1、专题 10 探索利用空间向量求空间夹角方法一、选择题1 【北京海淀北方交大附 2016-2017 学年高二上学期期中】过正方形 ABCD的顶点 ，作 PA平面ABCD，若 PA，则平面 BP和平面 CD所成的锐二面角的大小是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 9【答案】 B1,0D，设平面 CP的一个法向量为 ,nxyz， 0yxz， 1,，平面 ABP的一个法向量为 ,0m，21cosmn，所求锐二面角为 45故选 B二、解答题2 【河南省漯河市高级中学 2018 届高三上学期三模】如图，四边形 ABEF和四边形 CD均是直角梯形，09FABD 二面角 是直二面角， /,/,2
2、,1ECAFBCAD.（1）证明：在平面 E上，一定存在过点 的直线 l与直线 F平行；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析（2） 6【解析】试题分析：（1）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；（2）可证 AFDAB， ， ，则以 A为坐标原点， ,ADBF所在的直线分别为x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系利用空间向量可求二面角 C的余弦值（2）因为平面 ,ABEFCDA平面 BEF,平面 ACD平面 BEFA,又 09，所以 ，所以 平面 ，因为 D平面 ，所以 ，因为 0,所以 ，以 A为坐标原点， ,ABF所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，
3、由于二面角 FCDA为锐角，因此二面角 FCDA的余弦值为 6.【点睛】熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、以及利用空间向量可求二面角是解题的关键3 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】如图，在矩形 中， ， ， 是平面同一侧面点， ， ， ， ， .（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（）由条件可得 ， ，从而可证得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可得结论；（）建立空间直角坐标系，利用向量的运算可求得二面角 的余弦值为 ，进一步可得正弦值为 。（） ， ， ， ， ，又 ， ， 平面 .以 为坐标原点，建立如图所示
4、的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， . ， ，4如图，在三棱柱 1ABC中，平面 1BC平面 AB，四边形 1CB为菱形，点 M是棱AC上不同于 ， 的点，平面 1M与棱 交于点 N， 2， 90AC， 160B（）求证： 1N平面 1CB；（）求证： 平面 A；（）若二面角 1M为 30，求 的长【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 425.【解析】试题分析：（）先利用面面平行的性质定理得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行求解；（）先利用面面垂直的性质定理和菱形的对角线相互垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（）利用空间向量进行求解.试题解析：（）因为在三棱柱
5、 1ABC中，平面 ABC平面 1，平面 1BM平面 ，平面 平面 11=N，所以 A . 又因为 1BN平面 1C， B平面 1CM，所以 平面 M.（）取线段 1BC中点 D，因为菱形 1BC中， 160B，所以 .又因为 A 1，所以 .又因为 B平面 1C.如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 -Bxyz， 则 12003A， ， ， ， ， ， ， ， ， 1023C， ， ， ， ， ，所以 1,3BC， ,， ,A， 2,0C. 设 AM=C， （ 01） B+BA2,0,20,20 ， 设平面 1的法向量为 nxyz，则 0 CnBM， 即 3 20，所以 242AM=C55，
6、即 AM的长为 425. 【点睛】在处理空间角（异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角） ，往往利用空间向量进行处理，即先合理建立空间直角坐标系，求出相应直线的方向向量和有关平面的法向量，再利用有关公式进行求解.5 【湖南省衡阳市第八中学 2017-2018 学年高二上学期期中】如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD平面 ABCD， PA PD， PA=PD， AB AD， AB=1， AD=2， 5ACD.（1）求证： PD平面 PAB； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2） 3sin【解析】试题分析：（1）由条件得 AB平面 PAD，因
