1、天津理工大学本科毕业论文选题审批表届：2013 学院(系)：理学院 专业：应用物理 2012 年 11 月 20 日学生姓名 学号 20094756指导教师 职称 讲师所选题目 量子力学的理论和实验基础 题目来源 科学技术选题理由(选题意义、拟解决的问题、对专业知识的综合训练情况等) ：选题意义：量子力学和相对论是现代物理学的两大基础理论。量子力学是原子能、激光技术、计算机、光纤通讯和量子信息理论和技术的理论基础。通过研究和分析量子力学的形成和建立过程中，Planck、Einstein从黑体辐射实验、光电效应实验得到能量子和光的波粒二象性结论，Bohr从氢原子光谱实验数据提出“Bohr模型”
2、，de Broglie从光的波粒二象性受到启发提出了物质波的概念，Heisenberg和Schrdinger如何分别得到描述物质波运动的矩阵力学和波动力学方程(Schrdinger方程)，以及 Born的统计解释等，对于弄清楚量子力学怎样从实验事实出发，得到其基本原理，无疑具有重要意义。拟解决的问题：1. 能 量 子 和 光 的 波 粒 二 象 性 的 提 出 ；2. “Bohr模型” 的提出；3. de Broglie物质波概念的提出；4. Heisenberg矩阵力学和 Schrdinger方程的建立；5. Born的统计解释。对专业知识的综合训练：加深对电磁学、光学、电动力学和量子力学课
3、程知识和理论的理解，培养学生的创新意识和创造能力。签字： 年 月 日指导教师意见 院(系) 专家组意见 教研室 (研究所)意见签字：年 月 日签字：年 月 日签字：年 月 日注：(1)“选题理由” 由拟题人填写。(2)本表一式二份，一份院系留存，一份发给学生，最后装订在毕业设计说明书( 毕业论文)中。天津理工大学教务处制表 天 津 理 工 大 学本科毕业论文任务书题目：量子力学的理论和实验基础学生姓名 届 2013 学院(系) 理学院 专业 应用物理 指导教师 职称 讲师 下达任务日期 2012.12.10 天津理工大学教务处制一、 毕业论文内容及要求量子力学和相对论是现代物理学的两大基础理论
4、。量子力学是原子能、激光技术、计算机、光纤通讯和量子信息理论和技术的理论基础。通过研究和分析量子力学的形成和建立过程中，Planck 、Einstein 从黑体辐射实验、光电效应实验得到能量子和光的波粒二象性结论，Bohr从氢原子光谱实验数据提出“Bohr模型” ，de Broglie从光的波粒二象性受到启发提出了物质波的概念，Heisenberg 和 Schrdinger如何分别得到描述物质波运动的矩阵力学和波动力学方程(Schrdinger 方程) ，以及Born的统计解释等，对于弄清楚量子力学怎样从实验事实出发，得到其基本原理，无疑具有重要意义。本论文内容：1. 能 量 子 和 光 的
5、波 粒 二 象 性 的 提 出 ；2. “Bohr模型 ”的提出；3. de Broglie物质波概念的提出；4. Heisenberg矩阵力学和Schrdinger方程的建立；5. Born的统计解释。本论文要求：本论文在已学过的量子力学、原子物理学和电动力学等课程知识和理论基础上，加深学生对量子力学理论和实验基础的理解，拓展学生的眼界，夯实学生的理论物理基础。从学生对量子力学的发生和发展过程的体会和领悟中，培养学生的创新意识和创造能力。此外，(1)要求学生在做毕业论文过程中至少查阅相关文献 10 篇，并翻译一篇不少于4000 字的相关英文文献；(2) 要求学生在准备论文过程中定期与指导教师
6、沟通汇报工作进展情况；(3)要求学生根据学校规定的毕业论文说明书撰写规范按时完成毕业论文。二、毕业论文进度计划及检查情况记录表序号 起止日期 计划完成内容 实际完成内容检查日期检查人签名1 2012.11.11-2013.03.04开题准备，查阅相关文献。2 2013.03.04-2012.03.10开题;了解量子力学的发生和发展过程的历史梗概。3 2013.03.11-2013.03.26加深学生对量子力学的实验基础的理解。4 2013.03.27-2013.04.16加深学生对量子力学的理论基础的理解。5 2013.04.17-2013.04.21 中期检查。加深学生对 Heisenber
