1、等差数列的前n项和的性质及应用 等差数列的前n项和公式 形式1 形式2 复习回顾 1 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 则Sn An2 Bn 令 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法1 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法2 由S3 S11得 d 2 0 当n 7时 Sn取最大值49 则Sn的图象如图所示 又S
2、3 S11 所以图象的对称轴为 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法3 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 an 13 n 1 2 2n 15 由 得 a7 a8 0 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法4 由S3 S11得 当n 7时 Sn取最大值49 a4 a5 a6 a11 0 而a4 a11 a5 a10 a6 a9 a7 a8 又d 20 a7 0 a8 0 求等差数列前n项的最大 小 的方法 方法1 由利
3、用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值 方法2 利用an的符号 当a1 0 d0时 数列前面有若干项为负 此时所有负项的和为Sn的最小值 其n的值由an 0且an 1 0求得 练习 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使此数列的前n项和最大 则n的值为 A 12B 13C 12或13D 14 C 2 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 若Sm p Sp m m p 则Sm p 性质3 若Sm Sp m p 则Sp m 性质4 1 若项数为偶数2n 则S2n n
4、a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d 0 nd m p 性质4 1 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S偶 S奇 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 性质5 为等差数列 an 例1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 A 63B 45C 36D 27 例2 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 A 85B 145C 110
5、D 90 B A 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例3 一个等差数列的前10项的和为100 前100项的和为10 则它的前110项的和为 110 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例5 一个等差数列的前12项的和为354 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32 27 则公差为 例6 09宁夏 等差数列 an 的前n项的和为Sn 已知am 1 am 1 am2 0 S2m 1 38 则m 例7 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a3 a15 5 10 153 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例8 设等差数列的前n项和为Sn 已知a3 12
6、 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 Sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 等差数列 an 前n项和的性质 2 Sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时Sn有最大值 Sn有最大值 练习1已知等差数列25 21 19 的前n项和为Sn 求使得Sn最大的序号n的值 练习2 求集合的元素个数 并求这些元素的和 练习3 已知在等差数列 an 中 a10 23 a25 22 Sn为其前n项和 1 问该数列从第几项开始为负 2 求S10 3 求使Sn 0的最小的正整数n 4 求 a1 a2 a3 a20 的值 课堂小结 1 根据等差
7、数列前n项和 求通项公式 2 结合二次函数图象和性质求的最值 3 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 若Sm p Sp m m p 则Sm p 性质3 若Sm Sp m p 则Sp m 性质4 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d 0 nd m p 性质4 1 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S偶 S奇 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 性质5 为等差数列 an 作业 P46A组5T B组2T 4T
