分布函数及其基本性质,定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数,称为 X 的分布函数。,对于任意的实数 a, b (a b) ，有：,注：1）分布函数的定义域为：,（，）；,值域为：,0, 1。,2）分布函数的含义：,分布函数 F(x) 的值等于 X 的取值落入区间 (-, x 内的概率值
概率论与数理统计第二章 基本定理2-3Tag内容描述：
1、示。
,例 1 设随机变量 X 的分布列为：求 X 的分布函数.,Xpk,-1 2 3,解：当 x -1 时，满足,0,x,X,-1,x,同理当,-1 0 1 2 3 x,1,分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃，其跳跃值为 pk=PX= xk.,设离散型随机变量 X 的分布率为,由概率的可列可加性得 X 的分布函数为,1,2.2 多维随机变量、 联合分布列 和边际分布列,如果每个试验结果可以有n个数值与之对应，这是就称这种对应关系是一个n维随机变量，也称为n维随机变量。
,定义2.2 若 是定义在同一样本空间上的n个离散型随机变量，则 称为n维离散型随机变量或随机向量。
,一。
2、第二章基本定理,对事件确定其概率是概率论基本课题.除了对一些简单的情况可对事件的概率作出直接计算外,一般都只能采用间接的方法.这就是按事件之间的联系,从一些已知其概率的事件去间接地计算出与之相关的另一事件的概率的方法.可以这样说,事件的概率计算基本上就是由这种间接方法的系统构成.这一章主要介绍概率计算的一些基本定理.,本章内容,2.1 加法定理（Addition formula ）,2.2 乘法定。
3、其对立事件 ，,从而,推论1 对任意事件A, 有,于是,我们有以下推论:,推论2 对三个事件 ，有：,如图,对事件概率的量度好比对事件所对应的集合的面积计算！,继续推广为n 个事件和的情况,推论2 对n 个事件 有,解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法一:,有,解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法二:,于是,则有,( 不相容),解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法三:,则有,把45件合格品及5件次品看作是各不相同的(即可辩的),则有,(参考P18例12),解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,于是,解:,由事件的运算关系,知,(法一),由 ,有,又,于是,解:,(法二),由事件的运算关系,知,故有,从而,(同法一),解：,所求概率,又,从而所求概率,例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,求此数能被,2或3整除的概率,解:,任取一个两位数能被2整除,任取一个两位数能被3整除,设,则有,按加法定理。
4、其对立事件 ，,从而,推论1 对任意事件A, 有,于是,我们有以下推论:,推论2 对三个事件 ，有：,如图,对事件概率的量度好比对事件所对应的集合的面积计算！,继续推广为n 个事件和的情况,推论2 对n 个事件 有,解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法一:,有,解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法二:,于是,则有,( 不相容),解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,法三:,则有,把45件合格品及5件次品看作是各不相同的(即可辩的),则有,(参考P18例12),解:,设,抽出3件中至少有1件是次品,于是,解:,由事件的运算关系,知,(法一),由 ,有,又,于是,解:,(法二),由事件的运算关系,知,故有,从而,(同法一),解：,所求概率,又,从而所求概率,例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,求此数能被,2或3整除的概率,解:,任取一个两位数能被2整除,任取一个两位数能被3整除,设,则有,按加法定理。
5、两位数能被2整除,任取一个两位数能被3整除,即由已知,续例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率,(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率,2.2.1 条件概率( ),容易求得,称作是已知 发生的条件下, 发生的条件概率,记为 .,从以上数据上看,有,2.2.1 条件概率( ),AB,续例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率,(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率,定义1,为事件B在条件A发生下的条件概率.,相对地,有时就把概率 等称为无条件概率.,此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对,于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的,。
因此，我们就把这个公式作为条件概率的一般定义：,A发生的条件,条件概率,件下B发生的,用文氏图解释：,条件概率P(B|A)是在,(即投点落在A之内),问B发生的概率,(即点落在B内),确知A发生的条件下,也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率.,显然,。
6、广:,推论1,设 满足下面条件,则对任一事件,有,即,且,(1),(2),证明：,在定理7的证明过程中，注意到,即得所以结论。
,(2),定理7,全概率公式的推广:,推论2,设 满足下面条件,则对任一事件,有,即,且,(1),(2),定理7中，把有限个事件 推广到无限多个，,结论仍成立：,例1 袋中有大小相同的a个黄球,b个白球.现做不放回的摸球两次,求第2次摸得黄球的概率?,解：,“第1次摸到黄球”,“第1次摸到白球”,设,则显然有,记 A=“第2次摸到黄球”，,由全概率公式，有,黄 球,白 球,个 数,第一次后,a,b,a - 1,b,a,b - 1,例2 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中任意地取出3个来用,用毕仍放回盒子中(新球用后成了旧球),第二次比赛时再从盒中取出3个球来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率?,解:,第二次取球时,盒中有几个新球未知,这是与第一次取球的,A=“第二次取出3球全是新球”,“第一次取出3球中有 k 个新球”,按全概率公式,有:,各种可。
