1、2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值,1.离散型随机变量的均值及其性质(1)离散型随机变量的均值或数学期望:一般地,若离散型随机变量X的分布列为均值或数学期望E(X)=_.数学期望的含义:反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,平均水平,(2)均值的性质:若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,Y也是随机变量,E(aX+b)=_.2.两点分布、二项分布的均值(1)两点分布:若X服从两点分布,则E(X)=_.(2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=_.,aE(X)+b,p,np,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)
2、随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化.()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.()(3)若随机变量的数学期望E()=3,则E(4-5)=7.(),【解析】(1)错误.随机变量的均值是常数,其不随X的变化而变化.(2)错误.随机变量的均值是常数,而样本的平均值,随样本的不同而变化.(3)正确.E()=3,则E(4-5)=4E()-5=12-5=7.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若随机变量的分布列为则的数学期望E()=.(2)设随机变量XB(16,p),且E(X)=4,则p=.(3)(2014上海高二检测)设口袋中有黑球、白球共7个,
3、从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为 ,则口袋中白球的个数为.,【解析】(1)由题意可知m=0.5,故的数学期望E()=00.2+10.3+20.5=1.3.答案:1.3(2)若随机变量XB(16,p),且E(X)=4,则16p=4,所以p= .答案:,(3)设口袋中有白球n个,由题意知口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,取到白球的概率是 ,因为每一次取到白球的概率是一个定值,且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果,所以符合二项分布,所以2 ,所以n=3.答案:3,【要点探究】知识点 离散型随机变量的均值及其性质1.对均值概念的四点说明(1)均值的含义:均值是离散型随机变
4、量的一个重要特征数,反映或刻画的是离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值的来源:均值不是通过一次或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值.,(3)均值与平均数的区别:均值是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数.(4)均值的单位:随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.,2.对公式E(aX+b)=aE(X)+b的四点说明(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于
5、这个常数与随机变量均值的乘积.(4)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),即两个随机变量和的均值等于均值的和.,3.离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系,【微思考】根据离散型随机变量均值的定义思考,对于一般的离散型随机变量,若要求出它的均值,需要确定的量有哪些?提示:需要确定两个量,一是离散型随机变量的所有取值,另一个是每一个离散型随机变量取值所对应的概率.,【即时练】一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目的期望为()A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4【解析】选C.由题意知=0,1,2,3,因为当=0时,表
6、示前三次都没射中,第四次还要射击,但结果不计,所以P(=0)=0.43,因为当=1时,表示前两次都没射中,第三次射中,所以P(=1)=0.60.42,因为当=2时,表示第一次没射中,第二次射中,所以P(=2)=0.60.4,因为当=3时,表示第一次射中,所以P(=3)=0.6,所以E()=00.43+10.60.42+20.60.4+30.6=2.376.,【题型示范】类型一 求离散型随机变量的均值【典例1】(1)已知随机变量X的分布列如下表,则E(2X+5)=()A.1.32 B.2.64 C.6.32 D.7.64,(2)(2014浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和
7、n个蓝球(m3,n3)，从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则( )A.p1p2,E(1)E(2)C.p1p2,E(1)E(2) D.p1p2,E(1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大,【补偿训练】(2013海淀高二检测)某公司准备将100万元资金投入代理销售业务,现有A,B两个项目可供选择:投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的分布列如下表所示:且X1的均值E(X1)=12.,投资B项目一年后获得的利润X2(万
8、元)与B项目产品价格的调整有关,B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1-p.经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示:,(1)求a,b的值.(2)求X2的分布列.(3)若E(X1) E(X2),则选择投资B项目,求此时p的取值范围.,【解析】(1)由题意得:解得:a=0.5,b=0.1.(2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.P(X2=4.12)=(1-p)1-(1-p)=p(1-p),P(X2=11.76)=p1-(1-p)+(1-p)(1-p)=p2+(
9、1-p)2,P(X2=20.40)=p(1-p).所以X2的分布列为:,(3)由(2)可得:E(X2)=4.12p(1-p)+11.76p2+(1-p)2+20.40p(1-p)=-p2+p+11.76.因为E(X1)E(X2),所以12-p2+p+11.76.所以0.4p0.6.当选择投资B项目时,p的取值范围是(0.4,0.6).,【易错误区】误判的所有可能取值致错【典例】某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.则这名同学回答这三个问题的总得分的数学期
10、望为.,【解析】的可能取值为-300，-100，100，300.P(=-300)=0.23=0.008，P(=-100)=30.220.8=0.096，P(=100)=30.20.82=0.384，P(=300)=0.83=0.512，所以的分布列为根据的分布列，可得的期望E()=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512=180.答案：180,【常见误区】,【防范措施】注意题设信息的提取合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误.如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读.,【类题试解】已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.则X的数学期望E(X)=.,【解析】X的可能取值有：3，4，5，6.故X的分布列为故所求X的数学期望E(X)= .答案：,
