1、1母题十五 应用正弦定理、余弦定理解三角形【母题原题 1】 【2018 天津，文 16】在 ABC 中，内角 ,所对的边分别为 abc, 已知 sinco6AaB（I）求角 的大小；（II）设 23ac,，求 b和 sin(2)AB的值【考点分析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分【答案】 （I） 3；（II） 37,sin214bAB由 sincos()6bAaB，可得 3sin7A ac，故 2os7A因此 4i2i， 21cos 33snscos2in74B【名师点睛】在处
2、理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围【母题原题 2】 【2017 天津，文 15】在 ABC 中，内角 ,所对的边分别为 ,abc已知 sin4iAbB， 225()acbc2（I）求 cosA的值；（II）求 in(2)B的值【答案】 （I） 5 ；（II） 25试题解析：（）由 BbAasin4i及 BbAasini得 a2，由 )(52cbac及余弦定理得 52coacbc【考点】1正余弦定理；2三角恒等变换【 名师点
3、睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 ，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要 是“变角、 变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【母题原题 3】 【2016 天津，文 15】在 ABC中，内角 C,所对应的边分别为 abc,，已知 sin23siaBbA（I）求 B；3（II）若 1cosA3，求 sinC 的值【答案】 （） 6B；（） 261【解析】试题
4、分析：（）利用正弦定理，将边化为角： 2sincos3inBsAA，再根据三角形内角范围化简得 23cosB， 6；（）问题为“已知两角，求第三角” ，先利用三角形内角和为 ，将考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证【母题原题 4】 【2015 天津，文 16】 ABC 中，内角
5、A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为315， 12,cos,4bA （I）求 a 和 sinC 的值；（II）求 cs6 的值【答案】 （I） a=8， 15in8；（II ） 157364（II） 23cos2cos2sin2cos1incos666AAAA ， 15736【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识 ，考查基本运算求解能 力【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换 ，因此在解三角形问题的处理中，正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用，分析近几年的高考试卷，有关的三角题，大部分以三角形为载体考查三角 变换
6、【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形 中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填 空题和解 答 题都有考到，难度中低中档题均有以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标，往 往是利用正弦定理、余弦定理和三 角形面积公式进行有效的边角转换，利用和差倍半的三角函 数公式，对等式进 行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取 值范围等 【答题模板】(1)通过正弦定理实
7、施边角转换；（II）通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出 方程(组)求 解【方法总结】1三角形中判断边、角关系的具体方法：5(1)通过正弦定理实施边角转换；（II）通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时
8、 需作出这些三角形，先解条件多的三角形， 再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用 到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求 解2三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于 ”和诱导公式可得到sin(A B)sin C，sin cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题 ，如 ：在斜三角A B2 C2形中，用正弦定理求角时，若已知 小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数3 如果式子中含有角的余弦或边的二次 式，要 考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理
9、；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其 解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性4 在解决三角形的问题中，面积公式 BacAbcCaSsin21sisin21最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来1 【2018 天津部分区二模】已知 的内角 所对的边分别为 ，且 （I）求 和 的值；（II）求 的值【答案】 （I） ， （II） 【解析】分析：（I）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得 c 和 sinA 的值；（II）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可详解：（I）由余弦定理 ，
10、得 ，又 ，所以 ，解得6【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果2 【2018 天津河东区二模】在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 ，已知 ， ，角 A 为锐角（I）求 与 的值；（II）求 的值及三角形面积【答案】 （I） ；（II） 【解析】 分析：第一问首先利用题中的条件， ，利用倍角公式，结合 A 为锐角的条件，求得
11、 的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得 的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积详解：（I）由正弦定理 ，代入 ， ， ，解得 ，角 A 为锐角， （II） ，代入为 ，解为 ，7【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求 的时候，也可以应用倍角公式求解3 【2018 天津河北区二模】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 B=2C，2b=