7、g矩阵力学和 Schr- dinger 方程的建立的理解6 2013.04.22-2013.05.11透彻理解 Born 的统计诠释7 2013.05.12-2013.05.31完成毕业论文。8 2013.06 论文答辩注：(1)表中“实际完成内容”、 “检查人签名” 栏目要求用笔填写，其余各项均要求打印。(2)毕业设计(论文)任务书一式二份，一份学院系留存，一份发给学生，任务完成后装订在毕业设计说明书(毕业论文)内。天津理工大学本科毕业论文开题报告届：2013 学院( 系)： 理学院 专业：应用物理 2013 年 03 月 04 日毕业论文题目量子力学的理论和实验基础学生姓名 学号 2009
8、4756指导教师 职称 讲师(报告内容包括课题的意义、国内外发展状况、本课题的研究内容、研究方法、研究手段、研究步骤以及参考文献资料等。) 一、课题意义量子力学和相对论是现代物理学的两大基础理论。量子力学是原子能、激光技术、计算机、光纤通讯和量子信息理论和技术的理论基础。通过研究和分析量子力学的形成和建立过程中，Planck、Einstein从黑体辐射实验、光电效应实验得到能量子和光的波粒二象性结论，Bohr从氢原子光谱实验数据提出“Bohr模型” ，de Broglie从光的波粒二象性受到启发提出了物质波的概念，Heisenberg和Schrdinger如何分别得到描述物质波运动的矩阵力学和
9、波动力学方程(Schrdinger方程)，以及 Born的统计解释等，对于弄清楚量子力学怎样从实验事实出发，得到其基本原理，无疑具有重要意义。二、国内外发展现状量子力学从它产生的那一天起直到今天就一直在争论着并在这些争论中不断地发展着。如从人们从Einstein与Bohr的关于决定论的争论中重新认识了纠缠态等，从而发展出目前正快速发展着的量子信息理论和实验、量子计算等等。本文作为本科论文，弄清量子力学的理论和实验基础。三、研究内容1. 能量子和光的波粒二象性的提出；2. “Bohr模型” 的提出；3. de Broglie物质波概念的提出；4. Heisenberg矩阵力学和 Schrding
10、er方程的建立；5. Born的统计解释。天津理工大学教务处制表四、完成本课题的过程和方法1. 查找物理学史、量子力学国内外教科书及量子力学发展的最新文献。2. 弄清量子力学的理论和实验基础。3. (1)要求学生在做毕业论文过程中至少查阅相关文献10篇，并翻译一篇不少于4000字的相关英文文献；(2)要求学生在准备论文过程中定期与指导教师沟通汇报工作进展情况；(3)要求学生根据学校规定的毕业论文说明书撰写规范按时完成毕业论文。五、参考文献1. 曾谨严; 量子力学第四版，科学出版社(2009年)2. Quantum Optics, M. Orszag; 科学出版社(2007年4月第一版)指导教师
11、意见签字： 年 月 日天津理工大学教务处制表量子力学的理论和实验基础摘 要本论文通过研究和分析量子力学的形成和建立过程中，普朗克、爱因斯坦从黑体辐射实验、光电效应实验得到能量子和光的波粒二象性结论，玻尔从氢原子光谱实验数据提出“玻 尔模型” ，德布 罗意从光的波粒二象性受到启发提出了物质波的概念，海森堡和薛定谔如何分别得到描述物质波运动的矩阵力学和波动力学方程(薛定 谔方程)，以及波恩的统计解释等的较详细研究，阐明了量子力学怎样从实验事实出发，得到其基本原理。本文根据物理学史资料，对量子力学理论的主要内容、理论的创建过程做了较为详尽的阐述，对基础实验原理和结论做了分析和论证，同时还加入了笔者自
12、己对量子力学理论一定的理解和认识。关键字: 量子力学 量子物理 近代物理学 物理学史Principles and Experimental Bases of Quantum MechanicsAbstractThis thesis is formed through the research and analysis of quantum mechanics and construction, Planck, Einstein from the blackbody radiation experiment, the photoelectric effect of energy and ligh
