1、第29卷第6期 振动与冲击 JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK 新的模型修正与模态扩展迭代方法 李伟明，洪嘉振，张以帅 (上海交通大学船舶海洋与建筑丁程学院，上海200240) 摘 要：由于有限元模型与实验模型白南度的不匹配，模型修正中经常需要使用模态扩展技术。利用动态扩充法 进行模态扩展进而进行模型修正时，模型修正过程中并没有考虑到使用有限元模型对实验数据进行模态扩展而造成的误 差。针对这一问题，提出一种新的迭代方法，在模型修正过程中计及了上述的误差项，并将其以修正项的形式添加到模型 修正当中，同时该方法没有限定所使用模型修正的方法，具有一定的通用性。通过Cross
2、model Crossmode method(CM CM)模型修正方法对新的迭代方法进行了详细讨论。算例表明，新的迭代方法较原方法可以极大地提高模型修正的迭代 收敛速度。 关键词：有限元；模型修正；模态扩展；迭代 中图分类号：0342；V214 文献标识码：A 在建筑、航空、航天工程等领域，为了对结构进行 动态分析、损伤识别、动力优化设计及主被动控制设 计，必须建立准确可靠的有限元模型。但是由于结构 的复杂性和建模方法本身的局限性，用有限元方法建 立的模型，往往不能准确地反映实际结构的动力学特 性，有限元模型的计算结果与实验模型的测试结果之 间往往存在着比较大的差距，这些差距难以通过改进 有限
3、元模型的建模技术或实验的测试方法来消除。在 工程应用中，一般认为实验数据更为准确和可靠，因此 通常需要利用模型修正技术 对有限元模型进行修 正，使得修正后的有限元模型的模态参数与实验测试 值在某一范围内保持一致，从而提高有限元模型的可 靠性。另外，随着结构复杂性的增加，在对其进行有限 元分析时往往会具有成千上万的自由度，有限元分析 要求细密的结点网格以便提供准确的预测，但是在实 验中测出所有对应的自由度是不现实甚至是不可能 的，这就促使模型缩聚技术l5 与模态扩展技术的 J 兴起和发展。目前有限元模型修正技术与自由度匹配 技术往往都是独立进行研究，将二者结合起来进行研 究的文献还比较少见。 在
4、众多模态扩展方法中，动态扩充法是应用的较 为广泛的一种 。该方法需要使用有限元模型的质量 阵和刚度阵对实验模态进行扩充，利用扩充之后的实 验数据对有限元模型进行修正，再利用修正后模型的 质量阵和刚度阵对初始实验模态重新进行扩展计算， 以此作为迭代过程不断的对有限元模型进行修正。但 是，上述的修正过程中并没有考虑到使用有限元模型 对实验数据进行模态扩展而造成的误差。针对这一问 基金项目：国家自然科学基金(10772ll3)资助项目 收稿日期：20090417修改稿收到日期：20090619 第一作者李伟明男，博士生，1982年l2月生 题，本文提出一种新的迭代方法，该方法在模型修正过 程中计及了
5、上述的误差项，并将其以修正项的形式添 加到模型修正当中，而且新的方法中没有限定所使用 的模型修正方法，具有一定的通用性。最后通过十自 由度弹簧质量系统的模型修正来验证本文方法的优 越性。 l动态扩充法 首先，按照测量自由度t和非测量自由度u，得到 第k次迭代的特征方程： 一 ) 0 其中， ：，、A， 分别表示通过实验实测的第 阶实验模 型的模态分量和频率， ，表示通过模态扩展得到的实 验模型第 阶非测量自由度的模态分量。 、 、 分别为按照测量自由度与非测量自由度重新组集 的刚度阵，质量阵 划分方法与刚度阵 相同。 将上式简写为： (K一A， M ) 0 (2) 式中， ， ”表示第k次修正
6、时实验模型的第 阶完整 模态， 和 表示第 次修正时有限元模型的刚度 阵和质量阵，设定 和 表示初始有限元模型的 刚度阵和质量阵。 其次，由式(1)计算得到： =一( ： 一A， M ( k ) ( 一ai* ) t ,j= ” (3) 式中： P =一( 一A， ) ( 一A， M )(4) 这样可得扩展矩阵 ”为： 第6期 李伟明等：新的模型修正与模态扩展迭代方法 5 】 (5) 最后得到第 阶扩展后的实验模态为： ： 】= (6) 【 )J 利用上述扩充之后的实验数据结合模型修正方法 对有限元模型进行修正，再利用修正后模型的质量阵 和刚度阵对初始实验模态重新进行扩展计算，得到新 的扩展之
