1、2.1加法定理,定理1,AB的概率.,证明,如图,即,复合事件 可表示成互不相容事件之和,于是,由概率的可加性,有,两事件A和B 之和的概率等于其概率之和减去积,易知,从而有,于是,证毕。,如图所示,有,注意到 与 不相容以及 ,即,证毕。,定理1,两事件A和B 之和的概率等于其概率之和减去积,AB的概率.,即,对任意事件 与其对立事件 ，,从而,推论1 对任意事件A, 有,于是,我们有以下推论:,推论2 对三个事件 ，有：,如图,对事件概率的量度好比对事件所对应的集合的面积计算！,继续推广为n 个事件和的情况,推论2 对n 个事件 有,解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法一:,有,解:,
2、设,抽出3件中至少有1件是次品,法二:,于是,则有,( 不相容),解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法三:,则有,把45件合格品及5件次品看作是各不相同的(即可辩的),则有,(参考P18例12),解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,于是,解:,由事件的运算关系,知,(法一),由 ,有,又,于是,解:,(法二),由事件的运算关系,知,故有,从而,(同法一),解：,所求概率,又,从而所求概率,例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,求此数能被,2或3整除的概率,解:,任取一个两位数能被2整除,任取一个两位数能被3整除,设,则有,按加法定理,有,即能被2和3 的最小公倍数整除,解:,设 封
3、、信纸至少有一配对，,第 号信纸,则有,由概率直接计算法，可得,恰好装入第 号信封，,进一步，可算得,于是，由加法定理，得,若 充分大，则,例6（94）,已知 是两个事件满足条件 ，且,解：,由,有,于是,上抛一对骰子25次，A“ 至少出现一次双六”B“完全不出现双六”,上抛 一次一对骰子有36种可能的结果(1,1),(1,2),(1,6);(2,1),(6,6)把依次上抛25次骰子结果的排列看成基本事件总数：3625则B的有利场合：3525P(B)=3525/36250.4955P(A)=1-P(B)=0.5045,下赌注问题：17世纪未，法国的 Chevalies Demere在赌博中 感
4、觉到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“ 至少出 现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但 他本人找不出原因，请计算该两事件的概率。,2.2 乘法定理,2.2.1 条件概率（Conditional Probability）,2.2.2 乘法定理（Multiplication formula）,2.2.3 独立事件（Independence of Events）,设,解:,问题(1)的样本空间为,问题(2)的样本空间为,已经发生的条件限制了的样本空间.,相对于原问题即问题(1),称 为缩减样本空间,任取一个两位数能被2整除,任取一个两位数能被3整除,即由已知,续例4 在所有的两位
5、数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率,(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率,2.2.1 条件概率( ),容易求得,称作是已知 发生的条件下, 发生的条件概率,记为 .,从以上数据上看,有,2.2.1 条件概率( ),AB,续例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率,(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率,定义1,为事件B在条件A发生下的条件概率.,相对地,有时就把概率 等称为无条件概率.,此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对,于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的,。因此，我们就把这个公式
6、作为条件概率的一般定义：,A发生的条件,条件概率,件下B发生的,用文氏图解释：,条件概率P(B|A)是在,(即投点落在A之内),问B发生的概率,(即点落在B内),确知A发生的条件下,也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率.,显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内.,AB,从而,定理2 条件概率的性质：,（1）非负性,（2）规范性,（3）可加性,事件，则有,特别地,特别地,证明:略.,在计算条件概率时,一般有两种方法:,(1) 由条件概率的公式;,(2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型用缩减样本空间计算.,例1 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有黄、白两
7、色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只黄球，试求该黄球是新球的概率。,解:,设A=取到一只黄球,B=取到一只新球.,10,由已知有,30,于是,则条件概率公式,有,20,40,新球,旧球,黄 球,白 球,例2 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活 过25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概 率是多少？,解：,以 表示某该种动物“能活过20岁”的事件；,以 表示某该种动物“能活过25岁”的事件；,由已知,有：,于是，所求概率,条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先验信息（如A已发生，在这里即动物已
