1、第二章 随机变量及其分布,概率论与数理统计教程 （第四版）高等教育出版社 沈恒范 著,大纲要求,理解随机变量的概念。 理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。 理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。 理解随机变量分布函数的概念和性质。 会用分布律、概率密度、分布函数计算随机事件的概率。 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布。 会求简单随机变量函数的概率分布。 了解二维随机变量的概念 掌握二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质、并用他们计算有关事件的概率。 掌握随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独
2、立性进行概率计算的方法。 会求两个独立随机变量的简单函数的分布。,2.1 随机变量的概念 2.2 离散随机变量 2.3 超几何分布二项分布泊松分布 2.4 连续随机变量 2.5 随机变量的分布函数 2.6 连续随机变量的概率密度 2.7 均匀分布指数分布 2.8 随机变量函数的分布 2.9 二维随机变量的联合分布 2.10 二维随机变量的边缘分布 2.11 随机变量的独立性 2.12 二维随机变量函数的分布,学 习 内 容,2.1 随机变量的概念,随机变量的概念 随机变量的定义 随机变量的分类,随机变量的概念,随机变量在试验的结果中能取得不同数值的量，它的数值是随试验的结果而定的，由于试验的结
3、果是随机的，所以它的取值具有随机性。,随机变量的定义,备注Xx, Xx, x1Xx2, Xx都是随机事件,定义 如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点 ，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则变量X是样本点 的实值函数，记作X X( ). 我们称这样的变量X为随机变量 随机变量通常用希腊字母 或英文大写字母X，Y来表示,随机变量（实例）,例1 随机的掷一颗骰子，表示出现的点数，,例2 某人接连不断地对同一目标进行射击, 直至射中为止，表示射击次数，,例3 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车, 旅客在任意时间到达车站, 表示该旅客的候车时间,随机变量的分类,可以取得某一区间内的任何数值,仅可能
4、取得有限个或可数无穷多个数值,2.2 离散随机变量,概率分布 概率函数及其性质 几何分布 频率分布表,概率分布,定义 随机变量X一切可能值为x1, x2, . , xn, . , 而取得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), . , p(xn) , . , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：,概率函数及其性质,把函数称为离散随机变量的概率函数。 p(xk)0, k=1,2,概率分布(实例),离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)利用古典概型计算每个取值点的概率(3)列出随机变量的概率分布表,举例,例4 从一批有10个
5、合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数X的分布律。 （1）每次取出的产品不放回该批产品中； （2）每次取出产品都立即放回该批产品中，然后再取下一件产品； （3）每次取出一件产品后，总以一件合格品放回该批产品中。,2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.,3. 设随机变量X的概率分布为,求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X3),4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.,课 堂 练
6、习,几何分布,例5 假定一个实验成功的概率为p(0p1),不断重复进行实验,直到首次成功为止, 求实验次数的概率分布.,频率分布表,频率分布表其中， 表示随机变量X的观测值xi出现的频率,2.3 超几何分布 二项分布 泊松分布,“01”分布 超几何分布 二项分布 泊松分布,例6 某实验成功的概率为p, 现进行一次实验, 求实验结果的概率分布.,“01”分布,超几何分布 hypergeometric,例7 一批产品共N个，其中有M个次品。从这批产品中任意取出n个产品，则取出的n个产品中的次品数X 服从超几何分布 H(n, M, N),二项分布 binomial distribution,进行 n
7、 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布2. 如果事件A在每次试验中发生的概率为p, 则事件A在n次重复试验中出现的次数X服从二项分布 B(n, p),二项分布的性质,显然， 对于PX=x 0， x =1,2,n，有同样有当 n = 1 时，二项分布化简为,二项分布 （作为超几何分布的近似）,当一批产品总数N很大，而抽取样品的个数n远小于N时，可用二项分布来近似地计算超几何分布的概率，即,实际应用中，当n/N10%时，不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）区别不大。,泊松分布,用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一