7、后的实验数据，以此作为模态扩展与模型修 正的迭代过程。当修正结果满足一定的收敛条件时， 迭代结束，否则迭代继续。 2新的动态扩充法迭代策略 由动态扩充法的式(1)可以看到，在对实验模态进 行扩展的时候，使用的是有限元模型的质量阵和刚度 阵，这是一种近似的过程，所以在式(1)中使用了约等 号“一”，这种近似将在后面的迭代过程进行减弱并消 除。但是，对实验模态进行扩展，准确的方法应是利用 实验模型的质量阵和刚度阵。这样，模态扩展过程就 变为 ：1 【K 二J ：1 ：。 (7)M*J A I l II l u 1 ) 【 ，L J 其中K 、 分别为实验模型的刚度阵、质量阵。 JP =一( 一A，
8、 二) ( 耋一Af ) (8) 通过上式可得实验模型的扩展矩阵 为： J (9) 这样，第7阶扩展后的实验模态为： 叫 (10) L J 假设使用真实的实验模型刚度阵和质量阵求出的 扩展矩阵 与使用有限元模型的刚度阵和质量阵求 出的扩展矩阵为 二者之问的差别为： ”=Ti 一 ” (11) 若能够在迭代过程中得到 ”那么即可获得 ， ，这样便可减少迭代的次数，所以考虑通过利用迭代 获得 ”= 一 ，以此来逼近 。 假设所使用的模型修正方法为_厂，动态扩充法为g， 修正结果为P，利用有限元模型计算得到的频率和模态 分别为A、 ， 、 表示在给定参数情况下，刚度矩阵 和质量矩阵的组集方法。这样，
9、新的迭代过程为： (1)在第一次迭代时，在已知初始有限元刚度阵， 质量阵 ，肘的情况下，即M=M，K =K，得到实 验模态的扩展矩阵 ，T =g(M， )， ： 0，扩展后的实验模态为 ”= ” ； (2)进行第一次修正，修正结果为：P。=_厂(M，K， ，A ， ，A， ，)，修正后的有限元模型的质 量阵和刚度阵分别为：M = (p )，K = (p )； (3)对于第k次迭代(k=2，3，)，计算： (a)T =g(M，K ) (b) A ”= 一 ” (c) ”= ：， (d)P = M，K，AT似，A ， ，A， ，) (e)Mk = (p )，Kk =g(p ) (4)当P 满足一定
10、的收敛准则时，则迭代停止， 否则令k=k+1，返回到第(3)步。 3扩展型CMCM法 文献4是近年来Hu等提出一种模型修正的正交 模型一正交模态(CMCM)法，该方法不需要进行灵敏 度分析并且具有良好的建模误差判断能力，提高了修 正后模型的分析精度和可靠性；同时该方法以设计参 数为修正对象，修正得到的结果可以方便地应用到有 限元分析软件，避免了矩阵型方法修正结果难以应用 的问题。由上一节公式推导可以看出，本文所提出的 方法中并没有限定所用的模型修正方法，具有一定的 普遍意义。为了便于讨论，在CMCM法中使用本文所 提出的迭代方法，借此来证明本文所提出方法的有 效性。 假设在第k次迭代过程中，有
11、限元模型与实验模 型之间存在如下关系： Ne K =K+ (12) n=1 Ne M =M+ M (13) 其中 M 分别为第rb单元对总体刚度阵、质量阵的 贡献；Ne表示有限单元的个数； 、 ”为在第k次 迭代过程中第n单元的刚度参数修正因子、质量参数 修正因子。 考虑有限元模型的第i阶特征方程： =A M (14) 和实验模型的第 阶特征方程： =A M (15) 式(14)左乘( ) 得： ( ， ) K =A ( ， ) M (16) 式(15)左乘( ) 得： ( ) K =A， ( ) ， (17) 考虑到( ， ) 凰 是一个标量，因此有： ( ) =( ) (18) 6 振动与
12、冲击 2010年第29卷 类似地： ( ， ) M =( ) M ， (19) 将式(18)、式(19)代入式(16)得到： ( ) ， ：A ( ) M ， (20) 式(17)减去式(20)，并使用式(12)、式(13)得： Ne ( ) ( )哆 =A ( ) (M+ n=l P ) 一Ai( ) (21) 整理式(21)得到： Ne Ne ：”( ) 一A ”( ) M ： (九， 一A )( ) M (22) 将式(10)代人式(22)得： ( ) K 一A， 卢 ( ) M = (A， 一A )( ) (23) 将式(11)代入式(23)得： Ne ( ) ( 4- ) 一 n：J
13、 Ne A ( ) M ( 4- ) = (A 一A )( ) ( 4- ) ：， (24) 整理式(24)得到： P ( ) K A ”( TM 0= (A， 一A )( ) ” 0+A， ( ) M A ( ) 一( ) ( 一 ) (25) 化简式(25)得到： 1 lr ( ) K A ( TM = (A， 一A )( ) ( ，+D (26) 其中： D =A ( ) M A ( ) ” 一 ( ) (K 一K) ” ：， (27) 通过上述的公式推导可以看到，如果使用常规的 方法推导出的扩展型CMCM法，那么推导的结果为： 培 o： ( 。) K A， 卢 ( ) M ” 0= n
