1、理学院School of Sciences微积分基本定理的证明Proof of the fundamental theorem of calculus学生姓名：学生学号：201001164所在班级：数学 101所在专业：数学与应用数学指导老师：摘 要微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开
2、论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor 中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明ABSTRACTCalculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a
3、 discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since s
4、eventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of th
5、e calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and
6、multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem.Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof目 录摘 要 .2ABSTRACT .3第一章 微积分基本定理发展历史 .51.1 前言 .51.2 巴罗的几何形式的微积分基本定理 .51.3 牛顿的反流数形式的微积分基本定理 .71.4 莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理 .81.5 柯西现代形式的微积分基本定理 .
7、91.6 黎曼积分下的微积分基本定理 .101.7 勒贝格测度积分论下的微积分基本定理 .12第二章 微积分基本定理的应用 .142.1 微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用 .142.2 微积分基本定理在换元公式和分部积分中的应用 .152.3 微积分基本定理在 Taylor 中值定理的积分证明中的应用 .162.4 利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理 .172.5 一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 .182.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 .20第三章 微积分基本定理的证明 .243.1 微积分基本定理的一个证明 .243.2 利用定积分的定义证明微积分基本定理 .253.
8、3 利用微分证明微积分基本定理 .263.4 利用中值定理证明微积分基本定理 .263.5 在实变函数中勒贝格对微积分基本定理进行了进一步的探索 .26结论 .27致谢 .27参考文献 .280第 1 章 微积分基本定理发展历史1.1 前言微积分是经典数学的重要内容，曾引起马克思、恩格斯、列宁的关心和兴趣。他们从哲学家的角度，对微积分及其发展史进行深入地研究，并对微积分的本质进行了广泛的讨论。认为微分和积分是微积分的主要研究对象，它们之间的矛盾是微积分的主要矛盾，明确指出：微积分这门科学，是研究微分和积分这对矛盾的科学。为我们研究微积分及其历史提供了线索。本文以研究反映微分和积分内在联系的微积
9、分基本定理发展为主线，简叙微积分发展历史。事物是普遍联系的，发现事物的一种联系，是一种创造。从哲学角度来说，事物相距越远，其发现难度就越大，就越能说明事物之间的联系，其发现的意义也就越大。微积分基本定理就是这样一项发现和创造。微积分基本定理 作为微积分的核心定理，一方面，它将求函)()(aFbdxfba数定积分计算化为求函数原函数的计算，从而简化了定积分的计算，为微积分的应用带来了活力。另一方面，它在理论上揭示了微分和积分这对矛盾的内在联系和转化规律。因此，微积分基本定理的确定和完善，成为微积分发展的标志，在微积分发展史上有着重要的意义。微积分基本定理从发现到形成现在的形式，跨度将近二个世纪，
