1、 山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓 名 院 系 数学与计算机科学系专 业 数学与应用数学班 级 0803 班学 号 0890110320指导教师 答辩日期成 绩论文题目：利用导数研究函数性质内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用：比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。【关键词】导数 函数的性质 函数的零点 不等式
2、 近似计算 Title: The study of function by using derivativeAbstractResearch on the properties of function derivate as extremely important and powerful tool,for us to solve many function provides a more simple metheod and the way,greatly enriched the mathematical thought and methed.In this paper,through a
3、 combination of specific examples,discuss the research on the properties of function derivative in the application: Such as the use of the derivative function image tangent promblem,using derivative of monotonicity of functions,solving the most value problem with the derivative extremum,as a tool to
4、 examine zero number of functions,application of the derivative to prove inequality ,approximate calculation.【Key Words】derivative properties of function zero of a function inequalityapproximate calculation目录 引言 .1一、导数的相关概念 .1二、函数基本性质的研究 .2（一）利用导数处理函数图像的切线问题 .2（二）利用导数判断函数的单调性 .3（三）利用导数求函数的极值、最值 .5三、
5、函数零点个数的探讨 .7四、不等式的证明 .9五、利用导数解决近似计算问题 .10结束语 .11参考文献 .11致谢 .120利用导数研究函数性质学生姓名： 指导老师： 引言导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。利用导数研究函数的一些性质并解决相关问题，为数学研究提供了新的视野。以下我们先来介绍一些导数的基本概念，再具体的阐述如何利用导数解决函数问题。一、导数的相关概念1.导数的定义：当自变量的 ， 时函数的增量 与 增 量 0xx0yfxf自变量 之比的极限存在且有限，即 存在且有限，增 量
6、x 000limlixxfy我们就说 在点 导，称此极限为 在点 处的导数（或变化率） 。f0处 可 f2.导数的另一种形式： 叫做 在 时的导数，000lixfxfyfx0记作 ，导数还可以表示为： 。0|xy 00limxfff3.导数的几何意义：曲线 在点 处切线的斜率。yfx,f注意： 函数在点 的某领域内要有定义，否则导数不存在。0x 如果极限 不 在，则称函数 在点 处 。00limxfxf存 yfx0不 可 导 导数 表示的是函数 在000lixffxf f0点 的 瞬 时 变化率，反映的是函数 在点 的快慢程度。yf0处 变 化 如果函数 在开区间 内的每一点处都可导，则称函数
7、 在yfx,ab yfx开区间 ，此时对每一 个都对应着一个确定的导数 ，,ab内 可 导 ,x1我们称函数 为 在 内的导函数，简称导 数。fxyfx区 间 ,ab二、函数基本性质的研究（一）利用导数处理函数图像的切线问题导数 的几何意义在函数图象上可表示为曲线 在 处切fx yfx某 点 0,pxf线的斜率 ，在具体应用中，已知曲线 和曲线上的点 ，则可求出曲0 f ,y线在 点处的切 率为 ，从而得到切线方程为p线 斜 0yfx00yfx注意： 在求曲线的切线方程时，要特别注意曲线上某点处的切线和过某点的切线是完全不同的：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，就算此点
8、在曲线上，也不一定只有一条。 在求过某点的切线时，必须首先搞清楚此点是否在曲线上，只有该点在曲线上时，切线斜率才是 。0fx 在求两条曲线的公切线时也常常会用到导数的知识。例 1 已知曲线 的一条切线 与直线 垂直，求直线 的方程。3yl350xyl 已知 曲线 上的一点，求过该点的切线方程。1,为 32x解： 切线 与直线 垂直，l50y则可设直线 的方程为 ，l3xm的斜率为 ，即曲线 在某一点处的 为 ，lk3y导 数 3而 ，所以 在 点处的导数为 ，23yx3x1,因此直线 的方程为 ，即 。ly2yx 设切点为 ，则切线的斜率 ，0,px0|3x所以切线方程为 ，032y又切点在曲