13、t wave-particle two as conclusion, Bohr from the hydrogen atom spectrum experiment data suggested “Bohr model“, De Broglie from the light wave-particle two as inspired by the concept of matter wave, Heisenberg and Schrodinger are respectively described how matrix mechanics and wave dynamics equation
14、 of matter wave motion (Schrodinger equation), a detailed study and the statistical interpretation of quantum mechanics, illustrates how from the experimental facts, the basic principle.According to the data of history of physics, in detail the process of creating the main content of the theory of q
15、uantum mechanics, the theory, the analysis and demonstration of the basic principle and experimental results, also joined the author to the theory of quantum mechanics a certain understanding and the understanding.Key Words: quantum mechanics Quantum physics modern physics The history of Physics目 录第
16、一章 能量子和光的波粒二象性的提出 .11.1 黑体辐射问题 .11.1.1 W.Wien 公式和 Rayleigh-Heans 公式 .11.1.2 Planck 公式 .31.2 Planck-Einstein 的光量子论 .31.2.1 Planck 的量子假说 .31.2.2 Einstein 光量子 .41.3 光量子论的应用 61.3.1 低温比热与量子论 61.3.2 Compton 散射实验 .71.4 光的波粒二象性的提出 9第二章 Bohr 的量子论 .102.1 原子光谱及其规律 102.1.1 Balmer 公式 102.1.2 原子的稳定性 .102.2 Bohr 的
17、量子论 .112.2.1 Bohr 假定 112.2.2 假说说明 122.2.3 Sommerfie 对 Bohr 模型的推广 132.2.4 Bohr 理论的意义 142.3 J.Franck-G.Hertz 实验 152.3.1 实验原理 152.3.2 数据分析 16第三章 de Broglie 物质波 183.1 物质波概念的提出 183.1.1 de Broglie 波长公式 .183.1.2 物质波的相速与群速 193.2 相位一致性定律 .203.2.1 相位一致性定律 203.2.2 量子化条件新含义 21第四章 Schrdinger 方程的提出与矩阵力学的建立 .244.1
18、 波动力学的建立 244.1.1 Schrdinger 方程 .244.1.2 定态与定态 Schrdinger 方程 .284.1.3 Schrdinger 方程对一维定态问题的求解 .294.1.4 Schrdinger 方程对氢原子能级的求解 .314.2 矩阵力学的建立 344.2.1 运动学的量子力学改造 344.2.2 量子化条件的改造 364.2.3 动力学的量子力学改造 374.2.4 Born-Jordan 引入矩阵 384.2.5 三人篇 404.2.6 Dirac 的不对易代数 .444.2.7 Pauli 对氢原子的求解 454.3 矩阵力学与波动力学的统一 47第五章
19、 Born 的概率诠释 .495.1 Born 概率诠释 495.2 微观定域的概率守恒 50结束语 52参考文献 53谢 辞 54天津理工大学 2013 届本科毕业论文0第一章 能量子和光的波粒二象性的提出1.1 黑体辐射问题19 世纪末，冶金高温测量、天文学等方面的需要，极大的推动了对热辐射的研究且取得了一系列成就。例如，G.Krichhoff 定律(辐射吸收与发射率之比的关系，1959) ，J.Stefan四次方律(1884) 等相继提出。尤其是当认识到热辐射与光辐射都是电磁波之后，便开始研究辐射能量在不同频率范围中的分布问题，特别是对黑体(空窖)辐射进行了较为深入的理论上和实验上的探究
