1、湘教版SHUXUE八年级下,角平分线的性质（二）,1、怎样用尺规作角的平分线.,2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等,A,B,PDOA，PEOB, OC是AOB的平分线, PDPE,用符号语言表述：,3.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,用符号语言表述： PDOA，PEOB PDPE 1= 2即：OC是AOB的平分线,反过来：,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.,动脑筋,如图，在ABC中，作点P，使点P到三边AB、BC、CA的距离相等。,你能在ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？,分析：因为角平分线上的点到角两边
2、的距离相等，所以只要作ABC任意两角的平分线其交点就是所求得P点。,口述作法,能证明作图结论吗？,如图， ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,BM是ABC的角平分线，点P在BM上，,同理：PE=PF.,PD=PE=PF.,即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。,点P在A的平分线上吗？,三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。,PD=PE( ).,角平分线上的点到角两边距离相等,举 例,例1、如图，已知 EFCD, EFAB， MNAC， M是EF的中点，需要添加一个什么条
3、件，就可使CM，AM分别为ACD和CAB的平分线呢？,(可以添加条件MN=ME或MN=MF),理由： NECD, MNCA且MN=ME, M在ACD的平分线上， 即：CM是ACD的平分线,同理：可得AM是CAB的平分线。,例2、 如图，在ABC的外角DAC的平分线上任取一点P，作PEDB，PFAC，垂足分别为点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。,解：AP是DAC的平分线。 又 PEDB PFAC, PE=PF,在EBP中，BE+PEPB, BE+PFPB,例3、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：过点F作FGAE于G，FHAD于
4、H，FMBC于M,点F在BCE的平分线上，FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,1、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BE=CF。 求证：AD是ABC的角平分线。,提示：RtDEB RtDFC（HL）,得：DE=DF,由角平分线性质，得出结论。,2、已知 BDAM于点D，CEAN于点E，BD，CE交点F，CF=BF， 求证：点F在A的平分线上.,提示：RtFEB RtFDC（AAS）,得：DE=EF,由角平分线性质，得出结论。,变式训练：如图，ABC中，A = 90，
5、AB = AC， BD是BAC的平分线，DEBC于E，若BC = 10cm， 则DCE的周长等于( ) A10cm B8cm C6cm D9cm,A,3、已知：如图，在ABC中，A=90， AB = AC，BD平分ABC 求证：BC = AB + AD,提示：由角平分线性质，得：AD=DE.,RtBADRtBED（HL）,得：AB=BE,又可证：DEC是等腰直角三角形，DE=EC,如图，有两条河流l1，l2 ，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。,解：（1）画AB的垂直平分线MN，,（2）画的平分线交直线MN于P,则P点就是中转站的位置。,变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个超市.使这个超市到三条公路的距离相等,应在何处修建?,在确定超市的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?,若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA，QEOB， 点Q在AOB的平分线上 QDQE,作业：P25 练习 P26 习题 3、5,
