1、第二章基本定理,对事件确定其概率是概率论基本课题.除了对一些简单的情况可对事件的概率作出直接计算外,一般都只能采用间接的方法.这就是按事件之间的联系,从一些已知其概率的事件去间接地计算出与之相关的另一事件的概率的方法.可以这样说,事件的概率计算基本上就是由这种间接方法的系统构成.这一章主要介绍概率计算的一些基本定理.,本章内容,2.1 加法定理（Addition formula ）,2.2 乘法定理(Multiplication formula),2.3 贝叶斯定理(Bayesian formula),小结,课程要求,习题选讲,本章测验,2.3 贝叶斯公式,2.3.1 全概率公式,2.3.2
2、贝叶斯公式,例1 袋中有大小相同的a个黄球,b个白球.现做不放回的摸球两次,求第2次摸得黄球的概率?,解：,“第1次摸到黄球”,“第1次摸到白球”,设,则显然有,记 A=“第2次摸到黄球”，,则有,黄 球,白 球,个 数,第一次后,a,b,a - 1,b,a,b - 1,全概率公式,2.3.1 全概率公式,定理7,设 满足下面条件,则对任一事件,有,即,且,称 构成一 个完备事件组,(或划分),(1),(2),全概率公式,全概率公式的文氏图解释：,A,即,从而有,将事件A分解为若干个互不相容的较简单事件之和。,证明:,由(1)及(2),有,定理7,设 满足下面条件,则对任一事件,有,且,(1)
3、,(2),证毕.,(利用乘法公式),全概率公式的推广:,推论1,设 满足下面条件,则对任一事件,有,即,且,(1),(2),证明：,在定理7的证明过程中，注意到,即得所以结论。,全概率公式的推广:,推论2,设 满足下面条件,则对任一事件,有,即,且,(1),(2),定理7中，把有限个事件 推广到无限多个，,结论仍成立：,例2 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中任意地取出3个来用,用毕仍放回盒子中(新球用后成了旧球),第二次比赛时再从盒中取出3个球来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率?,解:,第二次取球时,盒中有几个新球未知,这是与第一次取球的,A=“第二次
4、取出3球全是新球”,“第一次取出3球中有 k 个新球”,按全概率公式,有:,各种可能结果有关,可设,例2 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中任意地取出3个来用,用毕仍放回盒子中(新球用后成了旧球),第二次比赛时再从盒中取出3个球来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率?,新 球,旧 球,第一次摸球后,第一次摸球前,9,3,第一次摸的球,0,3,9,3,1,2,8,4,2,1,7,5,0,3,6,6,例3 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.0
5、3 及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?,解:,设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,由已知条件,可得,于是,由全概率公式,有,例3 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?,例3(续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0
6、.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若厂部规定, 出了不合格的产品要追究有关流水线的责任. 现在在出厂的该产品中任取一件,检查出现为不合格品,但该产品系哪一条流水线生产的标志已看不清楚, 问厂方应怎样处理这条不合格品的责任较为合理?,解:,设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,由已知条件,可得,由全概率公式求得,于是,从而,-贝叶斯公式,例3(续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.0
7、4,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若厂部规定, 出了不合格的产品要追究有关流水线的责任. 现在在出厂的该产品中任取一件,检查出现为不合格品,但该产品系哪一条流水线生产的标志已看不清楚, 问厂方应怎样处理这条不合格品的责任较为合理?,由此可知,较为合理的分摊责任的方案,既不是由不合格率最高的第1条流水线,也不是由点产品分额最高的第4第流水线承担最多的责任,而是由第3条及第2条流水线承担了较多的责任.,定理8,设 满足下面条件,则对任一具有正概率的事件,有,且,(1),(2),贝叶斯公式,2.3.2 贝叶斯公式,证明：由条件概率的定义有 上式分子