20、。得出了较为精确的实验数据曲线，完全黑体(空窖)在辐射达到平衡时，辐射能量密度 随 变化的曲线如图 1.1-1 所示。E表示空窖单位体积中频率在 之间的辐射能量。dEd,1.1.1 W.Wien 公式和 Rayleigh-Heans 公式对于黑体辐射问题中能量密度频率分布问题(图 1.1-1)，W.Wien(1896)从热力学普遍理论考虑以及分析实验数据得出的半经验公式为(1.1.1-1)decdET231上式中 和 为两个经验参数， 为平衡时的温度。公式与实验曲线符合的不错。但是后来1c2T更精确的实验表明，Wien 公式并非与所有的实验数据都符合那样好。在长波波段，Wien 公图 1.1-
21、1 黑体 辐射能量密度频率分布实验曲线图Fig.1.1-1 The energy density of frequency distribution curves of blackbody radiation天津理工大学 2013 届本科毕业论文1式与实验有明显偏差。如下图 1.1.1-1 所示与此同时，J.W.Rayleigh(1900),J.H.Jeans(1905)根据经典电动力学和统计物理理论，得出了一个黑体辐射公式，即(Rayleigh-Jeans 公式)(1.1.1-2)dckTdE238其中 为光速， ( J/K)是 Boltzmann 常量。此公式在低频部分与实验曲线还比较ck
22、23108.符合。但当 时， ，是发散的，与实验明显不符，如图 1.1.1-2 所示 对于上图中反应的事实，历史上称为紫外灾难(ultra-violet catastrophe)。如果黑体辐射能量密度真的像 Rayleigh-Jeans 分布那样，人的眼睛盯着看炉子内的热物质时，紫外线就会使得眼睛变瞎，而这明显与事实不符，而 Rayleigh-Jeans 公式是根据经典电动力学和统计物理学得出的，因此紫外灾难被人们称为经典物理上空的两朵乌云之一 1。1.1.2 Planck 公式Wien 公式与实验数据的偏差，促使 Planck 去改进 Wien 公式，结果得出了一个两参数的公式，即(Plan
23、ck 公式)图 1.1.1-1 Wien 公式曲线与实验曲线比对图Fig.1.1.1-1 The formula of Wien curve and experimental curve comparison chart图 1.1.1-2 Rayleigh-Jeans 公式曲线与实验曲 线比对图Fig. 1.1.1-2 Formula of Rayleigh-Jeans curve and experimental curve comparison chart天津理工大学 2013 届本科毕业论文2(1.1.2-1)123TcedEPlanck 公式与当时的几个公式相比较，不仅与当时的实验数据
24、符合的最好，而且其形式也非常简单。Planck 公式提出后，A.Einstein 首先注意到 Planck 公式的低频与高频极限式分别与Rayleigh-Jeans 公式和 Wien 公式相同。Planck 提出这个公式后，许多科学家立即用它去比对当时最为精确的实验数据，发现符合的非常好。于是科学家们也普遍的认为，Planck 公式这样一个简单的公式与实验如此的符合，绝非偶然，在这个公式中一定蕴藏着一个非常重要但是尚未被人们揭示出的科学原理。1.2 Planck-Einstein 的光量子论1.2.1 Planck 的量子假说Planck 提出 Planck 公式后，在实验物理学家的鼓励下，他
25、进一步去探索公式所蕴含的更深刻的本质。经过近两个月的紧张努力，他发现(1900 年 12 月 4 日)，如果做以下假设，就可以从理论上找出他得到的黑体辐射公式 2。这个假说是：对于一定频率 的电磁辐射，物体只能以 为单位吸收或者发射它， 是一个普适常量(后来人们称为 Planck 常量)。换hh言之，吸收或者发射电磁辐射只能以“量子” 方式进行，每个 “量子”的能量为(1.2.1-1)假设黑体体腔壁上的荷电谐振子能量为 ，2 ，3 ， 。000n按照经典理论，能量为 的几率0nkTneP0设 (1.2.1-2)knn00则谐振子平均能量为(1.2.1-3)1010nkTnnePE10n天津理工
