1、整合提升知识网络 化参 数 方 程 与 普 通 方 程 互 程渐 开 线 与 摆 线 的 参 数 方直 线 的 参 数 方 程圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程特 殊 曲 线 的 参 数 方 程参 数 方 程 的 定 义参 数 方 程知识回顾1.直线 (t 是参数).sin,co0tyx2.圆 (是参数).i,R3.椭圆中心在(0,0) (0t)(t是参数).tbyaxsin,co中心在(x 0,y0) (0t)(t是参数).ti,04.双曲线 (是参数).tan,secbyx5.抛物线 (t 是参数).pt2,6.渐开线 (t 是参数).)cos(in,ittayx7.摆线 (t 是参数).
2、)1(,t典例精讲【例 1】 过点 P(2,-2)作直线交椭圆 =1 于 A,B 两点,求 AB 中点 M 的轨迹方程.1625yx解:设 M(x0,y0),直线的倾斜角为 ,则直线的参数方程为 (t 为参数).sin,co0tyx代入椭圆方程 16(x0+tcos)2+25(y0+tsin)2-1625=0 (16cos2+25sin2)t2+(32cosx0+50siny0)t+16x02+25y02-1625=0,由于(x 0,y0)为中点,t 1+t2=0,即 32x0cos+50y0sin=0 32x0+50y0 =0,cosink= .cosin0xy代入 32x0+50y0 =0
3、 32(x-1)2+50(y+1)2=82 =1.22541)(6)(22yx各个击破类题演练 1过点 P(1,1)作直线 l 交椭圆 =1 于 A,B 两点,若 P 为 AB 中点,求直线 l 的方程.4162yx解:设直线 l 的倾斜角为 ,则 l 的参数方程为 (t 为参数）.sin1,cotyx将其代入椭圆方程（tcos+1) 2+4(tsin+1)2-16=0,得(cos 2+4sin2)t2+2(cos+4sin)t-11=0.因为 P（1,1）为 AB 的中点，t 1+t2=0，即 cos+4sin=0. =tan=k=- .cosin41则所求直线 l 的方程为 x+4y-5=
4、0.变式提升 1过点 P（2，1）作直线 l 交曲线 xy=1 于 A,B 两点,求 AB 中点 M 的轨迹方程.解:设 AB 中点 M(x0,y0),l 的倾斜角为 ,则 l 的参数方程为(t 为参数),sin,co0tyx代入 xy=1,即(tcos+x 0)(tsin+y0)=1t2sincos+(y0cos+x0sin)t+x0y0-1=0.由于 M(x0,y0)为弦中点,则 t1+t2=0.y 0cos+x0sin=0 y0+x0 =0.cosin将 =tan=k= 代入,则 y0+x0 =0 2xy+x-2y=0 为所求.cosin20x21x【例 2】 已知圆系的方程为 x2+y
5、2-2acosx-2asiny=0(a0).(1)求圆系圆心的轨迹方程;(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.解:(1)将圆系方程配方:(x-acos) 2+(y-asin)2=a2.所以圆心的轨迹的参数方程为 (为参数).sin,coayx消去 ,得 x2+y2=a2.(2)两圆公共弦所在直线方程由方程组 . ,0sin2co22ayxyx求得 2axcos+2aysin-a2=0,圆 x2+y2=a2 圆心为(0,0),弦心距 d=.sin4co22aa定圆的弦心距为定值,则弦长为定值,这个定值为 d= a.3422a温馨提示题干中的“圆系” 的含义是指当参数 变化时的一系列圆
6、,这也是参数方程的一种形式.类题演练 2如图,圆 x2+y2=r2 的弦 AB 垂直于 x 轴,P 为 AB 上一点,且|AP|PB|=a 2(ar)为定值,求点 P 的轨迹方程.解:设 A(rcos,rsin),则点 B(rcos,-rsin),P(x,y).ABx 轴,x=rcos,|AP|=|rsin-y|,|PB|=|y+rsin|.|AP|PB|=|(rsin-y)(rsin+y)|=a 2 |y2-r2sin2|=a2,|y|rsin|,r 2sin2-y2=a2.y 2+a2=r2sin2.又 x=rcos,x 2+y2+a2=r2 x2+y2=r2-a2.变式提升 2抛物线 y
7、2=2px,一组平行弦的斜率为 k,求弦中点的轨迹方程.解:设中点 M(x0,y0),平行弦倾斜角为 ,则平行弦所在直线的参数方程为 (tsin,co0tyx为参数, =k).cosin代入抛物线方程有(tsin+y 0)2-2p(tcos+x0)=0t2sin2+2(y0sin-pcos)t+y02-2px0=0.M(x 0,y0)为弦中点,t 1+t2=0,即 y0sin-pcos=0.y= ,将 y= 代入 y2=2px,得 =2px,x= .kp2kp2ky= 且 x 为一条射线.2【例 3】 过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点(AB 不与对称轴垂直),AB 的垂直平分
8、线交对称轴于 S,求证:|FS|= |AB|.21解:设抛物线方程为 y2=2px(p0),AB 的倾斜角为 ( ),2则直线 AB 的参数方程是 (t 为参数).sin,cotypx代入抛物线方程:t 2sin2-2p( +tcos)=0 t2sin2-2ptcos-p2=0.|AB|=|t1-t2|= .2242121 sinisinco4)( pptt 又如图,|FP|= |t1+t2|= ,sin|co|在 Rt PSF 中,|FS|= ,2i|pPF|FS|= |AB|.21类题演练 3点 A,B 在椭圆 =1 上,O 为原点,OAOB,求证: 为定值.2byax 21OBA解:设A
9、Ox=,OA=t, 则BOx=+ ,设 OB=t,则 OA,OB 所在直线方程分别为 即),2sin(,co,sictyxtyx.cos,intyx分别代入椭圆方程中,得 =1.22sincobtat ,222sinco1batOA同理, .222citB 222222 cossinios11 batOA =定值.2ba【例 4】 过点 P(2,2)作直线 l 被两平行线 x+y+1=0,x+y-1=0 截得的线段长为 2,求 l 的方程.解:设 l 的倾斜角为 ,则 l 的方程为 (t 为参数 ).sin2,cotyx分别代入方程,得 tcos+2+tsin+2+1=0,t1= ;ci5tc
10、os+2+tsin+2-1=0,t2= ,很明显 t1,t2 符号相同,则|t 1-t2|=| -cosin3 cosin5|=2.cosin3 =2.sin+cos=1.由于 0,|i|=0 或 = ,得两直线方程为 x=2 或 y=2.2类题演练 4过原点作直线 l,交直线 2x-y-1=0 于 A,2x+y+3=0 于 B,若原点为线段 AB 的中点,求 l 的方程.解:设 l 的倾斜角为 ,则 l 的参数方程为 (t 为参数 ).sin,cotyx将方程分别代入两直线方程中,2tcos-tsin=1 得 t1= ,sinc22tcos+tsin+3=0,t2= .sinco3O(0,0)为 AB 中点,t 1+t2=0.=0 4cos=4sin.sinco21ik=tan=1.所求 l 的方程为 y=x.变式提升直线系方程为 xcos+ysin=2,圆的参数方程为 (为参数),则直线与圆的位置sin2,coyx关系为( )A.相交不过圆心降机 B.相交且经过圆心C.相切 D.相离解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos+ysin-2=0的距离等于 d= =2 等于半12径,所以直线与圆相切.答案:C