8、应用乘法公式: 分母利用全概率公式 即得所要结论.,从推导上看,这个公式平淡无奇,其之所以著名,主要在于它的现实解释上: 概率 是在没有进一步信息(不知事件 A 是否发生)的情况下, 人们对各事件 发生可能性大小的认识,现在有了新的信息(已知A发生),人们对事件 发生可能性理应有新的估价.,这种情况在日常生活中也屡见不鲜:原以为不大可能的事,可以因为发生了某种事件而变得可能,或者相反.而贝叶斯公式则从数量上刻画了这种变化.,在统计学中,依靠收集的数据(相当于这里的事件A )去寻找感兴趣问题的答案.这是个“由结果找原因”性质的过程.,若将“抽检一件产品”说成一次试验,那么 是在试验之前就已经知道
9、的概率,所以习惯上称为先验(先于试验)概率,这是过去已掌握情况的反映,这试验将出现的结果提供了一定的信息.在本例中,条件概率 反映了在试验以后,对A发生的各种“原因”(即不合格品的来源)的可能性的定量描述,通常称为后验概率.,依据贝叶斯公式的思想发展的一整套统计推断的方法,称“贝叶斯统计”.,解：,例,由贝叶斯公式得所求概率为,例4 用血清甲胎蛋白法普查肝癌.令,C =“受检查者患肝癌”,A=“受检查者的甲胎蛋白检验结果呈阳性”,检验方法虽相当可靠但还不尽完善,已知有,“受检查者的检验结果呈阴性”, “受检查者,又设人群中患肝癌的概率已知为,现若有一人被此检验法诊断为阳性(患肝癌),求此人确患
10、肝癌的,并不患肝癌”.,概率,解:,由贝叶斯公式可得,一种直观的解法:,平均10000个人中,有肝癌患者 人,为清楚起见, 列表如下,肝癌患者,未患肝癌者,总和,阳性,阴性,总和,10000,4,9996,8996.6,1003.4,因此已检出阳性条件下(总共1003.4人),患有肝癌(3.8人)的,条件概率为,对发病率很低,检查费用又很高的某些疾病,随便用普查,的做法是不可取的.,C =“受检查者患肝癌”,A=“受检查者的甲胎蛋白检验结果呈阳性”,例5(市场问题) 某公司计划将一种无污染副作用的净化设备投放市场.公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5,一般为0.3.滞销为0.2.为测试销
11、路,决定先进行试销,并设定了以下的标准:若产品畅销,则在试销期内卖出7000到10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般,则在产品的试销期内卖7000到10000台产品的概率是0.9;若产品滞销,则在试销期间能卖出7000到10000台产品的概率是0.2.,若在试销期满后,实际卖出产品是9000台.问该产品是(1)“销路为一般”;(2)“畅销”;(3)“畅销或销路一般”的概率各是多少?,解:,记,由题意知,求,解:,记,由题意知,求,由贝叶斯公式,有,(1),解:,记,由题意知,求,由贝叶斯公式,有,(2),解:,记,由题意知,求,(3),由 两两互斥及 ,可得:,为先验概率,为后验概率
12、,人 数,发 病,7750,5250,7000,7500,4200,3500,例18(贝叶斯决策) 假定具有症状S 的疾病有 三种.现 从20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据:,出现症状S 的人数,解:,设A=“患者出现症状S ”,=“患者患有疾病 ”,每观察一张病卡可看成是作了一次试验,由于统计的病卡,A,于是,由统计数字,得,很多, 根据频率的稳定性,用频率来近似代替概率是可行的.,人 数,发 病,7750,5250,7000,7500,4200,3500,例18(贝叶斯决策) 假定具有症状S 的疾病有 三种.现 从20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据:,试求当
13、一个具有症状S的病人前来就诊时,他患有疾病,的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?,出现症状S 的人数,A,例18(贝叶斯决策) 假定具有症状S 的疾病有 三种.现 从20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据:,于是,有,同理有:,或,1-0.4934-0.2753,人 数,发 病,7750,5250,7000,7500,4200,3500,例18(贝叶斯决策) 假定具有症状S 的疾病有 三种.现 从20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据:,出现症状S 的人数,A,因此,在没有别的可资依据的诊断手段下,有,说明在出现症状S时,患有疾病 的可能性最大.,因此认为该病,人患有疾病 的判断较为合理.,这种根据后验概率做出判断的方法称为贝叶斯决策.,0.4934,0.2763,0.2303,作,业,P52,14，16,20,证明:,由(1)及(2),有,定理7,设 满足下面条件,(1),(2),证毕.,(利用乘法公式),注:在幻灯片5,全概率公式的推论的证明过程中,点击,“在定理7的证明过程中，注意到”,链接到定理7的证明(最后另附的一页(A),幻灯片31),幻灯片31点“证毕”(超链接)返回推论(幻灯片5)的证明.,
