1、2014 届 本 科 毕 业 论 文 (设 计 )德 萨 格 定 理 及 其 应 用所 在 学 院 ：数 学 科 学 学 院专 业 班 级 ：数 学 与 应 用 数 学 093学 生 姓 名 ：指 导 教 师 ： 老 师答 辩 日 期 ：2014 年 5 月 8 日新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)1新疆师范大学教务处目录1.前言 .32.关于德萨格定理的基本概念 .32.1 基本概念 .32.2 德萨格定理 .43德萨格定理在初等几何中的应用 .63.1 应用徳萨格定理证明共点问题 .63.2 应用徳萨格定理证明共线问题 .73.3 应用徳萨格定理求定点 .94.总结 .95.参考
2、文献 .10致谢 .11新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)2德萨格定理及其应用摘要:德萨格定理是射影平面上的一个重要定理,它是射影几何的理论基础, 也是图形的一个重要射影性质。它的应用很广泛，许多定理以它为根据。这里仅用德萨格定理与德萨格逆定理来证明共点和共线问题,体现高等几何观点对初等几何的指导作用,在解决初等几何问题方面具有独特之处。本论文通过实例说明了上述定理在初等几何中的应用。新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)3关键词:德萨格定理及逆定理；三点形；三线形。新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)41.前言射影几何是高等几何中的主要组成部分，而德萨格定理则是射影几
3、何中的基础定理之一，在射影几何中占有不可或缺的地位。发现德萨格定理的德萨格是 17 世纪法国著名的数学家，他 1591 年出生于法国里昂，1661 年卒于同地。曾坐过牢，后来担任过法国军事工程师和建筑工程师。德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色，而射影几何又是高等几何中的主要组成部分，因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。德萨格定理的内容从完整的角度讲包括德萨格定理及其逆定理，主要研究的是三点共线或者三线共点的问题。在初等几何中有许多需要证明点共线或线共点的问题，这类问题用初等几何方法证明往往比较复杂，但用德萨格定理去证明却很容易。因此，德萨格定理和逆定理可以被应用到初等几
4、何中的很多方面中去。并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用，全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。下面通过几个具体的实例说明它在初等几何中的应用。新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)52.关于德萨格定理的基本概念2.1 基本概念定义 2.1 平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性三点形与三线性实际上是一种图形（如图 2-1）,点 叫做顶点,直线ABC,abc叫做边 ba cAB C图 2-12.2德萨格定理我们已经
5、介绍了三点形和三线性下面我们介绍德萨格定理定理 2.2（德萨格定理）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上证明（1）如图 1，因为 三点共线故存在不全为零的常数 使得 1,OA1,l1lAl新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)6同理可得 ,1OmB1nC其中 不全为零； 不全为零。前两式相减得1,m1,；11()lAmBlBZ同理可得 ； 11nCnX11()lAlAY以上三式相加可得 。从而 三点共线0XYZ,XZ定理得证。证明（2）设有三点形 ABC与 ，对应顶点连线 ,ABC交于一点 O，对应边 与 的交点为 X， 与 的交点为 Y， 与 A的交点为 Z，
6、要证 X，Y，Z 在一直线上。新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)7情况（i） ABC与 位于不用的平面 与 内（图 2） ，因B都在五点 ,O所定的平面内，所以二直线 ,BC相交。交点既在 内也在 内。因此点 X 存在且在 与 的交线上。同理， 与 ， 与 AB也都相交且交点在 与 的交线上因此三点 X，Y，Z 在一直线上。情况（ii） ABC与 位于同一平面 内（图 3） 。通过 O 做不在 内的直线 P，在 P 上任意取两点 ,L。由直线 ,AL位于直线 P 与 A所决定的平面内，所以直新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)8线 AL与 相交，交点记以 A。同理，直线 BL
7、与 相交，交点记以 B。直线 CL与 相交，交点记以C。三点 ,A所决定的平面与 不同（例如 A不再 内） 。考虑三点形L与 ，二者不在同一平面内。由于 ,交于同一点 O，所以根据情况（i）知 BC与 ， L与 C， B与 L交于同一直线上的点，即X， ， ，在一直线上。因此 X 在平面 内。但 X 也在平面 内，这说明 X 在两不同平面 与 A的交线上。同理，Y，Z 也在平面 与 的绞线上，所以三点 X，Y，Z 在一直线上。定理 2.3(德萨格定理逆定理)如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点3德萨格定理在初等几何中的应用3.1 应用徳萨格定理证明共点问题例 1 试证
8、三角形三条中线共点？证明 如图设三角形 ABC 三条中线 AD,BE,CF（图 4）考察三点形 ABC 和 DEF，由于 BCEF，CAFD，ABDE，即三点形 ABC 和新疆师范大学 2014 届毕业论文( 设计)9DEF 的对应边的交点均为无穷远点从而都在无穷远直线上，故根据徳萨格定理的逆定理知它们对应顶点的连线 AD，BE，CF 交于一点，即三角形 ABC 的三条中线共点。同时，此题是中学几何中有关三角形重心的问题，用初等几何方法不够直观，也较繁杂，但用上述方法却很简便。例 2 直线 AB 与 CD 交于 U，AC 与 BD 交于 V；U，V 分别交 AD，BC 于F，G；BF 交 AC
9、 于 L。求证：LG，CF，AU 交于一点。证明 如以下图 6 在三角形 AFL 与三角形 UCG 中对应边 FL 与 CG，LA 与UG，AF 与 UC 分别交于共线的三点 B，V，D。根据徳萨格定理的逆定理知AU，FC，LG 交于点 O（如图三线形 AFL 与三角形 UCG 对应顶点连线 LG，FC，AU共点 O（图 5）3.2应用徳萨格定理证明共线问题例 3 证明三角形的垂心,重心,外心三点在一条直线上证明 已知三角形 ABC,依据几何作图作出其垂心 R,重心 S,外心 T,其中,MN分别为 ,中点,下面证明三点 ,RST共线在三点形 AB和 MN中,根据几何作图性质可知, /MN, /, /BN,即两个三点形 和T对应边的交点都为无穷远点,从而它们的交点都在无穷远直线上根据德萨格逆定理,两个三点形 AB和 对应顶点 ,A的连线交于一点 S即三点 ,RST共线
