1、1安徽大学本科毕业论文（设计、创作）题 目： 一类新的 Lotka-Voterra 捕食系统的稳 定性分析 学生姓名： 学号： Z01014108 院（系）： 电气工程与自动化学院 专业： 自动化 入学时间： 2010 年 9 月导师姓名： 职称/学位： 讲师/硕士 导师所在单位： 安徽大学电气与自动化学院 完成时间： 2014 年 5 月2Lotka-voterra 捕食-食饵系统的稳定性分析与控制设计摘 要Lotka-Volterra 捕食系统模型是种群动力学一个主要研究内容，它在生态平衡，动植物保护和生态环境治理与开发等领域中有着广泛的应用。种群间相互作用的关系是种群生 态学研究的一个主
2、要课题。近年来，种群间相互作用且有疾病流行或收获率的情况受到越来越多的学者关注和研究，具有重要的理论意义和应用价值。论文系统的研究了两种群的捕食者-食饵系统，利用常微分方程定性理论和 Lyapunov稳定性理论的基本方法，研究捕食者-食饵系统的平衡点的存在性，全局稳定性，极限环的存在性和唯一性。关键字：捕食系统；生态平衡；平衡点；全局稳定性；唯一性3Stability analysis and control design of Lolta-volterra model AbstractLolta-Volterra predator-Prey system model is an import
3、ant content of population dynamics. This model is extensively applied in ecological balance, protection of plants, creatures and in the control and government of environment. The interaction between species is an important topic in the field of population ecology.In recent years, the interaction spe
4、cies with diseases or harvest rate have attracted muchattention due to their significant nature in both theory and application.The predator-prey system is considered systemically in this thesis,by using the qualitative theory and stability theory of ordinary differential equation,we study the global
5、 stability of equilibrium,existence and uniqueness of limit cycle for a predator-prey system with functional response function.Keywords: Predator-Prey system; ecological balance;equilibrium point;global asymptotic stability;uniqueness.4目 录 1 引言11.1 系统稳定性的研究意义21.2 Lotka-voterra(L-V)捕食系统及其研究的意义21.3 生态
6、学中捕食者-食饵系统研究概况31.3.1 研究基础31.3.2 国内外研究历史与现状41.3.3 研究捕食者-食饵系统的发展趋势51.4 经典的 LOTKA-VOLTERRA 捕食者-食饵模型52 系统模型的建立83 稳定性判定理论83.1 Routh-Hurwits 稳定性判据93.2 奈奎斯特（Nyquist）判别法93.3 李雅普诺夫直接法103.3.1 李雅普诺夫意义下的稳定性定义103.3.2 线性系统李雅普诺夫方法113.3.3 基于李雅普诺夫稳定理论的一种非线性系统的稳定性判据134 利用稳定性理论研究 L-V 系统144.1 平衡点的局部稳定性14 4.2 平衡点的全局稳定性1
