1、 几何画板与动态型中考题的整合研究1中文摘要随着几何画板在数学解题上的广泛应用，学生在理解动态型题目过程中能轻松将抽象的数学语言转化为具体图像表达，但学生只是看到教师的演示，缺少自己动手操作的过程。本文以全国各省市近三年典型动态型中考试题为例，把题目主要分为旋转、翻折、平移三大类。借助几何画板制作出相应的解题课件，师生能亲自动手操作，从而更好地分析这三类变换的解题特点。本文结合几何画板课件，展现完整的探究过程，让师生在动态中体验这三类变换的变与不变，获得清晰的解题思路。并记录了详细的课件制作步骤，图文并茂，可作为简易教程供教师参考。关键词 ：旋转，平移，翻折，几何画板，中考题，动态展示，简易教
2、程ABSTRACT几何画板与动态型中考题的整合研究2With the Geometers Sketchpad in mathematics problem solving on a wide range of applications, the students can easily translate the abstract mathematical language into specific image expression in order to understand the dynamic subject process. But the students just to see
3、the teachers demonstration with the lack of their own operation process. In this paper as the various provinces and cities nationwide the typical dynamic type senior high school entrance examination questions in recent three years for example, the subject is mainly divided into rotation, folding, tr
4、anslation .Using geometric sketchpad to produce corresponding solving courseware, teachers and students can hands-on operation, thereby better analys these three kinds of transform exercises. In this paper the Geometers Sketchpad courseware displays a full investigation process, making teachers and
5、students experience the changed and unchanged of this three kind of transformations in a dynamic type and get a clear thinking. This paper record the details of the steps of making courseware illustrately. And it can be used as a simple tutorial for teachers.Key words : rotation, translation, foldin
6、g, the Geometers Sketchpad, senior high school entrance examination problem, dynamic display, simple tutorial目录几何画板与动态型中考题的整合研究31引言 42.翻折类问题 42.1 例 1（2009 年鄂州市） .42.1.1 动态体现 52.1.2 探究过程展现 52.1.3 关键制作步骤： .72.1.4 满分解答 102.2 例 2（2009 年福州市） .122.2.1 动态体现 122.2.2 探究过程展现 132.2.3 关键制作步骤 172.2.4 满分解答 243 旋转
7、类问题 .263.1 例 3（2009 年山东德州） .273.1.1 动态体现 .273.1.2 探究过程展现 273.1.3 课件制作步骤要点 303.1.4 满分解答 343.2 例 4（2010 湖南常德市） .353.2.1 动态体现 .353.2.2 探究过程展现 .353.2.3 课件制作步骤要点 .383.2.4 满分解答 424平移类问题 444.1 例 5(2010 四川眉山) .444.1.1 动态体验 454.1.2 探究过程展现 454.1.3 课件制作步骤要点 .484.1.4 满分解答 514.2 例 6（2009 年浙江义乌） （平移与旋转结合） .524.2.