10、大致分为萌芽、创立和完善三个阶段，作出贡献的有巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人。1.2 巴罗的几何形式的微积分基本定理微分和积分的概念，古而有之，在古希腊时代，伟大数学家就创立了求抛物线切线的方法。我国古代数学家祖冲之利用无穷小分割的方法，计算出圆周率为31415926，创造了中国古代数学的辉煌一章。所有这些，都为微积分创立做了必要的准备。特别从 1516 世纪欧洲文艺复兴时代以来，一大批数学家沿着古人的道路，在求切线，求面积和体积这两类微分和积分的基本问题上进行了深入的研究，得到了用无穷小方法求切线和面积的方法，为微积分的诞生做出了贡献，其中有培根、韦达、1费马、笛卡尔、开普勒、
11、帕斯卡等人。由于时代的限制，这些研究都是针对个别问题的，并未形成统一的方法。特别是他们并未看到“求切线”和“求面积”之间的互逆关系。利用这种关系可以将“求面积”这一繁琐的运算化为“求切线”的逆运算这一简便计算的事实，所以他们并未成为微积分学说的创立者。在历史上，十七世纪英国数学家巴罗是第一个看到这一互逆关系的人。巴罗(1630 1677)，曾任剑桥大学第一任“卢卡斯教授” ，三一学院院长和剑桥大学副校长，牛顿的老师。他的代表作有：数学讲义(16641666)， 光学讲义(1669)， 几何讲义(1670) 。在数学方面的主要贡献有：给出求曲线切线的方法，引入“微分三角形 的概念，以明确形式给出
12、了求切线和求面积之间的互逆关系。所有这些，对于后人，特别是对于牛顿和莱布尼兹确立微积分体系有着重要的启发，对于后人，巴罗被认为是微积分创立的先驱者。他在几何讲义一书的第 10 讲和第 l1 讲中，以几何形式给出了求面积和求切线的互逆关系，这一关系用现代数学语言可以表叙为：建立坐标系 XOY，使 OY 向下，现有增函数 在)(xfy坐标系中表示为曲线 BGE(图 1)，D(x,0) 为 OX 上任一点，曲线 BGE 和 OD 及纵线 BO，ED 所围成的面积(即曲边梯形 OBED 的面积)是 x 的函数，记作 S(x)，为了便于比较，以 OY 的反方向为 OZ,建立坐标系 XOZ，作出函数 Z=
13、S(x)的曲线 OIF，F(x，S(x )是 ED 延长线与曲线的交点，在 OX 上取点 T，使得 。巴罗yxSEDF)(断言直线 TF 是曲线 OIF 在点 F 的切线( 原话是 TF 仅在点 F 与 OIF 相接触)，并以较为初等方法加以证明。 很容易看出直线 TF 是分析意义下面积函数 S(x)的切线。若同时适当地定义斜率，则上述结论就相当于。xxFdufS0)()()(巴罗的这一结果被认为是微积分基本定理的最早形式，从而对微积分的创立起到了巨大的作用。由于这一结果是甩几何语言叙述的，较难理解，应用也较为困难，再加上巴罗本人对于接近微积分基本定理的重大发现似乎认识不足，因此这一发现在当2
14、时影响不大。再加上他的兴趣日益转向神学，1669 年，巴罗主动宣布牛顿的才华超过自己，并将“卢卡斯教授”这一重要职位让给了年仅 26 岁的牛顿，从而为牛顿在科学研究中显示自己的才华创造了机会。与此同时，揭示微分和积分内在联系，确立微积分基本定理在微积分学中核心地位的重任历史地落在牛顿和莱布尼兹肩上。1.3 牛顿的反流数形式的微积分基本定理牛顿(16421727)是英国最伟大的数学家、物理学家、天文学家，微积分学的奠基人。一般认为牛顿是在前人的工作基础上进行分析和综合的基础上建立他的理论体系的，他将古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法微分和积分。以“流数”(导数) 为该理论的核
15、心概念，并通过逆过程(反流数)来解决面积等积分问题，是牛顿构建微积分理论的主要特点。牛顿研究微积分的代表怍有三本：论流数写于 1666 年；无穷多项方程的分析写于 1669 年，发表于 1711 年；流数法和无穷级数写于 1671 年，发表于 1736年。牛顿被认为是完全继承了费马和瓦里斯的无穷小算法，实际上他的发展远大于继承。他从瓦里斯的整数幂有限项级数得到启发，发现了无穷级数的二项式定理。使无穷小更富于活力，并使他可以从函数关系中自变量的无穷小量变化和相应的函数变化量之闯的比例关系加以考虑，从而得到人类有史以来最有力的数学工具微分方法及其思想，牛顿称之为“流数法” 。进而，他发现反流数法，