7、65 仿真195.1 显示 Euler 方法195.2 模型平衡点的模拟206 结论21主要参考文献23致谢24501 引言种群生态学是在传统数学与生物学的基础上衍生出的一门新的学科，它在一定程度上把生态学与数学联系在一起.种群生态学主要是通过构造数学模型，并运用数学理论对这些模型进行分析研究，从而得到所研究系统中种群的生物特性.早在 16 世纪，就有用数学方法估算种群数量的事例，但直到 1925 一1926 年，Lotka-volterr 模型的提出才使种群生态学的发展有了显著的进步.此后，对种群的研究由最初的以描述为主发展为以实验，定量，定性研究为主1957 年冷泉港的国际会议有关种群调节
8、理论的讨论，标志着种群生态学成为生物学的主流.不仅吸引了大量的生物学学者对此的研究，也吸引了大批的数学学者对此的研究.此后种群生态学在学术界的热度一直有增无减。我们知道，种群是指在一定时间内占据一定空间的同种生物的所有个体，它不仅与周围环境有着物质与能量的交换，而且还存在着种内竞争，种间的竞争，捕食，互惠等关系，这些都对种群的生物特性起着重要的影响.考虑到这些因素，很多学者通过在所构造的系统中加入合适的系数或适当的项来体现出上述的各种影响.在现实的生态系统中，我们所研究的某代种群不仅仅与当代种群间有着密切的关系，而且还受前几代种群的影响和制约.因此，又有学者通过加入时滞来体现这种影响.随着种群
9、生态学的发展和研究的逐步深入，新的数学模型越来越能准确的反应出实际种群的生物特性。11.1 系统稳定性研究的意义系统;system 又称体系是热力学的一个基本概念。根据研究的需要，人为地把一部分物体从周围的物体中划分出来(可以是实际的，也可以是想像的)作为研究对象。这被划分出来的一部分物体称为系统。系统之外与系统有直接联系的物体统称为环境(surrounding)。系统稳定性：输出响应有限（有界）的系统。也就是说，系统受到有界输入或者干扰作用，其响应的幅值也是有界的，则系统是稳定的。当控制系统在使它偏离平衡状态的扰动作用消失后，返回原料平衡状态的能力。也就是说。控制系统在去掉作用于系统上的扰动
10、之后。系统能够以足够的精度恢复到初始平衡状态。凡是具有上述特性的系统称为稳定的系统。系统的稳定性可以分成在大范围内稳定和小范围内稳定两种。如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态，这种系统就叫大范围内渐近稳定的系统。如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小于某一定值才能在取消扰动后恢复初始平衡状态，而当它的初始偏差大于限定值时，就不能恢复到初始平衡状态，这种系统就叫做在小范围内稳定的系统。稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件，因此对稳定性的研究一直是控制理论的热点。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，如果系统不稳
11、定，就会在任何微小的扰动下偏离原来的平衡状态，发生振荡越来越严重的现象，从而导致系统不能正常工作。因此，系统稳定性的判别就成为控制理论研究的最基本任务之一。1.2 Lotka-voterra(L-V)捕食系统及其研究的意义种群生态学是生态学的一个重要分支，也是与人们生产生活密不可分的学科之一。为满足人类自身的发展需要，我们必须对各种生物资源进行合理的开发和科学的管理，使其更好地为人类服务。对种群生态学的研究主要从两个方面来进行：一是对种群自身的发展变化进行分析；二是在人为因素下，对种群的发展变化进行分析和预测。这对于我们实行可持续发展战略起着非常重要的作用，为我们正常的生产生活提供理论依据和科