8、活过20岁）可资利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如这里P(B|A)=0.5而不是P(B)=0.4了）。另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具。,例3 设A,B,为随机事件，且,，则必有,(A),(B),(C),(D),(2006),2.2.2 乘法定理（）,根据条件概率公式：,我们有：,定理3,乘 法 定 理,乘法定理的推广:,(1) 若P(AB)0,则有,证明:,由乘法定理,有,(2) 若 ,则有,证明:,由乘法定理,有,证毕.,例：袋中装有一白球和一黑球，今一次次地从袋中摸出球，如果摸出的是白球，则除了把白球放回外，再加进一白球，直到取出黑球为止，求取了n次都没有取到黑球的
9、概率及直到第n次才取到黑球的概率。,解： Ai=“第i次取到白球”,解:,“第 套报警系统能正常工作”，,显然有,由已知有,由加法公式：,例1 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1，2。已 知每套系统单独使用时能正确报警的概率为0.92和0.93, 又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率 为0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确 报警的概率是多少？,又,于是,由加法公式：,例1 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1，2。已 知每套系统单独使用时能正确报警的概率为0.92和0.93, 又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率 为0.85。试求该工厂在同时启
10、用两套报警系统时，能正确 报警的概率是多少？,例2 一批零件共100件，已知有10个是次品，现从中任意逐 次取出一个零件（取出后不放回），问第三次才取得正品的 概率是多少？,解：,设,“第 次取出的零件是正品”，,则所求概率为,由乘法公式，有,解：,设,由已知有,法一：,例3 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通 过第一项试验的概率是0.3；通过第一项而通不过第二项试验的 概率是0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概 率是0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？,于是，,又,代入上式，得,由已知，有,“产品未能通过第 项破坏性试验”，,“产品未能通过这三项破坏性试
11、验”，,例3 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通 过第一项试验的概率是0.3；通过第一项而通不过第二项试验的 概率是0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概 率是0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？,解：,设,由已知有,法一：,于是，,又,代入上式，得,由已知，有,“产品未能通过第 项破坏性试验”，,“产品未能通过这三项破坏性试验”，,法二:,利用对立事件性质，有,发生即为 中至少有一发生，,故有,例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 三人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?,解,则有,抓阄是否与次序有关,设 表示“第
12、人抓到有字阄”的事件,?,从而,抓阄与次序无关!,2.2.3 独立事件,一般情况下,即事件A 的出现对事件B 发生的概率是有影响的。,但在,一、两个事件的独立性,即事件 A 的出现对事件B 发生的概率没有任何影响。,某些情况下，可能也有,从而有,这表明不论 A 发生还是不发生，都对B 发生的概率 没有影响。此时，直观上可以认为事件A与事件B 没有 任何“关系”，或者说 A 与B 独立。,引例 一袋子中装有4个白球、2个黑球，从中有放回取两次， 每次取一个。事件A = 第一次取到白球，B = 第二次取到 白球，求 P（B）及 P（B|A）？,解：,容易求出,P(AB)=P(A)P(B),定义2,
13、对事件 ，若,则称事件 与事件 是相互统计独立的，,简称独立的。,注：,(1) 必然事件及不可能事件与任何事件都是独立的。,不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。,(2) 事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件,(4) 实际使用时往往从直观上去判断事件独立性，从而利 用各事件的概率计算事件的积的概率。,P(AB)=P(A)P(B),(3) 判断事件的独立性一般有两种方法:,B:由问题的性质从直观上去判断.,A:由定义判断,是否满足公式;,在实际应用中,往往根据 问题的实际意义去判断两事件 是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B 独立 .,甲、乙两人向同一
14、目标射击，记A=甲命中,B =乙命中，A与B是否独立？,例如,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,(1)若抽取是有放回的,则A1与A2独立.,又如：,因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响.,(2)若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.,因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A) 0, P(B) 0, A 、B不互斥.,而 P(A) 0, P(B) 0,故A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,例设随机事件与互不相容，,则下列结论中一定成立的有
