1、课堂探究探究一 任意等分已知线段将已知线段 AB 分成 n 等份的步骤：(1)作射线 AC(与 AB 不共线)；(2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取 AD1D 1D2D 2D3D n1 Dn；(3)连接 DnB；(4)分别过点 D1，D 2，D 3，D n2 ，D n1 作 DnB 的平行线，分别交 AB 于点A1，A 2，A n2 ，A n1 ，则点 A1，A 2，A n2 ，A n 1 将线段 AB 分成 n 等份【典型例题 1】如图所示，已知线段 AB，求作线段 AB 的五等分点，并予以证明思路分析：利用平行线等分线段定理来作图解：(1)作射线 AC；(2)在射线 AC 上以任
2、意取定的长度顺次截取 AD1D 1D2D 2D3D 3D4D 4D5；(3)连接 D5B；(4)分别过 D1， D2，D 3，D 4 作 D5B 的平行线 D1A1，D 2A2， D3A3，D 4A4，分别交 AB 于点 A1， A2，A 3， A4，则点 A1，A 2，A 3，A 4 将线段 AB 五等分证明：过点 A 作 MND 5B.则 MND 4A4D 3A3D 2A2D 1A1D 5B.AD 1D 1D2 D2D3D 3D4D 4D5，AA 1A 1A2A 2A3A 3A4A 4B.点 A1，A 2，A 3，A 4 就是所求的线段 AB 的五等分点规律小结 本题是利用平行线等分线段定
3、理求已知线段的等分点，在等分已知线段时注意这类方法的运用探究二 证明线段相等平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时，要先构造线段的中点【典型例题 2】在 ABCD 中， E 和 F 分别是边 BC 和 AD 的中点，BF 和 DE 分别交AC 于 P，Q 两点求证：APPQQC.思路分析：根据条件先证四边形 BEDF 是平行四边形，得出 BFDE .再过 A，C 分别作直线 a，b，使 abBFDE ，利用平行线等分线段定理即可得证证明：四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 BC 边，AD 的中点，BE DF，四边形 BEDF 是平行四边形，BFDE.分
4、别过 A，C 作直线 a，b，使 abBF DE .aBFDE ，AFFD，APPQ .又bDEBF ，CEEB，PQQC，APPQ QC.点评 本题在证出 BFDE 后利用平行线等分线段定理，也可用推论 1 来证明探究三 三角形中位线性质的应用如果已知条件中出现了中点，往往利用三角形中位线的性质解决问题，辅助线在几何证明中起着非常重要的作用，而作不同的辅助线，可以得到不同的解题思路【典型例题 3】如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，E 为 AD 的中点，EF BC ，求证：BC2EF.思路分析：过 A 作 BC 的平行线，交 DC 于点 G，利用平行四边形的性质，可得AGBC ，只需再利用
5、三角形中位线证 AG2EF 即可证明：过 A 作 BC 的平行线，交 DC 于点 G.因为 ABDC，AGBC，所以四边形 ABCG 为平行四边形所以 BCAG.又 EFBC，所以 EFAG.又 E 为 AD 的中点，所以 F 为 DG 的中点所以 AG2EF ，即 BC2EF .方法技巧 本题也可以用平行线等分线段定理来证明探究四 易错辨析易错点：构建平行线的方式不合理【典型例题 4】如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，BA， CD 的延长线分别与 EF 的延长线交于点 M，N，求证：BMECNE.错解：连接 BD，过 F 作 FGAB 交 BD 于 G.过 E 作 EGCD 交 BD 于 G.GFBM，GECD，且 E，F 分别为 BC，AD 的中点，又ABCD，GFGE .GEFGFE.GFBM，GFEBME.又GECN，GEFCNE.BME CNE.错因分析：在证明过程中没有说明 FGAB 与 EGCD 的点 G 是同一个点，不够严谨，导致出错正解：连接 BD，取 BD 的中点 G，连接 GE，GF.在ABD 中，G ，F 分别是 BD，DA 的中点，GF AB，GFBM .12同理可证：GE CD，GECN.12ABCD，GFGE ， GEFGFE.GFBM，GFEBME.GECN，GEFCNE.BME CNE.