7、此 ABPD，再结合 ,PA PAB，可得 PD平面 PAB。 （2）取 AD 的中点 O，连 PO， CO，可证得 OP,OA,OC 两两垂直，建立空间直角坐标系，用向量的运算求解。（2）取 AD 的中点 O，连 PO， CO。 5ACD， CO AD， PA=PD， PO AD， OP,OA,OC 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，则 0,1,02,0,1PBCD。 ,。直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3。点睛：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的
8、法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角即设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m， n，则直线 l 与平面 所成角 满足sin | cos m， n|。6 【河南省郑州市第一中学 2018 届高三上学期期中】如图，在六面体 ABCDEFG中，平面 ABC平面DEFG， A平面 DEFG， D， EFGA.且 2BDEG， 1C.（1）求证： B平面 C；（2）求锐二面角 F的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） 6.【解析】试题分析：（1）取 DG的中点 M，连接 AF， ，通过 E平行且等于 DM证明 EF是平行四边形，即可证明 F平
9、行且等于 B，再证明出 是平行四边形，然后根据线面平行判定定理即可求证；（2）由 AE， ， 两两垂直，故可建立空间直角坐标系，求出二面角的两个平面法向量，通过计算法向量夹角的余弦值，再根据二面角为锐角即可求出二面角的余弦值.（2）由题意可得， ,ADEG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系.0,2,102,FG.设平面 BCGF的法向量为 1,nxyz，则 1 nxyCz，令 ，则 1,2n.又平面 AD的法向量 2,0n. 1122cos,n222160.由于所求的二面角为锐二面角，二面角 DCGF的余弦值为 6.7 【广东省阳春市第一中学 2018 届高三上学期第三次月考】在四棱锥
10、 PABCD中， P平面 ABCD，E是 PD的中点， 90ABC， 0BA， 2.（1）求证： E；（2）求二面角 P的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 64.【解析】试题分析：（1）取 PC的中点 F，连接 ,EA，则 |FCD，先根据线面垂直的性质证明CDP；进而可得 EFPC，再由线面判定定理即可证明 PC平面 AEF，从而可得 PCAE；（2）建立空间坐标系，分别求出平面 AE与平面 的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角 A的余弦值.因为 AE平面 F，所以 PCAE.（2）以 B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.则 0,， ,10， 3,0，
11、 23,0D， 3,21E， 0,2P3AC， 2CE.所以 12126cos,4n，由图可知，二面角 ACEP为锐角，所以二面角 的余弦值为 64.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.8 【北京市平谷区 20162017 高三第二学期质量监控】如图，在四棱锥 PABCD中，底面
12、AB是菱形， 3DAB， P平面 ABCD， 3PA， 2M， 2N， E是 中点（ I）求证：直线 M平面 N（ II）求证：直线 平面 PE （ III）在 AB上是否存在一点 G，使得二面角 PDA的大小为 3，若存在，确定 G的位置，若不存在，说明理由【答案】 （ I）见解析；（）见解析（ III） G与 B重合点 的位置为所求.【解析】试题分析：（ I）结合条件中给出的线段间的长度关系，在 PC上取点 F，使 2PC，证明四边形 MFNA为平行四边形，可得 AMNF,故可得结论；（ II）结合图形分析可得只需证 DE，CDP，便可得到 CD平面 PE；（ III）建立空间直角坐标系，
13、用向量法通过计算进行判断可得结果。又 AM平面 PNC, F 平面 PNC,所以 平面（）因为 E是 AB中点，底面 CD是菱形， 60AB，所以 D90，因为 C，所以 E，所以 又 PD平面 AB，所以 C又 E所以直线 平面 PE（ III）由（）可知 D， ， C，相互垂直，以 D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz由题意得 231cos6049ynk，点睛：空间向量为立体几何中的探索性问题的解法带来了方便，解题时可先假设所探索的点（或其他元素）存在，然后通过代数运算进行验证，看是否得到矛盾，若得到矛盾的结论，则说明假设不成立，即满足条件的点（或其他元素）不存在，否则存在。
