1、等差数列的前n项和,陈 军,123100？,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,七大奇迹之一：泰姬陵,高斯(Carl Friedrich Gauss)德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家，有“数学王子”之称。高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：
2、“计算123100？”。这可难为初学算术的,学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来。他利用算术级数（等差级数）的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：1100，299，398，4952，5051，而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是：101505050。,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得结果：,等差数列an的前n项和：,你可否用类似的方法推导出等差数列的前n项和？,思考,（1）,（2）,(1)+(2)得到：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an-1+a2)+(an+a1) =n(a1+an),或,120,7260,
3、9,22,2,10,2550,500,填写下列表格：,练习,或,例1.求集合中元素的个数，并求这些元素的和例2.已知一个等差数列的前 10 项和是 310，前20 项和是 1220，由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？,例3.一个项数为26的等差数列的前四项和为 21，末四项和为67，求 S26例4.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数及中间的一项。,结论：等差数列的奇数项(偶数项)组成的数列仍是 等差数列若等差数列an共有2n+1项，则必有 S奇-S偶 = a中， S奇+S偶 = (2n+1) a中若等差数列an共有2n项，则必有 S偶- S奇 = nd,例5.
4、已知等差数列an中，Sm = 10， S2m = 30 ，则 S3m = ( ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 70,结论：等差数列的依次m项之和构成的数列仍为等差数列即 等差数列an中，Sm， S2m-Sm， S3m-S2m 成等差数列,练习：,设等差数列的前n项和为 Sn，且 S10=100，S100=10，求 S110,例6.已知数列an的通项公式是 an = 2n-48，nN*，求 Sn 达到最小时的 n 值,例7.已知数列an的前n项和 Sn = 25n-2n2求证：an是等差数列求数列|an|的前n项和 Tn,例8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数及中间的一项。,结论：等差数列的奇数项(偶数项)组成的数列仍是 等差数列若等差数列an共有2n+1项，则必有 S奇-S偶 = a中， S奇+S偶 = (2n+1) a中若等差数列an共有2n项，则必有 S偶- S奇 = nd,
