1、 第 1 页（共 18 页）求极限的几类方法研究Research on Several Kinds of Methods for the Limit Solving摘 要求极限的方法是高等数学的基础,也在解决生活中的问题上发挥越来越重要的作用.文章结合极限的基本思想,归纳与总结求极限的几种重要方法：两个重要极限,洛必达法则,泰勒公式等,并结合具体例子进行介绍.The methods of limit solving are the basis of advanced mathematics, and also playing a more and more important role in
2、solving the problem of life. The page combines the basic idea of the limit as will as introduces some methods of limit solving such as by using two important limits, L Hospital Rule, the Taylor formula and so on, some concrete examples will also be presented.关键词：极限；方法；洛必达法则；泰勒公式；定积分Keywords: limit;
3、method; L Hospital Rule; Taylor Formula; definite integral第 2 页（共 18 页）目 录1 引言 42 极限的定义 43 极限的定理 44 求极限的方法 54.1 用极限定义求极限 54.2 用极限四则运算求极限 64.3 用函数连续性求极限 74.4 运用两个重要极限求极限 74.5 用等价无穷小求极限 84.6 用夹逼定理求极限 84.7 用洛必达法则求极限 94.8 用泰勒公式求极限104.9 用定积分求极限114.10 用拉格朗日中值定理求极限134.11 用积分中值定理求极限134.12 用级数收敛必要条件求极限144.13
4、 用变量替换求极限155 关于二元函数的极限166 总结17参考文献 18致谢 18第 3 页（共 18 页）1 引言求极限的方法是数学分析很重要的一部分内容,也是学生学习高等数学的基础,是不可或缺的基本功,但求极限的方法纷繁复杂,种类繁多,给很多同学造成了很大的困难,错误的方法不仅计算量大,而且可能求不出结果,浪费精力.而且随着社会发展,人们越来越意识到求极限在各个领域如经济学,天文学,力学,化学,社会科学,工程学正发挥越来越大的作用.很多人意识到学习极限的重要性,因此我认为有必要将几种常用的求极限方法进行归纳.2 极限的定义2.1 数列极限的定义数 称为数列 的极限, , ,当 时,都有A
5、123,na0Nn成立 . 就称数 是数列 的极限,记作 ,或 .naAalim()xfA()a2.2 函数极限的定义用应用函数的观点来考察数列,后者只是前者的一种特殊情况：,()nf即数列是定义域为全体自然数集合的函数,数列的极限,是考场当自变量 ,函数值n的变化趋势.()fn对于一般函数 ,如果它定义在 上,除了如同数列一样 ,可以考察当自()yfx()变量 时,函数的变化趋势外 ,还可以考察当自变量 在函数 的定义x 0,x()fx域内取值（ 为一实数）时,函数值 的变化趋势,即函数的极限 .0 ()fx定义 1 ,总存在着一个正数 ,当 时, 成立, 则称常数X()fxAA为函数 当
6、时的极限,记为 .()fxlim()nf定义 2 ,总存在着一个正数 ,当 时, 成立, 则称常数0x()fx为函数 当 时的极限,记为 .()fxli()xfA定义 3 ,总存在着一个正数 ,当 , 成立,则称常数0()fx为函数 当 时的极限,记为 .A()fx00lim()xf定义 4 若 在某种趋势下以 为极限,则称函数 为该趋势下的无穷小量.()fx第 4 页（共 18 页）3 极限的定理应用函数极限的定理定理 1 （极限的四则运算）若 及 存在,0lim()xf0li()xg则 （1） 0 00li() ;xfg（2） 0 00li()li()xxf:（3） （此时需 ）00()l
7、imli()xxfgg0lim()xg推论 若 存在, 为常数,则 .0li()xfC00li()li()xxfCf定理 2 （夹逼定理）若 ,且存在 （或 ）,当00li()xfgAX(或 ; )时, 成立,则0xX;X()()fxhgx.0lim()xhAlilim(lixxxf注： 前面指出数列极限为函数极限的一个特例,所以它们的定理也大致相同.4 求极限的方法4.1 用极限定义求极限用极限定义求极限适用于一般证明题,只需根据要求求出符合要求的 N即可,但有时遇到特殊情况,需要分类讨论.例 1 证明 .21lim343xx证明 ,确定不等式02由不等式左边项可知当 时,x22215105
8、()343(4)34xxx又因为 , 5(2)x22()(所以当 时, ,只要使 ,即 ,不等式成立,得21343x25x:1x1证.第 5 页（共 18 页）例 2 证明 , .1limnna0a证明 （1）当 时,有 , ,要使不等式1n(1)a1na成立,解得 ,取 ,于是l(1)ln(1)aN, , ,有 ,得证.0ln()N1na（2）当 时, , ,变为常数数列,得证 .1aN1na（3）当 时,另 ,故 ,有0b得 ,111nnnab0Nln(1)b, ,有l()N,即 , ,得证.11nnab1limnna01a综上所述结论成立.4.2 利用极限四则运算求极限极限的运算法则在前
