1、单元整合知识网络专题探究专题一 曲线的参数方程与普通方程的互化(1)将直线的参数方程转化为普通方程，需要消去参数 t，其一般步骤为：将参数 t 用变量 x 表示；将 t 代入 y 的表达式；整理得到 x，y 的关系，即为所求的普通方程(2)参数方程与普通方程的区别与联系曲线的普通方程 F(x，y) 0 是相对参数方程而言，它反映了坐标变量 x 与 y 之间的直接联系；而参数方程 xf( t)，yg(t)(t 为参数)是通过参数 t 反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多 1；曲线的参数方程中，有三个变数和两个方程，变数的个数比方程的个数多
2、1，从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的(3)参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式参数方程 普通方程，可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式【应用 1】已知圆(xr) 2y 2r 2(r0)，点 M 在圆上，O 为原点，以MOx 为参数，那么圆的参数方程为( )A cos,inyrB (1cos),inxryC ,(si)rD 1co 2,inxy解析：如图，设圆心为 O，连接 OM.O 为圆心， MOx2. cos ,in.xry答案：D【应用 2】求在下列条件下普通方程 4x2y 216 对应的参数方程(1)设 y4sin ， 为参数；(2)以过点 A(0
3、,4)的直线的斜率 k 为参数提示：对于(1)，可以直接把 y4sin 代入已知方程，解方程求出 x 即可；对于(2) ，可寻找斜率 k 与此方程任一点的坐标之间的关系来求解解：(1)把 y4sin 代入方程，得到 4x216sin 216，于是4x21616sin 216cos 2.所以 x2cos .由于参数 的任意性，可取 x2cos ，因此 4x2y 216 的参数方程是x2cos ，y4sin ( 为参数)(2)设 M(x，y)是曲线 4x2y 216 上异于 A 的任一点，则 k(x0) ，将 ykx4y 4x代入方程，得 x(4k 2)x8k 0.所以 (k 为参数) ，28,4
4、16xy易知 A(0,4)也适合此方程另有一点 .0,4xy所以所求的参数方程为 (k 为参数) 和28,416xy0,4.xy专题二 曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量 x，y 之间的间接关系其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义利用参数来表示曲线的方程时，要充分注意参数的取值范围常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等【应用 1】求点 M0(0,2)到双曲线 x2y 21 的最小距离( 即双曲线上任一点 M 与点 M0距离的最小值)解：把双曲线方程化为参数方程( 为参数)sec,tanxy设双曲线上的动点为 M(sec ，tan )，则|M0M|2 sec2
5、(tan 2) 2tan 21tan 24tan 42tan 24tan 52(tan 1) 2 3，当 tan 10，即 tan 1 时，|M 0M|2 取最小值 3，此时有 |M0M| ，3即点 M0 到双曲线的最小距离为 .3【应用 2】椭圆 1 上有 P，Q 两点，O 为椭圆中心，OP，OQ 的斜率分别为x216 y24kOP， kOQ，且 kOPkOQ .14(1)求|OP| 2|OQ |2 的值；(2)求线段 PQ 中点的轨迹方程提示：利用椭圆的参数方程，设出 P，Q 的坐标，再依题意求解解：(1)设 P(4cos 1,2sin 1)，Q (4cos 2，2sin 2)因为 kOPkOQ ，14所以 .2sin 14cos 12sin 24cos 2 14所以 cos(1 2)0.所以 1 2k (kZ)2所以 sin21cos 22，cos 21 sin22.所以|OP| 2|OQ| 216cos 214sin 2116cos 224sin 2220，即|OP| 2| OQ|220.(2)设 PQ 的中点为 (x，y )，则 12(cos),in.所以 y 2(cos 1cos 2)2(sin 1sin 2)222cos( 1 2)2.x24所以 PQ 中点的轨迹方程为 1.x28 y22