12、学指导。种群生态学的主要研究对象是捕食者-食饵模型，这是美国生态学家A.J.Lotka(1925)和意大利数学家 V.Voterra(1926)各自独立建立的捕食-被捕食系统模型和竞争系统模型，Odum 在 1971 年把前述模型推广到互利系统。以后人们把这三种模型统称为 Lotka-voterra(L-V)模型。70 多年来 Lotka-voterra 模型描述的生态动力系统，吸引了众多数学家、数学生态学家、生态2学家、经济学家从不同角度，用各自熟悉的方法去研究两种群相互作用系统。生态学家进行了许多野外和实验室观察、监测、研究，有的实例证实了 Lotka-voterra 模型确实描述、解释了
13、一些生态规律、预测和控制着某些生态变化过程；一些生态试验结果对模型提出了质疑，这都促使人们不断的修改生态模型，使其更加切近实际。在两种群相互作用模型中，数学生态学研究得最多的是捕食-食饵系统。生态数学模型作为一种重要的生态学研究方法,在解释生态现象,描述生态系统物质、能量、信息、价值流向等生态变化过程,揭示生态系统其内在规律,预测生态变化趋势等许多间题中都发挥着巨大的作用。数学模型不仅是对生态系统进行定性分析和定量研究的理论基础之一,而且是解决生态学实际问题,优化管理农林牧渔业生态系统,提高生态经济效益的技术手段,因此生态数学模型越来越受到人们的重视。生态学家常从理论指导和实际应用两个方面研究
14、捕食对种群的影响,因为这个问题对人类和种群本身都具有十分重要的意义。捕食可以限制种群的数量,如果被捕食的种群是有害的,则捕食现象就可以达到防治的目的。捕食同竞争一样,是影响群落结构的主要生态过程，捕食同时也是一个主要的选择压力,生物的很多适应性都可以用捕食者和食饵之间的协同进化加以说明，因而捕食者-食饵相互作用关系的研究具有非常重要的理论意义和应用价值,许多学者对此进行了深入而广泛的讨论,取得了大量的研究成果。由于数学生态学的迅速发展,研究浦食者与被捕食者之间的诸多动力学性质已成为生物学家和数学家共同关注的一个重要课题,它广泛的应用性和重要的理论与实际意义,近百年来已经得到了长足的发展。但是,
15、大多数研究都是就某一个具体的或者某一类生物数学模型的某些动力学行为进行研究,尽管也有这面的学术专著比较系统全面的总结了一些前人的研究成果,然而由于捕食者-食饵系统在理论和应用方面的重要性,另外随着生物和数学的深入发展,捕食者-食饵系统在近年来又有了很多新的发展,同时以前研究的成果也有了更加深入系统的发展,而对这些理论和应用上的新成果,新的研究方向的系统性研究还比较少,因此为了对捕食者-食饵系统理论有一个比较全面系统的了解,对捕食者-食饵系统理论作一个系统、全面、深入的研究仍然具有非常重要的意义。1.3 生态学中捕食者-食饵系统研究概况1.3.1 研究基础捕食是指某物种消耗另一物种的全部或者部分
16、身体，直接获得营养，维持自身的生存和繁殖的现象。前者称为捕食者，后者称为食饵，亦可称为被捕食3者、猎物。生态学上把捕食作用分为广义和狭义的。狭义的捕食关系是指食肉动物直接捕食猎物作为食物。广义的捕食包括昆虫拟寄生者从宿主体内获取营养，直到宿主死亡为止；食草动物取食绿色植物；同类相食。一物种从另一物种的体液，组织或者已经消化的物质中吸取营养，并对宿主造成伤害的作用成为寄生。尽管寄生物依附宿主而存在，长时间摄取营养而不立刻杀死宿主，但是就其本质而言，和广义的捕食-食饵关系是一致的，所建构的模型也相同，只不过模型参数有所差异。因此我们把这样的模型统称为捕食者-食饵系统模型，本文的所有工作均建立在这个
17、基础之上。1.3.2 国内外研究历史与现状随着捕食者-食饵系统的建立、改进,对于这些系统的定性分析的研究也在不断的发展,尤其是近三十年来这方面的研究得到了实质和全面的发展,其研究的成果相当丰富,许多文献和著作都总结和收录了这方面的工作。从数学的角度来看,这是常微分方程定性理论深入发展的需要；从生态学角度来看,这为捕食者一食饵系统复杂性质的研究开辟了一个新的领域。自上世纪 60 年代以来，对捕食者一食饵系统的研究取得了多方面的进展，Rosenzweing 和 MacArthur1提出了一类比 Volterra 和 Leslie 模型更为真实的模型，即“R-M”模型。对于这个模型许多学者都进行了比
