1、分布函数及其基本性质,定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数,称为 X 的分布函数。,对于任意的实数 a, b (a b) ，有：,注：1）分布函数的定义域为：,（，）；,值域为：,0, 1。,2）分布函数的含义：,分布函数 F(x) 的值等于 X 的取值落入区间 (-, x 内的概率值。,3）引进分布函数F(x)后，事件的概率可以用F(x)的函数值来表示。,例 1 设随机变量 X 的分布列为：求 X 的分布函数.,Xpk,-1 2 3,解：当 x -1 时，满足,0,x,X,-1,x,同理当,-1 0 1 2 3 x,1,分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2
2、,) 处有跳跃，其跳跃值为 pk=PX= xk.,设离散型随机变量 X 的分布率为,由概率的可列可加性得 X 的分布函数为,1,2.2 多维随机变量、 联合分布列 和边际分布列,如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是就称这种对应关系是一个n维随机变量，也称为n维随机变量。,定义2.2 若 是定义在同一样本空间上的n个离散型随机变量，则 称为n维离散型随机变量或随机向量。,一、二维分布函数及其基本性质,定义【2.1】设 X, Y 是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，则(X,Y)称为二维随机向量。,定义【2.2】设是一个二维随机变,称为二维随机变量的分布函数，,随机变量和的联合分布函数或
3、二维分布函数。,量，,对于任意实数，,二元函数,或称为,（1）二维随机变量也称为二维随机向量。,是一个整体，,（3）在集合上，,说明：,因为与之间是有联系的。,平面上的随机点。,二维随机变量可看成,（2）二维随机变量,二维随机变量举例,1考察某地区成年男子的身体状况：,令,：该地区成年男子的身高,：该地区成年男子的体重,则就是一个二维随机变量。,2对一目标进行射击：,令,：弹着点与目标是水平距离,：弹着点与目标的垂直距离,则就是一个二维随机变量。,3考察某地区的气候状况：,令,：该地区的温度,：该地区的湿度,则就是一个二维随机变量。,4考察某钢厂钢材的质量：,令,：钢材的含碳量,：钢材的含硫量
4、,则就是一个二维随机变量。,分布函数的几何意义,表示平面上的随机点落在以,为右上顶点的无穷矩形中的概率。,重要公式,设，则,分布函数的基本性质,（1）是变量 的不减函数，即,对任意固定的，,对任意固定的，,（2）,且,对于任意固定的，,对于任意固定的，,当时，,当时，,（3）,关于左连续，关于也左连续,（4）,说明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的,更进一步地，还可以证明,如果某一二元函数具有这四条性质，,最基本的性质，,数都具有这四条性质。,即任何二维随机变量的分布函,么，,那,它一定是某一二维随机变量的分布函数。,二维离散型随机变量,定义【2.3】设二维随机变量的取,定义【2.4】设
5、为二维离散型随机,则称,变量，,的（联合）分布列。,为二维离散型随机变量,为,值是有限个或可列无穷个，,维离散型随机变量。,则称为二,的取值为；,的取值,二维离散型随机变量的联合分布列,的联合分布列可以用下表表示,二维离散型随机变量联合分布列的性质,性质1,对任意的,性质2,有,例1将两个球等可能地放入编号为1，,令：放入1号盒中的球数；,：放入2号盒中的球数.,试求的联合分布列。,解,的可能取值为0，1，2,的可能取值为0，1，2,2，3的盒子中。,由此得的联合分布列为,例2将一枚硬币掷三次，令,：三次抛掷中正面出现的次数；,：三次抛掷中正面出现的次数与反面出现的,试求的联合分布列。,解,的
6、可能取值为0，1，2，3,的可能取值为1，3,次数之差的绝对值。,由此得的联合分布列为,解由题意知，的取值情况,整数，,且是等可能的；,由乘法公式求得的分布律,其中,可能地取值，,可能地取一整数值。,例3设随机变量在1,2,3,4四个数中等,试求的分布列。,取不大于的正,另一个随机变量在 中等,X,Y,1 2 3 4,1234,二维离散型随机变量的联合分布函数,定义【2.5】设 为二维离散型随机变,为的联合分布函数。,量，,其联合分布律为,二、边沿分布,定义【2.6】若是一个二维随机变,量，,因此，,称 X（或 Y）的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于 X（或 Y）的边沿分布函数。,边沿
7、分布也称为边缘分布或边际分布,则它的分量（或）是一维随机变量,分量（或）也有分布函数。,已知联合分布列求边沿分布列,设二维随机变量的联合分布列为,同理，随机变量的分布列为,及的分布列也可以由下表表示,边沿分布,边沿分布,联合分布,例2从1,2,3,4这4个数中随机取出一个，,则,当时，,当时，由乘法公式得,解与的取值都是1,2,3,4，,记所取的数为，,数，,列和及的边沿分布列。,再从1 到中随机取出一个,记所取的数为,试求的联合分布,且,再由,得与及的边沿分布列为,成立，则称随机变量 相互独立。,【定义2.7 】设离散型随机变量 的可能取值为 可能取值为 , 如果对任意的 ,有,三、独立性,例1 掷两颗骰子，用与分别表示第一颗与第二颗的点数。与是否独立。,可见对所有i,j有pij=pipj,故与是相互独立的。,例2设二维离散型随机变量的,联合分布列为,试确定常数，使得与相互独立。,解：由表得与的边沿分布律为,若与相互独立，则有,由此得,由此得,而当时，联合分布列及边沿分布列,可以验证，此时有,即当时，与相互独立。,例3将两个球等可能地放入编号为,的三个盒子中，,放入1号盒中的球数；,放入2号盒中的球数,解：,试判断随机变量与是否相互独立？,可能取值为,可能取值为,与的联合分布列及边沿分布列为,令,由于,所以，随机变量与不相互独立。,