8、1 动态体现 .524.2.2 探究过程展现 534.2.3 关键制作步骤 564.2.4 满分解答 63几何画板与动态型中考题的整合研究41引言平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类实体的特点是：结论开放，研究目标不确定，注重考查学生的猜想、探索能力，因此时常使学生无从下手。而几何画板具有动态演示交互、计算精确等特点，非常适合于解决平移、旋转和翻折这三大类动态型问题。本文结合几何画板课件，通过展现完整的探究过程， ，轻松突破了以上难点。通过几何画板这个工具，一来能让我
9、们直观地感知题目条件，快速清晰地理解题意；二来提供一个实验探究平台，利用它学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生对题目的理解和证明，使学生从过去的“听数学“转变为现在的“做数学“。2.翻折类问题翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折 180 后所形成的新的图形的变化。翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。2.1 例 1（2009 年
10、鄂州市）如图 27 所示，将矩形 OABC 沿 AE 折叠，使点 O 恰好落在 BC 上 F 处，以 CF 为边作正方形CFGH，延长 BC 至 M，使 CMCFEO，再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO(1)试比较 EO、EC 的大小，并说明理由。(2)令 ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由。；四 边 形四 边 形 CNMFGHSm(3)在(2)的条件下，若 CO1，CE ，Q 为 AE 上一点且 QF ，抛物线 ymx 2+bx+c332经过 C、Q 两点，请求出此抛物线的解析式。(4)在(3)的条件下，若抛物线 ymx 2+bx+c 与线段 AB 交于点
11、 P，试问在直线 BC 上是否存在点 K，使得以 P、B、K 为顶点的三角形与AEF 相似?若存在，请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在，请说明理由。几何画板与动态型中考题的整合研究52.1.1 动态体现请打开几何画板文件名“翻折 1”。2.1.2 探究过程展现该题的主要变量是矩形 OABC 的大小，主要不变量是AOE 的翻折。（1）翻折的动态演示。点击“翻折”按钮，可观察到翻折的动态过程。点击“返回”按钮，可看到三角形返回的过程。同时下面设置了两个按钮，可随意改变矩形 OABC 的大小。图 2-1-2.1(2)对于第一问：试比较 EO、EC 的大小，并说明理由。这是翻折后的
12、图形，此时可以观察到 EO 的长度EC 的长度。如图 2-1-2.2 。点击“改变 C”或者“改变 A”按钮，改变点 F 在 BC 上的位置。再度观察 EO 与 EC 的长度。在这个过程中会发现：当点 F 越来越靠近点 C 时，CE 与 EO 的长度会越来越接近。只有当点 F 与点 C 重合时，EO 与 EC 的长度相等，其他情况 EO 的长度EC 的长度。如图 2-1-2.3。几何画板与动态型中考题的整合研究6图 2-1-2.2 图 2-1-2.3(3)对于第二问：令 ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不；四 边 形四 边 形 CNMFGHSm是，请说明理由。用几何画板操作时
13、，我发现题目有 2 个地方都出错了。第一处错得地方是该比值：，分母是四边形 CNMN 应改为四边形 CNMO. ；四 边 形四 边 形 CNMFGHSm第二处错误的地方是：按照题目让 CMCFEO是不行的。算出来的 m 不是一个定值，它会随着矩形 OABC 的改变而改变。如图 2-1-2.4 与图 2-1-2.5。图 2-1-2.4 图 2-1-2.5因此 CMCFEO肯定是不对的。那么 CM 到底等于多少呢？直觉告诉我，CM=CEEO.果然，试验了一下成功了。任意改变矩形 OABC 的大小，m 始终等于 1。如图 2-1-2.6 与 图 2-1-2.7。几何画板与动态型中考题的整合研究7图