16、可以由切线求出曲线，由流数求出函数，更加神奇地是利用反流数法，可以轻松求出曲线所围图形的面积，而不必借助复杂的穷竭法求面积。牛顿将求曲线切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到代数形式的互逆运算形式，这是历史上第一次以明确形式给出了微积分基本定理。以下是牛顿在论流数中首次给出的微积分基本定理：设 y 为曲线 下图形 abc 的面积，作)(xfgde/ab，ad ab，cede，be=1 ，当垂直线 cbe 以单位速度向右移动时，cb 扫出面积 abe=y，其流数 ，qdty3be 扫出 adeb=x，其流数 。因此， ,于是面积1pdtx )(xfqpdtxyy 可以通过面积的变化率
17、 ，经过反流数求得 (如图 2)。)(fxy这里，牛顿虽未以命题形式叙述和证明微积分基本定理，但他确实很清楚地看到这个事实，并应用它使许多动力学、运动学的问题到牛顿手里变为简单问题，从而使牛顿在经典物理学做了开创性的工作。牛顿在以后的著作中，如流效法和无穷级数中将微积分分为二个基本问题：已知流量关系，求流数比；已知含流致的方程，求流量的关系，从而确定这两个问题的互逆关系，进而建构起系统的微分法和反微分法。1.4 莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理莱布尼兹(16461716) ，德国伟大的哲学家、数学家、微积分的奠基人之一。他开始研究数学的时间比牛顿要晚，在十七世纪七十年代，他开始了解到
18、笛卡尔、瓦里斯、巴罗在研究做积分的初期工作，并萌发了与做积分有关的思想。做为一位哲学家，他是从发现和揭示做积分基本原理入手发展他的学说的，独立的微分 dx 和 dy 作为他的体系基本概念，面积和体积被看成为若干个微分之和。巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到：曲线切线依赖于纵坐标的差值与横坐标差值之比，求面积依赖于横坐标的无穷小区间的纵坐标之和，再加上他对整数平方和序列中“和”与 差”关系的研究，使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题，从而促使他去研究“ ”的运算(积分)和“d”的运算(微分 )之间的关系。在他研究了积分和微分的运算之后，注意到这样一个事实
19、：“对于 ，转换成和式就变为 ，而从我们所建立的求切线方法xdpxdp中，明显地有 ，所以反过来 因此作为普通运算的幂和根式，2121和与差， “ ”和“d”是互逆的。 ”通过以上不充分的论证，莱布尼兹第一次表达出微分和积分之间的互逆关系。16751676 年间，他给出微积分基本定理，Adxfabfdxba )(,)(其中 A 为曲线，所围图形的面积。1693 年，他给出了上述定理的一个证明以上这些4都发表在教师学报上。将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志。牛顿和莱布尼兹在前人研究的基础上，各自独立地将微分和积分真正地沟通。通过微积分基本定理将两种运算统一起来，明确这对矛盾
20、是可以转化的，是一对互逆的运算，这是建立微积分的关键所在，只有确定了这一基本关系，才能构建系统的微积分理论，并从对各种微分和求积公式中，归纳出共同的算法，从而为微积分应用提供了有力武器。这就是牛顿、莱布尼兹做为微积分理论奠基人的主要功绩。1.5 柯西现代形式的微积分基本定理牛顿和莱布尼兹的做积分体积中，总是将积分看成微分的逆运算，并且他们的积分概念也是含糊不清的，有时指为定积分，有时又为不定积分、特别是将积分定义为微分的逆命题，从某种意义上影响了积分学做为相对独立数学分枝的发展，造成了微积分发展的曲折，这种情况到微积分进行严格化尝试时才有所变化。柯西(17791857) ，十九世纪法国著名的数
21、学家，他在分析基础、单复变函数、常微分方程方面作出巨大贡献。他是微积分的真正理论基础极限理论的缔造者。我们今天看到极限、连续性定义、把导数看成差商的极限、把定积分看成和的极限、微积分基本定理现代形式和证明，事实上都是柯西给出的。柯西在他的无穷小计算概念(1823)中对定积分作了最系统的开创性工作，首先他恢复了把积分作为和的特征。他对连续函数 f(x)给出了定积分作为和的特征，他指出；如果 f(x)是定义在区间上连续函数，区间 为 x 的值 所分割，那么 f(x)在 上的积x,0 ,0 121, nx， x,0分是指特征和式 ).()()( 1121010 nxfff当 无限地减小时的极限。柯西证明了“这个极限仅仅依赖于函数 f(x)的形式以iix1及变量 x 的两端值 ” ，因此他称这个极限为定积分，记作 。用以代替X和0 Xxdf0)(高斯对反微分法经常使用的记号 。axbdf)(