18、较深入的研究。最先用图表法和数值法研究了该模型的稳定性陈兰荪和井竹君 2用微分方程定性分析的方法对它作了详细完整的分析,讨论了极限环的存在性和唯一性。另一方面，Holling1965 年在实验研究的基础上，对不同类型的捕食者提出了三种不同的营养函数 6。1995 年，Hsu S B 和 Huang T.W7研究了“R-M”模型的全局稳定性。王稳地和陈兰荪 8二十世纪末期较早考虑了阶段结构的捕食系统,在文献中,他们假设幼体转化成为成体的转化量与其幼体的数量成正比之后得到相对于系统的具有阶段性结构和类功能性反应的捕食-食饵系统。1996 年，黄建民考虑了非自治的“R-M”模型,2001 年,范猛,
19、王克 9则进一步考虑了含时滞的系统,利用重合度理论得到保证系统存在正周期解的充分性条件。张娟和马知恩 10在文 11的基础上,对一类功能性反应的捕食系统存在唯一正平衡点的情况进行了全面细致的定性分析,确定了唯一正平衡点全局渐近稳定,以及在其外围存在极限环的条件,特别地,首次证明了对具有类功能性反应的捕食系统也存在至少两个极限环,其中内层为不稳定环,外层为稳定环,并给出两个环存在的参数区域。同年,张娟和马知恩进一步讨论了该系统存在唯一正平衡点时在其外围存在唯一极限环的条件。1998 年沈伯赛,赵文园在文献 14中证明了该系统在第一象限内至少可以出现 12 种不同的轨线分布,而且不难构造出它们的具
20、体例子，这一结论得4到广泛的应用。贾建文 15等人考虑系统一类两种群均具有密度制约的非自治具有扩的捕食系统,证明了在适当条件下,系统是持久的，进一步如果系统是周期系统,则在一定条件下存在唯一严格正的全局稳定的周期解。上述学者对具有线性密度制约的类功能性反应的捕食系统进行了深入而系统的研究,得到了一些比较好的结果,此时系统的动力学行为比较清楚了。而当捕食者或者食物具有非线性密度制约时,此时系统的动力学行为如何呢，这也引起了很多学者的兴趣。2004 年，叶丹，范猛和张伟鹏 16利用重合度理论中的延拓定理开始研究了一类具有 Holling-II 功能性反应的捕食者-食饵非平凡周期解的存在性，其中食饵
21、种群从 Smith 增长，捕食者种群具有密度制约效应，得到该系统存在正周期解的充分性判据。2004 年,Meng Fan 和 Yang Kang 系统地研究了非自治的 B-D-功能性应捕食系统,探究了包括持久性和种群灭绝问题以及全局渐近稳定性；对周期系统正的概周期解的存在性、唯一性和稳定性以及解的有界性等问题作了研究,得到了一些比较好的结果,2010 年，杨春霞，王辉，胡志兴在文献 17对一类具有常数投放率功能反应为 x 的捕食者-食饵模型做了定性分析，这是既考虑投放率，又考虑复杂功能反应较新的文献。1.3.3 研究捕食者-食饵系统的发展趋势一方面，研究捕食者-食饵模型最重要的数学工具是平面定
22、性理论和李雅普诺夫稳定性理论。由于平面定性理论与平面几何紧密联系在一起，近年来的发展，已经形成一套独特的研究平面系统的方法，有关利用平面定性理论研究生态学的文献大量涌现，加上广泛的应用背景，相关学科诸如纯粹数学，运筹学，生态学，病理学正在相互渗透，相互促进，促使这一理论迅速而深入的发展；另一方面，生物群落是在特定的时间聚集在一定地域内的所有的生物种群的集合，在自然中，任何一种物种都不是孤立存在的，它总要同其他的物种发生这样或那样的系，物种之间的相互关系对于整个生物界的生存和发展都极为重要，物种的多样性，生物群落的复杂性决定了在一个生物群落里面不可能只存在捕食者和食饵两种生物，研究 n 种群生物群落，成为国内外学者的新方向，群落符号有向图和群落矩阵是研究生物群落稳定性的有效工具，因此有必要对这方面知识做深入的研究学习。1.4 经典的 Lotka-Volterra 捕食者-食饵模型20 世纪 20 年代微分方程理论第一次在生物科学中得到应用，经典的Lotka-Volterra 系统是 Lotka 在 1925 年和 Volterra 在 1926 年运用动力学方