14、=l ，l：1 (A， 一A )( ) M (28) 也就是说，使用了本文提出的迭代方法推导得到的方 法较常规方法多了一个修正项D ，正是因为在修正 项中体现了有限元模型与实验模型不同的扩展矩阵之 间的差别，所以可以大大地加快收敛速度。 4算例 ， 图1所示为一个十自由度的弹簧质量系统，有限 元模型的每根弹簧刚度为1 kNm，每个集中质量为 1 kg。假设结构的第4、7号质量块存在建模误差，实验 模型的质量分别为有限元模型的075、115倍；第3、 5、9号弹簧存在建模误差，实验模型的刚度分别为有限 元模型的15、13、15倍。假设测量自由度随机选在 图1的m1、m2、m4、ms、m7、m9、
15、m107个位置，剩余位置 对应非测量自由度。 图1十自由度弹簧质量系统 Fig1 Ten DOF springmass system 有限元模型与实验模型的频率比较见表1。由表 1可以看到，有限元模型与实验模型在频率上相差比较 大，有限元模型的可靠性值得怀疑，所以需要进行模型 修正。 表1 有限元模型与实验模型的频率对比 Tab1 Comparison of frequency between the FEM model and the test mode1 分别使用常规的迭代方法与本文提出的迭代方法 推导出的扩展型CMCM法对上述模型进行修正，将每 次迭代过程中计算得到的参数与精确值比较得到
16、的相 对误差作为纵坐标，迭代次数作为横坐标，修正情况见 图2(a)图2(e)。 由图2可以看到，所有的待修正参数经过几次迭 代之后的相对误差均趋于0。毫无疑问，修正之后有限 元模型与实验模型频率的相对误差也趋于0。这样，有 限元模型才是一个可靠的模型，才可以进一步用来进 行结构分析、主被动控制等应用。 另外由图2可以看到，使用本文提出的迭代方法 推导得到的扩展型CMCM法的修正结果与常规的扩展 型CMCM法相比在收敛速度上有了很大的提高，所有 第6期 李伟明等：新的模型修正与模态扩展迭代方法 7 Iterative timesk (a)参数 的修正结果 (a)Update result of
17、k3 Iterative timesk (b)参数k 的修正结果 (b)Update result of ks Iterative timesk (d)参数m 的修正结果 (d)Update result of m4 Iterative timesk (C)参数 的修正结果 (C)Update result of k9 Iterative timesk (e)参数m 的修正结果 (e)Update result of m7 图2本文提出的方法与常规方法参数收敛速度的对比 Fig2 Comparison of the convergence speed between the uew metho
18、d and the conventional method 参数的相对误差曲线均在常规方法计算的曲线下方。 这对于一些大型、复杂的工程问题来说具有重要的意 义，在相同的收敛标准下，使用了本文提出的方法可以 节省大量的计算时间，具有重要的工程应用价值。 5 结论 本文提出了一种新的基于动态扩充法的迭代型模 型修正方法，该方法通过在迭代过程中计及了使用有 限元模型对实验数据进行扩展而带来的误差，将其加 入到模型修正当中。在公式推导过程中并没限定所使 用的模型修正方法，所以本文提出的方法具有一定的 通用性。在CMCM法中使用了本文提出的迭代思想， 推导得到了扩展型CMCM法。算例表明本文方法与常 规
19、方法相比具有更快的迭代收敛速度，证明了本文提 出方法的有效性。 参考文献 1Steenacker G，Guillaume PFinite element model updating taking into account the uncertainty on the model parameters estimatesJJournal of Sound and Vibration，加0,6，296 (4)：919934 f2Bakir P G，Reynders E，Roeek G DeAn improved finite element model updating method by th
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