26、大学 2013 届本科毕业论文3故 (1.2.1-4)10000nkTknnkTePeE利用级数展开式和01nx00nynyede可得(1.2.1-5)1100kTeE空腔内单位体积内频率在 的振动数目为 ，所以能量密度为ddc328(1.2.1-6)ekT1032带入 Planck 量子假设 得h0(1.2.1-7)dechdkTT183令 ， ，则式 (1.2.1-7)正是式(1.1.2-1)所指的 Planck 的黑体辐射公式。318chk2这种吸收或者发射电磁辐射能量的不连续概念，在经典力学中是无法理解的。所以尽管Planck 的假设可以解释他的与实验符合的非常好的公式，但是却并没有引
27、起人们的注意。1.2.2 Einstein 光量子首先注意到 Planck 量子假设可能解决经典物理学所碰到的其它困难的是 Einstein。他在1905 年用 Planck 的量子假设去解决光电效应问题取得了巨大的成功，他因此为自己摘得了Nobel 物理学奖。所谓光电效应，又叫光电发射效应，是指在光照下，物体表面向表面以外的空间发射电子( 即光电子)的现象。能够产生光电发射效应的物体，称为光电发射体，在光电管中又称为光阴极。如图 1.2.2-1 即为一个简单的光电效应实验装置，当频率为 单色光照射在光电管阴极上时，回路上的电流计 G 将会有可能检测到光电流的通过。图 1.2.2-1 光电效应
28、实验装置图Fig.1.2.2-1 Photoelectric effect experiment device天津理工大学 2013 届本科毕业论文4人们通过对光电效应的实验研究，发现光电效应呈现的几个特点：（1）对于一定的金属材料做成的(表面光洁的)电极，有一个确定的临界频率 。当照射光0频率 时，无论光的强度有多大，都不会观测到有光电子从电极上逸出。0（2）每个光电子的能量只与照射光的频率 有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度，即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目。（3）当入射光频率 时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻 ( s)观测到光电0 910子。这与经典电
29、磁理论计算结果很不一致。以上三个特点中，(3)是定量上的问题，而(1) 和(2) 在原则上无法用经典物理来解释。为了解决光电效应问题，Einstein 提出了光量子概念，即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率关系是(1.2.2-1)hE并根据狭义相对论以及光子以光速 运动的事实得出，光子的能量 与能量 有如下关系：cpE(1.2.2-2)cp因此，光子的动量 与辐射场的波长 有下列关系：p(1.2.2-3)h当采用了光量子的概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光量子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光量子的能量足够大时，电子
30、才可能克服脱出功 而逸出金属表面。A逸出表面后，电子的动能为Ahmv21当 (临界频率)时，电子无法客服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电hA0子发出。图 1.2.2-1 光电效应实验装置图Fig.1.2.2-1 Photoelectric effect experiment device天津理工大学 2013 届本科毕业论文51.3 光量子论的应用1.3.1 低温比热与量子论在成功地解决了光电效应问题后，Einstern(1907)还进一步把能量不连续的概念用到固中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度 K 时趋于 0 的现象。T固体中每个分子在平衡位置附近做小振动，可以看成是具