14、2-1-2.6 图 2-1-2.7如果不是有了几何画板的探究，不管是学生还是老师，也许将耗费很多的时间在该题上依旧一无所获。所以用几何画板去探究题目，不仅直观，而且是检验题目的正确性的一个很好的工具。因此用几何画板解题是很有必要的。(4)第三问、第四问，略。2.1.3 关键制作步骤：（1）建立直角坐标系，分别在横轴与纵轴上取一段线段，再在上面分别取一点，分别命名为 C 和 A。建立点 C 和点 A 的动画点。这样就能随意改变矩形 ABCO 的大小。成功构造出变量。如图 2-1-3.1。图 2-1-3.1（2）为了确定折痕的位置，如图 2-1-3.2 所示，设 OE=x,BC=b，CO=a,则解
15、得 x=OE= 。2axbax22ba几何画板与动态型中考题的整合研究8图 2-1-3.2则以 O 为圆心， 为半径作圆，交 OC 于点 E.如图 2-1-3.3所示，找出折痕点 E。图 2-1-3.3（3）连接 AE，连接 EF，OF，则AEF 是AEO 沿着线段 AE 翻折得到的。如图 2-1-3.4。几何画板与动态型中考题的整合研究9图 2-1-3.4（4）如图 2-1-3.5，以 OF 的中点 G 为圆心，OG 为半径作圆。在圆上取点 I，连接 EI,IA.分别作 I 移动到点 O 得动画，命名为“返回”。作 I 移动到 F 的动画，命名为“翻折”。此步骤是为了构造出翻折效果。而这一步
16、的关键是找到一个大小适中的圆。图 2-1-3.5（5）如图 2-1-3.6，隐藏圆与线段 OF，度量出 CE 与 EO 的长度。从而能使学生第一时间直观感知 CE 与 EO 的相对大小，可让学生从结论出发，思考解答思路。完成第一问。几何画板与动态型中考题的整合研究10图 2-1-3.6（6）制作第二问：计算出|CE-EO|的大小。且以 C 为原点，|CE-EO|的长度为半径作圆。作直线 CF，交圆于点 M。过 M 作 CF 的垂线交 x 轴于 N。作正方形 CFGH. 如图 2-1-3.7。图 2-1-3.7（7）构造四边形 CMNO 与四边形 CFGH，度量出其面积比 m,完成。如图 2-1
17、-3.8。图 2-1-3.8几何画板与动态型中考题的整合研究112.1.4 满分解答（1）EOEC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在 RtEFC 中，EF 为斜边，EFEC， 故 EOEC （2）m 为定值S 四边形 CFGH=CF2=EF2EC 2=EO2EC 2=(EO+EC)(EOEC)=CO(EOEC)S 四边形 CMNO=CMCO=|CEEO|CO=(EOEC) CO1CMNOFGH四 边 形四 边 形（3）CO=1， EF=EO=32QE， QF321cosFEC=FEC=60，21 0608EAOFA，EFQ 为等边三角形，32Q作 QIEO 于 I，EI= ，IQ=1E3IO
18、=Q 点坐标为312),3(抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0，1)， Q，m=1)1,(可求得 ，c=13b抛物线解析式为132xy（4）由（3）， EOA当 时， AB2x 3)3(2yP 点坐标为 1,BP= AO321方法 1：若PBK 与AEF 相似，而AEFAEO，则分情况如下：几何画板与动态型中考题的整合研究12 时， K 点坐标为 或32BK932)1,934(),8( 时，K 点坐标为 或3),3(,0(故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为)1,0(3,()7,035,(或或或 方法 2：若BPK 与AEF 相似，由（3）得：BPK=30或 60，过 P 作 P
19、Ry 轴于 R，则RTP=60或 30当RTP=30时， 2RT当RTP=60时， 3)1,0(),()35,0()7,( 421 TT， 2.2 例 2（2009 年福州市）已知：如图 12，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC5cm，CD6cm，DCB60，ABC90。等边三角形 MPN（N 为不动点）的边长为 cm，边 MN 和直角梯形 ABCD 的底a边 BC 都在直线 上，NC8cm。将直角梯形 ABCD 向左翻折 180，翻折一次得到图形，l翻折二次得图形，如此翻折下去。（1）将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少
20、？（2）将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积，这时等边三角形的边长 a 至少应为多少？（3）将直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？IP12MADC BN几何画板与动态型中考题的整合研究132.2.1 动态体现请打开几何画板文件名“翻折 2”。2.2.2 探究过程展现该题的主要变量是：等边三角形 MNP 的大小，主要不变量是：直角梯形 ABCD 的大小。对于第一问：将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时
