1、1求 矩 阵 特 征 向 量 的 三 种 方 法数 学 专 业 学 生 指 导 教 师 摘 要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度.关键词：行初等变换 列初等变换 矩阵 特征向量 Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementary Counterchange to request the eigenv
2、ector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the
3、 eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation.Keywords:row elementary counterchange;tier elementary counterchange;matrix;eigenvector.1、定义定义 1 所谓数域 P 上矩阵的初等变换是指下列三种变换：1 以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）.2 把矩阵的某一行（列）的 c 倍加到另一行（列）3 互换矩阵中两行（列）的位置.定义 2 设 A 是数域 P 上线性变换，如果对于数域 P 中一数 ，存在一个非零向量，使得.那么
4、称为 A 的一个特征值，而 称为属于特征值 的一个特征向量.定义 3 设 A 是数域 P 上一 n 阶矩阵， 是一个文字 .矩阵 的行列式AE称为 A 的特征多项式，这是nnnnaaE 21221121|数域 P 上的一个 n 次多项式.定义 4 设向量组 不线性相关.即没有不全为零的数 使)(,21s sk,.212就称为线性无关；或者说，向量0.21skk称为线性无关，如果由s,.21skk可以推出.0.21s2、用行初等变换求矩阵的特征向量此方法求 n 阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程 ，而解0)(XAE齐次线性方程组一般是用行初等到变换.必要时变换列化系数为阶梯形然后给自由变量一
5、些赋值进而求解.具体求解步骤是：0,rnrCE1） 、在线性空间 V 中取一组基，写出 A 在这组基下的矩阵 A；2） 、求出 A 的特征多项式 在数域 P 中全部的根，它们也就是线性变E换 A 的全部特征值；3） 、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的 n 个线性无关的特征向量在基 下的坐标，这样，我们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特n,.21征向量.例 1 设数域 P 上三维空间 V 内线性变换 A 关于基 的矩阵为 A=321,求 A 的特征值与特征向量.4365解 因为特征多项式为f( )=| E-A|= =
6、 ( -4)4635312)所以特征值是 =-2(两重 )和 =412求相应于 A 的特征值 =-2 的特征向量（ E-A）=1630301即 - - =0，它的基础解系是1233，01因此，属于 =-2 的两个线性无关的特征向量是1= + ， =- +1212而属于 =-2 的全部向量就是 + ， ， 取遍数域 P 中不全11K212K为零的全部数对.求相应于 A 的特征值 =4 的特征向量2（ E-A）=2639361200612即 + - =012312 -6 =0它的基础解系是： 21因此属于 =4 的一个线性无关的特征向量是= + +2 ，3123而属于 =4 的全部特征向量就是 K
7、 ，K 是数域 P 中任意不等于零的数 .33、用列初等变换求矩阵的特征向量设 是 n 阶矩阵 A 的特征根，对（ E-A）施行列初等变换化为的同时，对单位阵 E 施行同样的列初等变换就得到矩阵)(rrnOB，则矩阵 D 的每一个列向量都是 A 的属于特征根 的特征向量，)(nC 且它们恰构成特征子空间 的一个基.（这里 r=秩（ E-A） ）V事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得（ E-A） =)(rnrn)(rnrnOB（ E-A） =0.)(rD由于 D 是单位阵 E 经若干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的 n - r 个列4向量线性无关，且每个列向量都是（ E-A）x=0
8、的解向量.从而结论得证.例 2 求 R 上矩阵 A= 的特征根与特征向量0213解： (x) = = (x-4)( +4)Af xx32x矩阵 A 只有一个实根 =4= 3)f(I10.41231023.10103.01从而 为 A 的属于特征根 4 的一个特征向量，1而 ，K 0,K R,是 A 的属于 4 的全部特征向量要求出矩阵 A 的每一个特征根 的特征向量，只需对每一个 按照上述方法一一求解便是.推论：若 n 阶矩阵 A 仅有两个特征根.且秩（ E-A）= 的重数（i j,i,j=1,2）,对ij（ E-A）经列初等变换化为i（ ） ，则矩阵 B 的每一个列向量都是 A 的属于特征根
