1、角平分线典型案例精析题 1 已知：如图 CDAB 于 D，BEAC 于 E，且 CD、BE 相交于 O 点.求证：（1）当1= 2 时，OB=OC；（2）当 OB=OC 时， 1= 2.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形【精析】要证 OB=OC，只须证 RtCEO 与 RtBDO 全等，由对顶角相等与1=2 的条件，即可得证，反之成立.此例是证明互逆命题.【证明】（1）1=2，OEAC，ODABOE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等）OB=OC.在OEC 与ODB 中OECODB（ASA）.（2）OEAC，ODAB，OECODB（AAS）.OEC=ODB，OE=OD.在OEC 与O
2、DB 中.【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.题 2 已知：如图 1= 2，BCAC 于 C，BDAD 于 D，连结 CD 交 AB 于 E 求证：AB 垂直平分 CD.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形【精析】要证的结论“垂直平分”，实际是（1）ABCD，（2）CE=ED，把角相等和垂直两个条件写出后，再使用角平分线性质定理，得 BC=BD，利用CBE 与DBE 全等得证.【证明】1= 2， BCAC，BDADBC=BD（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）1+3=2+4=90，3=4（等角的余角相等） .在CBE 与DBE 中CBEDBE（SAS）.
3、CE=DE，CEB= DEB，C，E，D 三点在同一直线上，ABCD 于 E，AB 垂直平分 CD.【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.题 3 已知：如图 AD 为ABC 的角平分线， DEAC 于 E，DFAB 于 F，EF 交 AD 于 M,求证：MF=ME.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形【精析】要证 MF=ME，只要证所在的三角形全等，由 AD 是角平分线条件，可得 DE=DF，3= 4，则这两个结论恰巧为全等创造了极好的条件.【证明】AD 为ABC 的角平分线，在 RtAFD 与 RtAED 中DEAC，DFAB，1+ 3=2+4=90
4、.DE=DF，3= 4. 1=2.在FDM 与EDM 中FDMEDM.MF=ME【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造全等三角形.EFABDC312ABCME12435 题 4 已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，BEDA 交 CA 延长线于 E，F 是 BE 的中点.求证：AFBE直击考查要点：角的平分线的性质与平行线的性质【精析】要证 AFBE，由于已知 F 是 BE 中点，于是只要证 AEAB，由已知 AD 平分BAC，BEDA 交 CA延长线于 E，即可得到 AEAB.【证明】因为 AD 平分BAC所以12，因为 BEDA，所以31，E2，
5、所以3E，所以 AEAB.因为 F 是 BE 中点，所以 AF 是ABE 的中线，所以 AFBE.题 5 已知：如图，在ABC 中，ABC3C，12，BEAE.求证：ACAB2BE.直击考查要点：角的平分线的性质与等腰三角形【精析】因已知“12，BEAE”即已知中有“角平分线配垂直”的条件，于是想到图形中隐含着一个等腰三角形.为此延长垂线段 BE 交 AC 于 M.立即得到ABAM，BEEM，BM2BE 等结论，要证 ACAB2BE 的问题转化为只要证 BMMC.【证明】延长 BE 交 AC 于 M，因为 BEAE，所以AEBAEM90，在ABE 中，因为13AEB180，所以3901，同理，
6、4902，因为12，所以34，所以 ABAM.因为 BEAE，所以 BM2BE，所以 ACABACAMCM因为4 是BCM 的外角，所以45C，因为ABC3C，所以ABC3545，所以 3C4525C，所以5C，所以 CMBM.所以 ACABBM2BE.【点评】分类讨论思想及方程思想在等腰三角形中应用非常广泛.题 6 已知：如图ABC 中A=2B、CD 平分ACB.求证：BC=AC+AD直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形【精析】等量关系通常在三角形中寻找，因此经常需要构造三角形.对于线段和或差的问题通常通过截长或补短转化为线段间的等量关系.【证明】方法 1：（截长法）在 BC 上截取
7、CE=CA 连结 DE.CD 平分ACB，1=2，在ACD 和ECD 中，.，AD=DE， .BE=DE，AD=BE，BC=BE+EC，BC=AC+AD，方法 2：延长 CA 到 E，使 AE=BD 连结 DE，由条件推出CEDCB，D(SAS)，CE=CB，E=B，3=2B，3=2E，4=E.AE=AD，EC=AC+AE，BC=AC+AD.【点评】对于线段之间倍半关系，常采用“截长补短”等辅助线的添加方法，或构造“倍”，或构造“半”，从而转化为线段间的等量关系. 题 7 如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处 O 的距离为 400 米，在图上标出学
8、校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）.直击考查要点：角的平分线的性质【精析】解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。【解】把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交角的平分线，在角的平分线上，从顶点量出表示实际 400 米长的线段便可确定学校的位置.表示实际 400 米长的线段为：0.04 米4cm.题 8 已知 AC 是四边形 ABCD 的一条对角线，并且 AC平分BAD，若B 与D 互补，求证：CD=CB直击考查要点：角的平分线的性质及全等三角形【精析】在四边形中证明两条线段相等有困难，应考虑转化为三角形来完成，注意到四边形的对角线把四边形对割成两个三角形，可以构造全等三角形，由于DB，有ABAD，在 AB 上载取 AE=AD，可证【证明】(1)若DB，则有 ABAD，在 AB 上截取 AE=AD，连结 CEAC 平分DAB， 1=2，AD=AE，AC=AC， ADCAEC.DC=CE，D=AEC.CEA 与CEB 互补， D 与B 互补，CEB=B， CE=CB，DC=CB.(2)若D=B，又1=2，AC=AC，ADCABC.CD=CB.(3)若DB 则有 ADAB 在 AD 上截取 AE=A，连结 CE，同理可证 DC=CB.