31、有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为 ，总能量为 。因此，一克原子固体物质的平均k23k3热能为 ( 是 Avogadro 常量， 称为气体常量)。因此，固体RTNk3310.6NR的定容比热为KJcalRCV /9.24/958.此即 Dulong-Petit 经验定律(1819)。但是在后来实验发现，在极低温下，固体的比热都将趋于 0，如图 1.3.1-1 所示。这原因又是为什么呢？此外，若考虑到原子由原子核与若干电子组成，为什么原子核与电子的这样多自由度对于固体比热都没有贡献？(Boltzmann 佯谬，1890)这无疑是对经典物理学的又一挑战。为了解释晶体比热容，
32、1907 年 Einstein 利用能量量子化条件，并采用了非常简单的假设3：假设晶体中的原子振动是相互独立的，所有原子都具有同一频率，即123NE其中 为 Einstein 频率，则每个振动能量和晶格比热为：E图 1.3.1-1 低温固体比热容趋于 0Fig. 1.3.1-1 low temperature specific heat of solid tends to 0天津理工大学 2013 届本科毕业论文6(1.3.1-1)B()31EkTNe(1.3.1-2)2 22 231EEB TVB BkVE eCNkT 其中： ，称为 Einstein 温度。对于不同的材料， 不同。当温度
33、T 时，/EBk EE，恰为经典理论的结果。这是因为在高温区，振子的能量近似 ，而当 远3VBN BkTBk大于能量量子( )时，量子化效应可以忽略。这个结果与高温区的比热容实验结果相符合。当温度 T1，可以得出：EE(1.3.1-3)/23()ETVBCNke当温度趋于零时， 亦趋于零，这是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困V扰物理学的一个疑难问题(如图 1.3.1-1)，这正是 Einstein 模型的重要贡献所在。但是 以指VC数形式趋于零，快于实验给出的以 趋于零的结果。这是该模型的缺点，其根源在于该模3T型对频谱进行了过多简化。为了取得在较大范围内与实验一致的结果，Einst
34、ein 温度大约为几百开( 如对于 Ag， =150K)，若取 =300K，对应的 11013Hz，相当于红外光频率，EEE相应的声频波长与原子间距的数量级一样，而长声学波的频率要比这频率低得多。也就是说，当温度很低时，不可能使所有格波均有很高的频率，还有一些低频的格波。所以，低温时，随温度下降而快速下降。VC1.3.2 Compton 散射实验1912 年 C.A.Sadler 和 A.Meshan 就发现 X 射线被轻原子量的物质散射后，有波长变长的现象。Compton 建议把这种现象看成 X 射线的光子与电子碰撞而产生的 4。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能
35、量与动量，因而散射出的光子的能量与动量都相应的减小，即 X 射线的频率相应变小而波长增大。在碰撞前电子的速度很小，可视为静止。而且电子在原子中的束缚能，相对于 X 射线束中光子能量也很小，因此，可以视为自由电子。考虑到动量守恒律的要求，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。天津理工大学 2013 届本科毕业论文7假设碰撞过程中能量与动量守恒，即 (1.3.2-1)eEhmc2(1.3.2-2)p两式相减，并利用相对论中能量动量关系式(1.3.2-3)22ccEe可得(1.3.2-4)2221cmphmc对于光子， ， ，则chpcoscos2hp带入式(1.3.2-4) ，可解的cos12mh
36、或(1.3.2-5)cs12利用 ， ，上式改写成c(1.3.2-6)cos1mh令 A(电子的 Compton 波长) ，则21043.mch图 1.3.2-1 Compton 散射Fig. 1.3.2-1 Compton scattering天津理工大学 2013 届本科毕业论文8cos1(1.3.2-7)c由式(1.3.2-6)可以清楚的看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。从式(1.3.2-6)可以看出，散射的 X 射线波长与角度的依赖关系中包含了 Planck 常量 。h因此，它是经典物理无法解释的。Compton 散射实验是对光量子概念的一个直接的