14、9 【广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考】如图，在三棱锥 PABC中， 24,23ABC， ,DE分别为线段 ,ABC上的点，且 3D,3EPABC.（1）求证： CD平面 PAB；（2）若 A与平面 所成的角为 4，求平面 PAC与平面 DE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析;(2) 25.【解析】试题分析; （1）连接 DE，据勾股定理可证 2EB，即 EB进而证得 PD平面 ABC, PB则 又由勾股定理证得 ADC，于是 平面 PA（2）由（1）知 两两互相垂直，建立直角坐标系 xyz，由空间向量的夹角公式可求平面AC与平面 E所成锐二面角的余弦值. （2
15、）由（1）知 ,PDCAB两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，且 PA与平面 BC所成的角为 4，有 3PD，则 0,3,0,10,3ACBP 3,103,0,C又由（1）知 ,EA， B平面 EP ,CB为平面 DP的一个法向量设平面 PA的法向量为 ,nxyz，则 0 nACnP 30 xyz，令 3，则 1, 3,1n为平面 PAC的一个法向量 3125cos,BC故平面 PA与平面 DE的锐二面角的大小为 25cosar.10 【云南省昆明市高新技术开发区 2018 届高考适应性月考】如图所示，四棱锥 PABCD中， 平面 BC， /， 3ABDC， 4A， M为线段 上
16、一点， 2MA， N为线段 P上一点， NP.（1）证明： /MN平面 PAB；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】(1)详见解析;(2) 16745.【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，进而说明线面平行；本题借助平行四边形可以得到线线平行，进而证明线面平行；第二步求线面角，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.（）解：如图，取 BC的中点 E，连接 A由 ABC得 EB，从而 AED，且2225BCABE以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz由
17、题意知， 04P， ， ， 520， ， ， 10M， ， ， 520C， ， ， 51342N， ， ，所以直线 PB与平面 AMN所成角的正弦值为 16745【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；求线面角有两种方法， 一是传统方法， “一作，二证，三求” ，如本题的解析，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.11 【江西省赣州市十四县 2017-2018 学年高二期中联考】 ABCD如 图 所 示 的 空 间 几 何 体 ， 底 面 四 边
18、形 为 正 方 形 ，/ 5AFBEFF， ， 平 面 平 面 ， ，2CEB， .1EACD（ ） 求 二 面 角 的 余 弦 值 ；2BF求 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.【答案】 （1） 3cosDOE；（2） 6sin3BEP【解析】试题分析：传统方法求二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出二面角的平面角，本题利用底面为正方形，三角形 AEC 为等腰三角形的特点做出二面角，进而求出，求线面角既可作出后再求，还可直接求出点 B 到平面的距离，再利用直角三角形的边角关系求出正弦值.(2)在 RtDBEPE中 ， 作
19、 交 DP于 点 ,取 G,O,FAOF的 中 点 连 接 那 么 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ，ACBC平 面 平 面EB,DE又 由 且- ACDBE,PDBE平 面 又 由 平 面 ACPFGFGF,DEF且 平 面P平 面因此 11EBE22- 6P3 63sinP2那 么.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.12 【北京西城 44 中 2016-2017 学年高
20、二上学期期中】在四棱锥 PABCD中， ABCD， ABD， 4， 2A， 2CD， 4，且 平面 （1）设平面 PAB平面 CDm，求证： CA（2）求证： （3）设点 Q为线段 上一点，且直线 Q与平面 P所成角的正弦值为 3，求 PQB的值【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 712【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（2）利用已知条件结合勾股定理先证明 BDAC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（3）通过结论空间直角坐标系，设 PQ，利用法向量与斜线所成的角即可找出 Q点的位置. 试题解析：（1）如图所示，