9、线上，故 2000xxx由题意知，切线 ，把它代入切线方程得过 点 ,2，解得 或 ，3200011xx01x02故所求切线方程为 或32y 31842yx即 或20xy5410x小结：我们会发现 是以 为切点，且经过点 的直线，而不是以 7,281,为切点的的直线，这说明在求经过曲线上某点的切线时，该点不一定是切点。1,这类问题一般采用待定切点法求解，即先设切点的坐标，写出切线方程，将已知点代入该方程，求出切点，从而得出切线方程。例 2 已知抛物线 与 ，如果 和 有 ，求公切线1:C2yx22:Cyxa1C2公 切 线 ll的方程。解： 由 得 ，故曲线 在点 的切线方程是21: 1211
10、,Px，即 （1）1112yxxy由 得 ，所以曲线 在点 的切线方程是2a 2C2,Qxa即 （2）22yxx2y若 是过点 与 的公切线，则（1） 、 （2）表示的是同一条直线，lPQ消去 ，得 ，221xa2x10xa结合题意分析知，该方程有且只有一个根，故 ，421所以 ，则 ，即 重合，2a12x,PQ因此得曲线 和 有且 一条公切线，且 的方程为C仅 有 l40xy（二）利用导数判断函数的单调性判断函数 的单调性时，常常借助 的符号来判断。fxfx定理 设函数 内可导，yf在 区 间 ,ab 当 ， 时 在区间 内单调递增；,xab0xfx,ab3 当 ， 时 在区间 内单调递减。
11、,xab0fxfx,ab在具体问题中，求单调区间的方法为： 确定函数的定义域 求函数的导数 fx 求不 的解集来确定单调递增区间，求不 的解集来确等 式 组 0定 义 域 D等 式 组 0fx定 义 域 D定单调递减区间。例 已知函数 321+fxax 求 的单调区间； 若函数 的递增是区间 ，递减区间是 ，求 的取值范围。fx1,24,5a解： ， 233afx当 时， ，在 R 上单掉递增；0a+1f当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；fx,03a,3a0,当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增。0af, , 在 上递减，故 在 上恒成立，fx1,2fx01,2且 在 上恒
12、成立， 即 在 上恒成立04,53ax,在 上恒成立 23xa1,2在 上 ， ；1,63x6a又 在 上恒成立 在 上恒成立，23+0xa4,53x4,5又 在 上 ， , 12x12综上所述， 的取值范围是 6a4（三）利用导数求函数的极值、最值极值的定义：设函数 在点 的某领域内有定义，若在该领域内异于 的点恒有 yfx0 0x().若 ,那么称 为函数 的 ， 为极大值点；0fxffx极 大 值 0x().若 ,那么称 为函数 的 ， 为极小值点。0fx极 小 值极值分为极大值和极小值。求极值或最值的方法： 求 的根 ；0fx0 若 时， ； 时， ，则 在点 处取得极大值，f0x0f
13、xfx0若 时， ； 时， ，则 在点 处取得极小值，0x若 时， ； 时， ，则 在点 处无极值，fx0xffx0若 时， ； 时， ，则 在点 处无极值。0x0 若还要求最值，则需加一个步骤，对于闭区间，需要算一下两个端点的函数值，然后将所有的极值和端点的函数值作比较，得出最大值和最小值。注意： 函数的极大值和极小值可以不止一个，也就是说函数的极值不唯一。 极小值可以大于极大值，极大值也可以小于极小值，因此二者之间没有确定的大小关系。 若 在区 上 续，则 在 上必有最 值和 小值。fx间 ,ab连 fx,ab大 最 的极值是针对局部而言的，而最大值与最小值是针对整体而言的，即定义域内的最
14、大或最小；函数的极值点一定在区间内部取得，函数的最大最小值不一定都存在于区间内部，也有可能存在于区间的端点处。 也可利用函数的单调性求 的最值，如果 在 上单调递增，则fxfx,abfx的最大值为 ，最小值为 ；如果 在 上单调递减，则 的fba最大值为 ，最小值为 。f例 1 已知函数 3224,8fxxgx 求 的极值； 若对任意的 ， ， 。0,x恒 有 fx求 实 数 a的 取 值 范 围5解： ，令 ，得2341fx0fx12,3x随着 的变化， 的变化情况如下表 :,fx ,1 1,3 13 1,3f 0 0 x 递增 4 递减 27 递增由上表可知， 在 ，且 =fx1处 取 得 极 大 值 fx极 大 值 14f在 ，且fx13处 取 得 极 小 值 12=37fxf极 小 值 令 ， 在 上恒成立，324Ffgxafgx0,即 在 上恒成立 ，其中0x,min0Fx 若 ，即 时，显然 ，2a2i 若 ，即 时， ，234xax令 ，解得 ，0Fx120,ax当 时， ， 在 上 ；243aFx20,3单 调 递 减当 时， ， 在 上x0x4,a单 调 递 增故 在 ，F243a处 取 得 最 小 值时，0,xmin2403axF即 解得 ，3224aa 5因此当 时，要使 恒成立， 的范围为min0Fxa25a结合、， 的取值范围为a,