21、等边三角形的边长 a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（1）如图 2-2-2.1，图 2-2-2.2。在 GH 直线上.移动点 H 或选中 H 点按“左右键”，即可改变等边三角形 PMN 的边长，因为 GH 的长度就是等边三角形 PMN 的边长大小。同时可观察到当 a2cm 时，重叠部分的面积不会改变。从而为学生解题提供结论性的帮助。图 2-2-2.1几何画板与动态型中考题的整合研究14图 2-2-2.2（2）如图 2-2-2.3 与 图 2-2-2.4。可以发现当 a=2 时，三角形的边 PM 与梯形的斜边重合。因此 a=2 是一个临界点，当 a6.58 时，重叠部分面积梯形面积的一半
22、。如图 2-2-2.10。几何画板与动态型中考题的整合研究17图 2-2-2.8图 2-2-2.9几何画板与动态型中考题的整合研究18图 2-2-2.102.2.3 关键制作步骤（1）建立平面直角坐标系，以 C 为原点，按题目要求画出直角梯形。如图 2-2-3.1。图 2-2-3.1（2）双击 y 轴，是 y 轴成为对称轴。作直角梯形 ABCD 的反射图形 ABCD。 如图2-2-3.2。图 2-2-3.2（3）制作翻折效果。在 y 轴上找一点 M，CMCB.度量出 CM 与 CB 的坐标距离。以 C 为中心，CB 为长轴、CM 为短轴构造椭圆。先写出椭圆的解析式， .如2()(1)xfxMB
23、图 2-2-3.3。几何画板与动态型中考题的整合研究19图 2-2-3.3（4）在椭圆上找一点 H，连接 CH。过点 H 作 HO 垂直于 CB 且 HO 等于 AB，且过点 O 作 CH的平行线，且使 OP=AD。连接 CP。如图 2-2-3.4。图 2-2-3.4（5）隐藏椭圆，制作动画按钮。先制作隐藏直角梯形 ABCD按钮，再制作“HB”的按钮，然后制作显示直角梯形 ABCD按钮，最后先后选中它们，制作顺序 3 个动作。几何画板与动态型中考题的整合研究20图 2-2-3.5（6）将刚才的“顺序 3 个动作”更名为“翻折 1”。同样方法制作“返回 1”按钮。如图2-2-3.6。.图 2-2
24、-3.6（7）用同样地方法，构造第二个椭圆。此时的椭圆的位置比之前的椭圆对比，应该向左移动 5 个单位。因此函数解析式为 。接着制造会动的梯形。22(5)()1xfxCMBg如图 2-2-3.7。几何画板与动态型中考题的整合研究21图 2-2-3.7（8）按上述方法制作“翻折 2”与“返回 2”按钮。完成翻折效果图。如图 2-2-3.8。图 2-2-3.8（9）对于第一问：将直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？构造线段 GH,H 点可在直线上运动从而改变 GH 的长度。使 a=GH 的长度，构造等边三角形。如图 2-2-3.9。几
25、何画板与动态型中考题的整合研究22图 2-2-3.9（10）构造三角形 ICN 的内部，度量出它的面积。完成第一问。如图 2-2-3.10。图 2-2-3.10（11）对于第二问。构造出梯形 ABCD 第三次翻折得到的图。如图 2-2-3.11。图 2-2-3.11（12）移动点 H，发现当 GH10cm 时，等边三角形包围了梯形。如图图 2-2-3.12，图 2-2-3.13。因此在直线 GH 上再找一个点 M，移动 M，使 GM=10cm。制造“HM”的按钮，更名为“目标”。隐藏点 M。完成第二问。如图 2-2-3.14。几何画板与动态型中考题的整合研究23图 2-2-3.12 图 2-2
26、-3.13图 2-2-3.14（13）度量出直角梯形 ABCD 的面积的一半。再度量出翻折 3 次后的梯形与等边三角形的面积。完成。如图 2-2-3.15。几何画板与动态型中考题的整合研究24图 2-2-3.152.2.4 满分解答解：（1）图 2-2-4.1如图 2-2-4.1。因为 CB=5， =10，CN=8 所以 =2CCN又因为DCB=60且 =60I所以 为正三角形.IN所以 的高为 h= 3所以 = 2 =ICNSV12（2）几何画板与动态型中考题的整合研究25图 2-2-4.2在直角梯形 ABCD 中因为 CD=6，DCB=60所以 AB=3 cm3当直角梯形在第三次翻折后，刚