9、 的特征向jrnB)(jrnO j量，且它们恰好构成特征子空间的一个基.jV事实上，秩（ E-A）= 的重数 （i j,i,j=1,2） ，从而 A 可对角化，故存在可ij逆阵 P5A= P= QP1P2211 1P（ E-A） （ E-A）ji=（ E- QP） （ E- QP）j1Pi1= （ E-Q）P （ E-Q）P1j i= （ E-Q） （ E-Q）P=0ji而 B 的列向量恰是（ E-A）的列空间的一个基，所以 B 的 个列向量是齐次线性方程i jr组（ E-A） x=0 的一个基础解系j即 B 的 列向量是从属于 的线性无关的特征向量.jrj例 3 求矩阵 A= 的特征根与特征
10、向量3205解 (x) = =Af 20xx )1(5(2xA 的特征根是 5 和 1=I)-5( 10.2001.001.02A 的属于特征根 5 的特征向量是+ ， ， 不全为 0， R1K021K21K2A 的属于特征值 1 的特征向量是60， R3K233K对于只有两个特征根的矩阵来说，要求它的属于不同特征根的特征向量，通常取重数较大的那个特征根，这样作初等变换时比起另一个来更方便些.还有一些矩阵，比如 等，虽然也保有两个特征根，但并不满足107325“秩（ E-A） = 的重数（ i j,i,j=1,2） “这个条件，因而只对 作列ijEA)-(初等变换即可.当然，并不是所有矩阵运用
11、此法求特征向量都相对简便，仅供参考.4、矩阵的特征根与特征向量的同步求解对 f( )= 同时进行列与行的初等变换，将其化为对角形AE矩阵 B( ).即只要求出有可逆矩阵 n 阶 矩 阵 p( )、Q( )，使p( )f( )Q( )=ding( ( ), ( ), ( )=B( )1f2fnf显然每个 ( ) 0.（即不是零多项式）其中 Q( )就是在对 f( )进行列的初等变if换时，同时对 进行相同的列初等变换的结果.（或记录）当然 p( )是对 f( )进行行初nI等变换时，同时对 进行行初等变换的结果.（只是后来不用它，不必记录）设 是 f( )的任意一个根（A 的特征根） ，因为 A
12、 的特征多项式 = ( ) ( ) 1f2( ).设在 ( ), ( ), ( )中有 t 个为 0，n-t 个不为 0（t 1）nf1f2fnf 设 ( )= ( )= ( )=01i2iti其余的 ( ) 0（ 是 1，2，n 中某 t 个值）显然 f( )的秩为 n ift21 t.即有 p( )f( )( ( ), ( ), ( )= () 1iq2itiqnt0其中 ( ), ( ), ( )是 Q( )中第 列的列向量.1i2iti tii21由于 p( )与 Q( )皆是可逆矩阵,由（）可得 f( )( ( ), ( ), ( )=1iq2itiqnt0而 ( ), ( ), (
13、 )线性无关,即知它们就是方程组1i2iti7的一个基础解系.ntxf01)(故 ( ), ( ), ( )就是 A 的属于特征根 的特征向量 .1iq2itiq对 f( )同时施行行与列的初等变换 ,容易将其化为对角形矩阵 B( ),只需记录下 Q( )就成了.这里免去了对 B( )的( 是 A 的一个特征根 0时)非 0 列向量再施初等变换的过程.下面举例说明.例 4 求矩阵 A 的特征根与特征向量,其中A= 102解 =3)f(I 101.102的 相 同与 变 换列 初 等 I 1001.022行 上 去到 第 加以 行 乘将 第 3,- 1001.1)(2012行 上 去加 到 第行
14、 乘 以第 32101.022上 去 列加 到 第列 乘 以第 1120.022知 B( )=28Q( )=102A 的特征根是 1(2 重根)与-1.=1 时与 B( )中对应的 Q( )中两个列向量是 与111 (1,02).(0,2)=-1 时与 B( )中对应的 Q( )中 1 个列向量是2),(A 的属于特征根 1 的特征向量是 与 ；A 的属于特征根-1 的特征向(,0,2量是 .)0,(这里顺便指出,对 B( )也不一定要求它是对角形 矩阵.只要其中的 n 个元素 (1f), ( ), ( )各在不同行不同列中即可.因为这时的特征多项式即 ( ) (2fnf f2) ( ).n致谢：在完成此论文的过程中得到了杨波教授的精心指导，在此深表谢意。参考资料1张禾瑞、郝炳新编高等代数 M 高等教育出版社， 1983 年 9 月第三版.2北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编高等代数M1988 年 3 月第二版，高等教育出版社.3 数学通报 ，1995 年第一期