8、事件出现次数的分布（稠密性问题）。 泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数； 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数； 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数； 一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数； 一段时间内候车的旅客数； 一段时间内原子放射粒子数；,泊松分布 Poisson, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,泊松分布（实例）,【例8】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求在给定的某周一正好请事假是5人的概率,解: 由题意得 XP
9、(2.5), 则,泊松分布 （作为二项分布的近似）,当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用中，当 p0.1，n20，np5时，近似效果良好 超几何分布、二项分布、泊松分布间的近似关系,2.4 连续随机变量,概率分布 统计分布,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描述,连续型随机变量的统计分布,连续型随机变量的统计分布可以用直方图表示 直方图的作法在横轴上截取
10、各个区间，以各区间为底作矩形，使矩形的面积等于随机变量落在该区间内的频率 直方图中所有矩形的总面积为一,2.5 随机变量的分布函数,分布函数的定义 分布函数的性质 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数,分布函数的定义,定义随机变量X的取值小于等于实数x的概率，即事件X x的概率；显然，它是x的函数，记作这个函数称为随机变量X的概率分布函数或分布函数。,（2） F(x)是非减函数，即若,分布函数性质,（5）无论是离散型r.v.还是非离散型r.v. ,分布函数都可以描述其统计规律性.,离散型随机变量的分布函数,（1）（2）分布函数为阶梯函数,连续型随机变量的分布函数,是 上的从0到1
11、的单调递增的连续函数,例2 向半径为R的圆形靶射击，击中点M落在以靶心O为中心， r为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况，设连续随机变量X表示击中点M与靶心O的距离， （1）求X的分布函数； （2）把靶的半径分成10等分，如果击中点M落在以靶心O为中心，内外半径分别为及 的圆环域内，则计为 环，求一次射击得到 环的概率,2.6 连续随机变量的概率密度,概率密度的定义 概率密度与分布函数的关系 概率密度的性质,概率密度的定义,定义比值叫做随机变量X在该区间的平均概率分布密度 定义若当 时，比值的极限存在，则极限值称为随 机变量X在点x处的概率分布密度或概率密度，记作,概率
12、密度与分布函数的关系,概率密度的性质,概率是曲线下的面积,例1 设随机变量X的概率密度函数为试着确定常数K，并求 。,是某一个随机变量X的密度函数。,1. 证明,课堂练习,2.设随机变量X,且P(1X3/2)=3/8,求 (1)a,b;(2)P(1/2X3/2),(a0),1.设X,求F(x).,2.设X,求(1)P(-2X3/2);(2)F(x).,3.X的分布函数为,求(1)P(X3),P(X2)(3)f(x),4.已知连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A,B; (2)X的概率密度 f(x).,课堂练习,5. 设Xf(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布 函数，则对任意实
13、数a，有( )F(-a)=1- F(-a)=F(-a)=F(a) F(-a)=2F(a)-1,7. 设X,求(1)A,(2)F(x),(3)P0X/4.,8. 设X ,求X的分布函数.,2.7 常用的连续型分布,均匀分布 指数分布,均匀分布 uniform distribution,若随机变量X的概率密度函数为称X在区间a ,b上均匀分布，记作U(a,b),x,f(x),b,a,此概率与子区间长度成正比, 而与子区间的起点无关,这也是均匀分布的由来.,均匀分布函数,分布函数为:,x,F(x),a,b,1,均匀分布常见于：在刻度器上读数时把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差；在每隔一定时间有一
14、辆公共汽车通过的汽车停车站上乘客候车的时间,例1 用电子表计时一般准确至0.01秒，即如果以秒 为时间的计量单位，则小数点后第二位数字是 按“四舍五入”原则得到的，求使用电子表计时 产生 的随机误差X的概率密度；并计算误差的绝对值不超过0.002秒的概率。,解：按题意，随机误差X可能取区间上的任一数值，并在此区间上服从均匀分布。所以，X的概率密度为由此不难计算误差绝对值不超过0.002秒的概 率,指数分布 exponential distribution,如果连续型随机变量X的概率密度为:,则称X服从参数为的指数分布,记为Xe().,电子元件的寿命；顾客要求某种服务（例如，到银行取款，到车站售
15、票处购买车票）需要等待的时间都服从指数分布。,2.8 随机变量函数的分布,随机变量函数 离散r.v.函数的分布 连续r.v.函数的分布,随机变量函数,g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数； 所谓随机变量X的函数就是这样的随机变量Y，每当变量X取值x时，它取值y=g(x)；记作Y=g(X),如何根据已知的随机变量X的分布去求它的函数Y=g(X)的分布?,离散随机变量函数的分布,(2) 若g(x1),g(x2),中不是互不相等的, 则应将那些 相等的值分别合并, 并根据概率加法公式把相应的 pi相加, 就得到了Y的概率分布律.,离散随机变量函数（实例）,连续随机变量函数的分布,“分布函数法”:,(1) 先求出Y的分布函数: FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXG,其中G=x:g(x) y,转化为关于X的事件, 再利用X的分布函数表示.,(2) 对y求导得到Y的概率密度:,例1 设r.v.X具有概率密度函数 求Y=2X+8的概率密度函数。,连续随机变量函数（实例）,例2.设随机变量X在 上服从均匀分布，即概率密度函数为 求 的概率密度。 第二章21.PPT,