27、好跟等边三角形的 PM 边有一个交点时能满足重叠部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积，设这个交点为 K，如图 2-2-4.2。在 Rt 中，tan30=“KMB“BK=3 =33所以 MN= + + =3+5+2=10 cm “CN（3） = （2+5）3 =ABCDS梯 形 12321当 M 与 重合时，交 于 V .如图 2-2-4.3。“图 2-2-4.3则 = S 梯形MVCS153241ABCD几何画板与动态型中考题的整合研究26图 2-2-4.4所以 MC5，设 MC=x，则有 h= x，如图 2-2-4.4。32所以令 = x x=S公 共 部 分 12g314解得 x=因为
28、 =2CN所以等边三角形 MNP 的边长 a 为（ +2）cm21一平面图形经过翻折后成为空间图形,由于位置关系变了,有些元素在位置关系的变化中发生了变化,有些元素的数量关系并不改变。翻折类题型的解法的关键是要抓住这些变动着的量和保持不变的量之间的关系，搞清楚变化的量在翻折过程中的空间关系的位置变化。利用几何画板进行翻折类题型的动态展示，更清晰地看清平面图形翻折过程中的动态变化。变化的量在变化的过程中通过几何画板有一个很直观的动态展示，能更好地理解题目。3 旋转类问题旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中
29、心，图形转动的角叫做旋转角。旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。这是图形变换最基本的一种，我选取了比较有代表性的 2009 年山东德州中考第 23 题为例子，详解如下：几何画板与动态型中考题的整合研究273.1 例 3（2009 年山东德州）已知正方形 ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为DF 中点，连接 EG， CG（1）求证： EG=CG；（2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；
30、若不成立，请说明理由 （3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）3.1.1 动态体现请打开几何画板文件名“旋转 1”。3.1.2 探究过程展现该题的主要变量是：BEF 的大小，主要不变量是：线段 EG 与线段 GC 的位置。（1）对于第一问：求证： EG=CG；点击“动点 E”按钮，可改变线段 BE 的长度，从而改变BEF 的大小。如图 3-1-2.1 和图 3-1-2.2。在这个过程中，EG 与 GC 的长度虽然随时改变，但能清晰地观察到 EG 与 GC的长度始终相等。从课件中让学生初步
31、感知到“变”与“不变”。FBA DCEG第 23 题图FBA DCEG第 23 题图FBACE第 23 题图几何画板与动态型中考题的整合研究28图 3-1-2.1图 3-1-2.2（2）对于第二问：将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由点击“逆时针旋转”按钮，即能让学生看到BEF 整个旋转过程。如图 3-1-2.3 到图 3-1-2.4。学生能全程看到线段 EG 和线段 GC 的长度始终不变，从而进一步思考原因。观察后按“三角形返回”按钮，使三角形恢复旋转前位置。几何画板
32、与动态型中考题的整合研究29图 3-1-2.3 图 3-1-2.4（3）除此之外，可点击“E 点运动”按钮，随意改变线段 BE 的长度再行观察。如图 3-1-2.5。图 3-1-2.5（3）对于第三问：将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？如图 3-1-2.6 至 3-1-2.8。点击“任意角度旋转点 E”按钮，即可对BEF 进行任意角度旋转，此时可随时观察到 EG 与 GC 各自的长度虽然改变，但始终相等。点击“三角形返回”即可恢复旋转前的位置。图 3-1-2.6 图 3-1-2.7几何画板与动态型中考题的整合研究30图 3-1-2.8（4）跟前两问一样，点击“动点 E”按钮，可随意改变线段 BE 的长度，进而改变BEF 的大小，进行再次观察。（5）当然，可以将三个小问整合在同一个图中展现出来。如图 3-1-2.9。图 3-1-2.93.1.3 课件制作步骤要点（1）画出正方形 ABCD，与对角线 BD，作 BD 的中点 I，构造线段 BI，在 BI 上作一个点E。然后隐藏点 I。如图 3-1-3.1。