21、过点 B作 MPA，并且取 BPA，连接 M， CM 四边形 PABM为平行四边形， PMAB， CD， ，即 为平面 平面 PCDm， A（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则 0A（ ， ， ） ， 40B（ ， ， ） ， 20D（ ， ， ） ， 20C（ ， ， ） ， 04P（ ， ， ）， 40B， ， ，设 PQ，则 （ ， ， ） ， 4Q， ， ， 2D， ，由（2）可知 BD为平面 C的法向量，22216cos 442CQ ， ，直线 C与平面 PA所成角的正弦值为 3， 2268，化为 17，解得 12， 712QB.13 【北京西城 44 中 2016-2017 学年
22、高二上学期期中】如图，在直三棱柱 1ABC中， 12ACB， ACB，点 D是 A的中点求证： 1CDB求点 到平面 的距离求二面角 1的余弦值的大小【答案】 （1）见解析；（2） 23；（3）【解析】试题分析：（1）由等腰三角形得 CDAB，由 1平面 ABC得 1D，故而可得CD平面 1AB，最后得结论；（2）点 到平面 的距离为 h通过 11BCV转化1BCDShA，求点 到平面 1的距离；（3）以 为坐标原点， ， A， 为 x，y， z轴，建立空间直角坐标系，求出面 BC和面 1D的法向量，计算法向量的夹角，根据图可判断二面角为锐角，故可得角的大小.（3）如图，点睛：本题考查了线线垂
23、直的判定，用等体积法求点到面的距离，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；在证明垂直的过程中主要通过线线垂直和面面垂直之间的互相转化，两个平面的法向量之间所成的角与二面角之间相等或互补，主要通过图形来确定.14 【北京朝阳日坛中学 2016-2017 学年高二上学期期中】如图所示，在多面体 1ABDC中，四边形1AB， 1DA， BC均为正方形， E为 1BD的中点，过 1， ， E的平面交 1于 F（ I）证明： 1EFBCA（ II）求二面角 1ABDC余弦值【答案】 （ I）见解析；（ II） 3.【解析】试题分析：（ I）由线面平行推出线线平行。（ II）
24、建立空间直角坐标系，求出二面角两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求出二面角的余弦值。（ II）以 A为坐标原点，以 AB， D， 1A所在直线分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系，设边长为 2设 ,nxyz为面 1C法向量，1,0BD， 0,2B， 1 1,nnAE面 1B法向量为 10,2， 13cos,nA15 【河北省衡水市武邑中学 2018 届高三上学期第三次调研】在五面体 ABCDEF中， /,22BCDEFCABD, 60, ，平面 CEF平面 A.(1)证明:直线 CE平面 ADF；(2)已知 P为棱 B上的点，试确定 P点位置，使二面角 PDFA的大小为 60.【答
25、案】 （1）证明见解析；（2） 点在靠近 B点的 C的三等分点处.试题解析：（1） /,2,CDEFC四边形 DEF为菱形， CEDF， 平面CEF平面 AB，平面 平面 ,ABA平面,，又 ,直线 平面 .(2) 60DCF， EF为正三角形，取 EF的中点 G，连接 D，则 ,EFGDC，【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向
26、量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 16 【山西实验中学、南海桂城中学 2018 届高三上学期联考】如图所示，在 RtABC中，斜边,60ACB，将 AC沿直线 旋转得到 ADC，设二面角 的大小为018.（1）取 AB的中点 E，过点 的平面与 ,ACD分别交于点 ,FG，当平面 /E平面 BDC时，求FG的长（2）当 =90时，求二面角 B的余弦值.【答案】 （1） FG；（2） 5.【解析】试题分析：（1）根据两个面平行的性质，可以得出交线 /EGBD平行，利用中位线的性质可得2CD；（2）过点 B作 OAC交 于点 O，可证明 平面 AC，建立以点 O为坐标原点建立空间直角
27、坐标系，利用法向量的夹角可求出二面角 的余弦值.（2）过点 B作 OAC交 于点 O,连接 D,则 AC.因为 90，所以平面 平面 B.因为平面 D平面 ， 平面 ，所以 O平面 B.以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.在 RtBOC中， 2,60ACB，所以 1,3OCB.所以 3,AD.所以 3,0D.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.17 【北京西城 44 中 2016-2017 学年高二上学期期中】在四棱锥 PABCD中， ABCD， ABD， 4， 2A， 2CD， 4，且 平面 （1）设平面 PAB平面 CDm，求证： CA（2）求证： （3）设点 Q为线段 上一点，且直线 Q与平面 P所成角的正弦值为 3，求 PQB的值【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 712【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结