37、强有力的支持，因为在上述推导中，假定了整个光子(而不是它的一部分)被散射。此外，Compton 散射实验还证实了：(a)Planck-Einstein 关系式(1.2.2-1)和(1.2.2-3)在定量上是正确的。(b)在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒律仍然是成立的(不仅是平均值守恒)。 “微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒律仍然成立”的结论，在后来的“ 电子对湮没”现象中得到证实。1.4 光的波粒二象性的提出人们对于光的本性的认识是螺旋式上升的。早期，Newton 认为光是由微粒组成的(微粒说)。Huygens 提倡光的波动说，只是在 19 世纪 20 年代，经过 Young,Fre
38、snel 等的光的干涉与衍射实验证实之后，才为人们普遍承认。到了 19 实际下半叶时，经过 Maxwell,Hertz 等人的工作，肯定了光是电磁波。而从光电效应及黑体辐射所揭示出的困难又促使人们重新认识到光的粒子性的一面。从 Planck-Einstein 关系式(1.2.2-1)和(1.2.2-3)中就可以看到，作为一个“粒子”的光量子的能量 和动量 ，是与电磁波的频率 和波长 不可分割的联系在一起的。Ep而这个桥梁就是 Planck 常量 。h光的干涉和衍射现象证明了光的波动性的一面，而光电效应和黑体辐射表明了光具有能量和动量，此二效应揭示了光具有粒子性的一面。由此可知光具有波粒二象性。
39、光的波动性不同于宏观的波。光是概率波，波动性是光子的固有属性；宏观的波矢介质质点间的相互作用产生的。光的粒子性不同于宏观的粒子。光子的运动轨迹是不确定的，这与宏观的粒子显然不同。在光子数目少、照射时间短、波长小、频率大时，光的粒子性显著；在光子数目多、照射时间长、波长大、频率小时，光的波动性显著。在不同的条件下，主要矛盾方面会发生转化。天津理工大学 2013 届本科毕业论文9第二章 Bohr 的量子论2.1 原子光谱及其规律最原始的光谱分析始于 Newton(17 世纪) ，但直到 19 世纪中叶，人们把它应用于生产后才得到迅速发展，人们常利用不同元素所特有的标志谱线来做微量元素的成分分析。由
40、于光谱分析积累了相当丰富的资料，人们对它们做了整理与分析。2.1.1 Balmer 公式1885 年，Balmer 发现，氢原子可见光谱线的波数 ( ， 为波长)具有如下规律：c1， )21(nR,543(Rydberg 常量)58.0967cmBalmer 公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长( 波数 )的规律进行了大量分析，发现每一种原子都有它特有的一系列光谱项 ，nT而原子发出的光谱线的波数 ，总可以表示成两个光谱项之差，即mTnm其中 与 是某些正整数。显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。mn这样，人们自然会提出一系列问题：原子光谱为什么不
41、是连续分布而是呈现离散的线状光谱？原子的线状光谱产生的机制是什么？这些谱线的波长(波数)为什么会有这样简单的规律？光谱项的本质又是什么？2.1.2 原子的稳定性1911 年，Rutherford 用 粒子去打击原子，研究碰撞后散射出去的 粒子的角分布，发现 Thomson 模型无法解释大角度散射。他提出：原子中正电部分集中在很小的区域中天津理工大学 2013 届本科毕业论文10,原子质量主要集中在正电部分，形成 “原子核”，而电子则围绕着其做轨道运动，cm120这个就是今天众所周知的“原子有核模型” 。粒子散射时的大角度偏转问题由 Rutherford 模型给出很好的解释，但是在下述两个问题上
42、却遇到了障碍：（1）原子的稳定性问题。按照经典电动力学理论，做变速运动的粒子将一定会向外界辐射能量，而电子的绕核运动显然为变速运动，也就是原子中的电子其能量必将不断减少，伴随发生的就是电子运动轨道半径的不断减小，最终结果就是电子掉到原子核上去。然而这与我们生活中观测到的原子稳定存在相矛盾。(2)原子的大小问题。19 世纪统计物理学的估算，原子的大小约为 。但是在经典物理m10框架中来考虑 Rutherford 模型，却找不到一个特征长度。根据电子质量 和电荷 ，在e经典电动力学中可以找到一个特征长度，即 (经典电子半径)2cer，完全不适合用以表征原子大小。m101508.22.2 Bohr