15、,（）,（）,（）,（）,能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,问题：,这两个事件就是S 和,因为,故 与S 独立且互斥.,不难发现， 与任何事件都独立.,定理4,若 ，则事件 与 独立的充分必要条件是,或,定理5,若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：,证明：,从而 独立。,类似可以证明 的独立性。,解：,依题意，有,故,即有,亦有,于是,从而,例5（2000年数一）,设两个相互独立的事件A和B都不发生的概,率为1/9，,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等。,求P（A）？,例6 商店经销的某种商品100件,经理声称其中只有5件带不影 响效果的小缺陷.工商部门
16、对这批商品进行抽检时,采用有放回 每次抽一件检查的重复抽样检查法. 试问在接连抽检两件这种 商品时“第一件查出带缺陷”与“第二件查出带缺陷”这两个事件是否独立?被抽检的这两件产品皆是有缺陷的概率是多少?,解:,设 =“第i 件商品查出是带缺陷的”,按古典概率计算法,可直接算出:,于是,有,故知 是相互独立的.,二、多个事件的独立性,1、三个事件的独立性,定义3 若事件A，B，C 满足下面三个条件,则称三个事件A，B，C 是两两独立的。,若A，B，C 还满足,则称此三事件A，B，C 是相互独立的。,由定义知，三个事件相互独立一定两两独立。,问题：,三个事件两两独立是否一定相互独立呢,？,例7（伯
17、恩斯坦反例）一个均匀的正四面体, 其第一面染成 红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上 红、白、黑三种颜色.现以A, B, C分别记投一次四面体出现 红,白,黑颜色朝下的事件,问A,B,C是否相互独立?,解：,由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面,因此,又由题意知,故有,从而A,B,C 两两独立，,但不相互独立。,定义,若事件A1，A2 ， ，An中任意两个事件相互独立，,定义,2、n 个事件的独立性,则称 两两独立。,即对于一切1i jn, 有,设 为n个事件，若对于任意 ,则称 相互独立。,定理6,设 是n 个相互独立的事件，则有,（1）将 中任意个事件换成其逆事件，所
18、得的n个,事件都是独立的。,对多个事件的独立性，具有两个事件的独立性相同的性质：,（3）,证明：,例8 某工人看管甲、乙、丙3台机床。在1小时内这3台机床需要 照管的概率分别为 0.2，0.1，0.4。各台机床需要照管是相互独 立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过1小时。试求在 1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？,解:,设用A (B或C )分别表示“在1小时内甲(乙或丙)机床需要照管”,的事件.,则由题设知A,B,C 相互独立,且有,记D=机床因得不到需要的照管而被迫停机,事件D发生当且仅当A,B,C 至少有二件发生.,从而D可表为:,法一:,于是,则加法定理及A,B,C
19、的独立性,有,例8 某工人看管甲、乙、丙3台机床。在1小时内这3台机床需要 照管的概率分别为 0.2，0.1，0.4。各台机床需要照管是相互独 立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过1小时。试求在 1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？,例8 某工人看管甲、乙、丙3台机床。在1小时内这3台机床需要 照管的概率分别为 0.2，0.1，0.4。各台机床需要照管是相互独 立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过1小时。试求在 1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？,法二:,利用对立事件,有,又,于是,三、事件的独立性在可靠性理论中的应用：,一个元件的可靠性：,该元件正常
20、工作的概率.,一个系统的可靠性：,由元件组成的系统正常工作的概率.,随着近代电子技术的发展,关于元件及系统可靠性的研究已发展成为一门学科-可靠性理论.由于元件及系统的可靠性都是用概率来定义的.所以概率论是研究可靠性理论的重要工具.,可靠性的定义:,例9 设构成系统的每个元件的可靠性均为r,0 r 1,且各元件能否正常工作是相互独立的.试分别求出图(a)、(b)所示由2n个元件用不同方式串、并联构成之系统的可靠性?,(a),(b),(a),可靠性:r,解：,（a）,以 表示前一条通路第 i 个元件正常工作的事件，,表示后一条通路第 i 个元件正常工作的事件，,并分别以 A、B 分别表示前、后一条通路正常工作的事件。,则显然有,又已知 相互独立，,从而A与B独立，,于是有,且,同理,从而（a）系统的可靠性为,(b),可靠性:r,解：,（b）,以 表示第 i 对元件正常工作的事件，,则有,易知 相互独立，,且对 有,故（b）系统的可靠性为,(a),(b),（a）系统的可靠性：,（b）系统的可靠性：,不难证明，当 时，有,这说明了以上所示两系统都同样用了 2n 元件，但并联系统,（b）比串联系统（a）具有较高的可靠性。,例10 设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件,且已知,求,作,业,8、11、12,P49,