12、3c（I）求 cosC 的值；（II）求 sin(2C+ )的值【答案】 （） （）（）由（）得 ， ， ， ， 【名师点睛】解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查，解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化，然后再根据题意进行求解，进行变换时要注意对所用公式的选择4 【2018 天津市十二校二模】在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 （）求角 的大小；（）已知 ， 的面积为 ，求边长 的值【答案】 （I） ；（II） 【解析】分析：(1)由 ，利用正弦定理得 ，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得 ，进而可得结果；（）利用（I） ，由已知及正弦定
13、理可得 ，结合的面积为 ，可得 ，由余弦定理可得结果8由余弦定理 ，得 【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径5 【2018 四川南充三模】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 （）若 ， ，求边 ；（）若 ，求角 【答案】 （） （） 【解析】分析：（）利用正弦定理和余弦定理代入可得边 ；（）由正弦定理得 ，将 代入，结合 可得 的方程
14、，解方程即可得解9因为 ，所以 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果6 【2018 天津滨海新区七校模拟】锐角 ABC中， ,abc分别为角 ,ABC的对边， 4sin7aBb，（I）若 ,8,abc求 的面积；（II）求 2sin3A的值 【答案】 （I） 7；（II） 7316【解析】试题分析：（I）由正弦定理化角，可得
15、7sin4A，再由角 A 的余弦定理，可求得 8bc，进一步求得三角形面积；（II）由正弦和角公式和倍角公式可求值试题解析：（I） 4sin7aBb ， 4si7siB 0B， iA， 是锐角，2273co1in4A10【名师点睛】 （1）一般是根据正弦定理求边或列等式余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的
16、一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解7 【2018 天津十二校重点模拟一】已知函数 2sin2cos6fxx（I）求 fx的单调递增区间；（II）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，且 3,21fC，若 2sinA iB，求 AC的面积【答案】 （I） ,36kkZ；（II） 2【解析】试题分析：（I）利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确
17、定 fx的单调递增区间；（II）根据 21fC，求出 ，利用正弦定理及余弦定理，结合题设条件即可求出 a， b，从而可求出 AB的面积试题解析：（I） sin2cos2in66fxx 1cos2in6xx 由2,6kkZ，得 ,3kkZ11由解得 1,2ab， 13sin2ABCSab8 【2018 天津十二校重点模拟二】在 中，角 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 （I）求 及 的值； （II）求 的值【答案】 （I） ；（II） 【解析】试题分析：（I）由 ， ， 的面积为 可求得 的值，利用余弦定理可求得 ，再利用正弦定理可求得 的值；（II）利用（I）的结论，由同角三角函数之间的关系
18、可求得 ，再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得 的值试题解析：（I）由已知 ， ， ，且， ， 在 中， ， （II） ，又 ， ，129 【2018 天津上学期期末考】在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，且满足 sinsinACbac（I）求 ；（II）若 1cos7，求 os2AC的值【答案】 （I） 3；（II） 398整理得 22abca，由余弦定理得221cosabcC，又 0C，所以 3（II）由 1os7A知 为锐角，又 22inA，所以2214sincos7A，故 24c9 ， 4318siico79，所以 oscosc2sin2s33ACA
19、 32249810 【2018 天津红桥区学期期末考】在 BC中，内角 ,所对的边分别是 ,abc，已知 sin3iAcB， 3a， 2cosB（I）求 b的值；（II）求 sin23的值【答案】 （I） 6b；（II） 4531813【解析】试题分析：（I）由正弦定理可得 a=3c，再由余弦定理可得 b；（II）由已知得 cosB 和 sinB，利用二倍角公式求得 cos2B， in，将 si23B展开代入求解即可11 【2018 天津静海一中模拟】已知 a， b， c 分别为 三个内角 A， B， C 的对边，且满足 （I）若 ，求 的值；（II）若 的面积为 3，求证 为等腰三角形【答案
20、】 （I） ；（II）见解析那么 ，由此得 ，所以 为等腰三角形【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，判断三角形形状问题，属于中档题判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（II）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形1412 【2018 天津河西模拟】在 ABC中， a， b， c分别是角 A， B， C的对边，若 23bc， 120C（I）求 cosA的值（II）若 6，求 的面积【答案】 （I）
21、3；（II） 4216【解析】试题分析：（I）由正弦定理求得 sinB，进而得 cos，再由诱导公式和两角和的正弦公式可求得cosA；（II）由已知计算出 b，再由（I）计算出 iA，最后由三角形面积公式可得面积试题解析：（I） 23c， 23siiC， 0， 6cos3B，cosBCocosinsB6132（II） 23bc， 6， 4b， 0A， co， 726sinA， 1sin41SAA 13 【2018 天津一中月考五】 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 （I）求 ；（II）如图， 为 外一点，若在平面四边形 中， ，且 ， ， ，求 的长【答案】(1) ；（II） 【解
22、析】分析：（I）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出 cosB 的值（II）利用（I）的结论，进一步利用余弦定理求出结果15（II） ， ，又在 中， ， ，由余弦定理可得 ， ，在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，化简得 ，解得 故 的长为 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用对公式灵活运用与结合是解题关键14 【2018 天津耀华中学模拟】设函数 ，其中向量 ， （I）求 的最小正周期及单调减区间；（II）若 ，求函数 的值域；（III）在 中， ， ， ，求 与 的值【答案】 （I） ， ；（II） ， 【解析】试题分析：（I） ， ，令 即16所以单调减区间为： （II）当 时由（I）易知 在 上单调递增， 上单调递减 ， ，则 在 上值域为 （III） 又 ，则 ， 由余弦定理，得 即 ， ，得 或 （舍） ，