43、的量子论为了给出原子的特征长度以及解决原子的稳定性问题，Bohr 把 Planck-Einstein 的概念创造性地运用来解决原子结构和原子光谱的问题， ，提出了他的原子的量子论。首先，从原子的稳定性的分析中，Bohr 深刻地认识到在原子世界中必须背离经典电动力学，必须用新观念和新原理来处理。2.2.1 Bohr 假定Bohr 提出了两个极为重要的概念(或者说假定)，可以认为是对大量实验事实深刻分析后所做的概括，即(1)原子能够，而且只能够，稳定地存在于一些离散的能量( ， ， ，) 状态下，1E23即所谓的定态(stationary state)。而原子能量的改变(吸收/发射电磁辐射)都只能
44、在两个定态之间以跃迁(transition)的方式进行。(2)原子在两个定态(分别属于能级 和 ，设 )之间跃迁时，吸收或发射的辐射nEmmn的频率是唯一的，由天津理工大学 2013 届本科毕业论文11(频率条件)mnEh给出。简单说来，Bohr 量子论的核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念，二是两个定态之间的量子跃迁的概念以及频率条件。2.2.2 假说说明对于 Bohr 提出的两条基本假定：第一个假定涉及原子能量量子化及稳定性问题，Planck-Einstein 的辐射的量子论中提出，辐射与物体之间的交换能量是以光量子方式进行。在 Bohr 理论中提出了原子能量量子化的概念。
45、这样两个理论就显得十分和谐。关于稳定性问题，除了表现在加速电子要放出辐射而丧失能量之外，还表现在 Rutherford 模型中原子对于外界( 其他粒子 )的碰撞是极不稳定的，这都迫使人们必须引进原子能量量子化及定态之间量子跃迁的概念。而有了这些概念之后，关于分子原子比热的 Boltzmann 佯谬也就迎刃而解。按照经典电动力学，一个带电体系，如以某特征频率振动，则体系可发出频率为 (cn1,2,3，)的辐射，换言之，辐射的频率总是与体系的某一种特征频率的整数倍相联系。nBohr 的重大贡献在于他把原子辐射的频率与原子的两个定态的能量差联系起来。这样，光谱频率的 Rydberg-Ritz 组合原
46、则就得到极好的说明。光谱项的物理意义也就搞清楚了，即正是频率条件 的反映。 ，光谱项 是与原子不连续mTmnEhhcEnTnT的定态能量 直接联系在一起的。量子跃迁概念深刻地反映了微观粒子运动的特征，而频nE率条件则揭示了 Rydberg-Ritz 组合原则的实质。为了得到原子的离散能级数值，Bohr 提出了对应原理 5(correspondence principle)在大量子数极限下，量子体系的行为将趋向与经典力学体系相同。由对应原理进一步得出了角动量量子化条件，即电子运动的角动量 只能是 的整数倍J)2(h， 1,2,3, (2.2.2-1)n而 Bohr 根据对应原理思想得出的氢原子能
47、级为， 1,2,3， 2424nmehEn n(2.2.2-2)根据此能级公式和当时已经测得的 得数值，可以计算出 Rydberg 常量e,(2.2.2-3)chmeR342天津理工大学 2013 届本科毕业论文12与光谱学中定出的精度很高的 Rydberg 常量值相当符合。根据 Bohr 理论，不但可以解释氢原子光谱中已观测到的 Balmer 线系( 在可见光区域 )和 Paschen 线系(红外区)，而且还预言在紫外区存在另一个线系。第二年(1914)，此线系果然被 Lyman 观测到了。原子能量不连续的概念也在 1914 年为 Franck 和 Hertz 的实验直接证实。2.2.3 S
48、ommerfie 对 Bohr 模型的推广在量子论发展初期，大家的研究对象的自由度都是一维的，以谐振子为代表。Planck 给出的动量量子化条件为(2.2.3-1)nhdpq而 Sommerfie 将 Planck 积分改写为如下形式 6：(2.2.3-2)ii即作用量的线积分。并将其应用到了解决氢原子问题上：(2.2.3-3)hnpdJ2(2.2.3-4)rr进而可得到氢原子的能级公式：(2.2.3-5)24224)(nhmenheEr上式中 ，此公式显然与圆轨道时一样( 半长轴能级简并所致)。nr我们知道对于相对论性氢原子，有(2.2.3-6)2(14022cEmecJr 量子化：(2.2.3-7)hndrWJr则式(2.2.3-6)变
