版高等教育出 版社 2郑振龙，林海 中国市场利率期限结构的静态估计 武汉 金融 3陈雯，陈浪南 国债利率期限结构建模与实证 世界经济 4朱峰 国债即期利率的拟合估计 证券市场导报 5刘灿易璐 深沪两市国债收益率期限结构的实证研究 债 券市场 6彭宇，谢兴超 国债利率期限结构静态实证分析 西南交 通大学学报