9、面已经提到,为了更好运用它,通常需要对函数进行转化,拆分,化简,因此应该对一些常用变形,化简方法有一定了解.例 3 求极限 .01limxxx解 0011lilix x xx0 00222li 1lilim1x xx 例 4 求极限 .30tanslimix第 6 页（共 18 页）解 232 2000tansi1cos1coslimllimininxxxx:20001colililicossxxx:4.3 利用函数连续性求极限求连续函数 在其定义域的一点 的极限,由连续定义有 ()falim()(lim)x xafff于是求连续函数 在连续点 的极限就化为函数 在点 的函数值.()f例 5
10、求极限 .sinilxaa解 原式 2coi sinsin222limlimcolimcoxa xaxaxasinsi=licosl l1222xaxaxa :4.4 利用两个重要极限求极限两个重要极限为： , .0sinlm1x1lixxe运用这两个极限仍然要对原函数进行化简,替换,使其变成这两个重要极限的形式,而且这两个极限有很多变化的形式,具体问题要灵活运用.幂指函数定理 设函数 , ,若()gxyf0)flim()0,li(),fxAgxB（1） 若 是全不为 的常数,则 .,AB0()ligxBA推论:若 ,则 .1,li()1()mfgxfe（2） 若 , 或 , ,则 .0B()
11、lim()lnlixffe（3） 若 , , 则 .0AB()li()ligxgxffe例 6 求极限 .32lim()5xx第 7 页（共 18 页）解 令 3322lim()li155xxx2(),()53xfgx因 , 故li()lixxfg13lim()xe例 7 求极限 .0licos)xx解 因为 ,lim(1x001li(cos1)li2x xx 所以 20licos)xe例 8 求极限 . li(ln)2(1)lnlxxx解 原式 m)()nx1212li()lnlliml)l()1xxx xx 10e:4.5 用等价无穷小求极限定义 若 , 与 为无穷小量 ,且 ,则称 与0
12、x()x0()li1x()x为等价无穷小（当 ）,记为 .()x0():在计算极限的过程中,每个无穷小量均可用其等价无穷小量来代替,通常我们总是用幂函数形式的无穷小量来代替与它等价的,较复杂的无穷小量.为此,必须熟记几个常用的等价无穷小.以下为常用的几个：（当 ）x21sin,ta,rcsin,arct,cos,ln()x xxx1log()(1) 0,1lxbxeaa例 9 求极限 .32im(x解 3 32li1)lim(1)()x xxxx 原 式 2li()x:例 10 求极限 .40(sini)snlmxx第 8 页（共 18 页）解 4 220 0 0(sini)sn(sini)(
13、sini)lmlmlm3x x xxxx220 01coi)co(1i)li li36x x4.6 用夹逼定理求极限夹逼定理已在前面给出,这种方法适用于一般证明题与个别计算题.例 11 证明 .0lim1x解 证明 考虑 当 时,01x11xxx 当-1 0 时 , ,即 1x因为 ,由夹逼定理得 ,得证. lim()x0limx例 12 求极限 .10linnxd解 因为 ,所以 , ,11nx1100nnxdx因此 0lim0nnd4.7 运用洛必达法则求极限定义 若 ,则称 为 型不定式（若00li()lim()xxfg0()lixfg0,则称为 型不定式）.00lim()lixxfg法
14、则 1 若 （1） 为 型不定式；0()lixf0（2）存在 ,使得 , 且在 上 ；0()fg(,)x00(,)x0(xg（3） 存在,则 也存在,且 .0()limxfg0()limxf00()()limlixxffg（当 为 型不定式时,条件 2改为 , ,且在 上()lixf ()f()a(,)第 9 页（共 18 页）；当 时也可作类似改动 ）0)(xg法则 2 若（1） 为 型不定式；0()limxfg（2） ,使得当时, , 可导且对于 中0()f0(,)x00(,)x的一切 , ；x（3） 存在,则 也存在,且 .0()limxfg0()limxfg00()()limlixxf
15、fg（对于 时的 型不定式,可效仿法则 1做相应改动）运用洛必达法则应注意：（1）首先判定所求极限是否为不定式.（2）若是需判明类型,当其为 或 型不定式,且满足法则 1或法则 2时可使用洛必达法0则,若不属于这两种类型,必须进行转化,视具体情况定.例 13 求极限 .203sin()lmxtd解 令 ,由于 ,运用洛必达法则有ut224i(),sin,(0)xx原式2 403501sini1lil()2xxxd例 14 求极限 .40cos)ln(ta)limix x解 原式224 20 00sec1 1l(t)ln(1ta)tanli imlim4x x xxx0tan(t)li41x4.
16、8 运用泰勒公式求极限泰勒公式能将一些函数化为最简单的多项式,又由于其展开式的唯一性,也可借助已知函数的展开式,求出一些复合函数的展开式,因此泰勒公式为我们提供了非常方便的工具.泰勒公式的证明不再详细赘述,以下给出几个常用初等函数在 的展开式：0x21()!nx nxeox()第 10 页（共 18 页）21ln(1)()()nxxo(0)x322si!()!nnx2221co11()!()!nnxo (0)x2()() nx 例 15 求极限 .2301lim(ln)x x解 ,由泰勒展开公式得2lnll()l()21l2x2323311()2xxxxo故 231lnxx33323()1121oxxx得 230lim(l)x30()limx例 16 求极限 .21liln()x解 由泰勒展开式有 22211l()()ooxxx于是原式 2 221lim()lim(x xo4.9 利用定积分求极限定积分概念 设函数 在闭区间 有定义,在 内任意插入 个分点：()fxab,ab1n, 令 ,使 此分法记为 ,121,nx0ab121,nxxT将 分成 个小区间: ,ab,1,2, 1,knx x第 个小区间 的长记为 , 在第 个小区间k1,k1kkxk
