1、1课时达标检测（四十二） 抛 物 线小题对点练点点落实对点练(一) 抛物线的定义及其应用1已知 AB 是抛物线 y28 x 的一条焦点弦，| AB|16，则 AB 中点 C 的横坐标是( )A3 B4 C6 D8解析：选 C 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| AB| x1 x2 p16，又 p4，所以x1 x212，所以点 C 的横坐标是 6.x1 x222设抛物线 y212 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 1，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A3 B4 C7 D13解析：选 B 依题意，点 P 到该抛物线的焦点的距离等于点 P 到其准线 x3 的距离，即等于 31
2、4.3若抛物线 y22 x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为( )A. B.(14， 22) (14， 1)C. D.(12， 22) (12， 1)解析：选 A 设抛物线的顶点为 O，焦点为 F， P(xP， yP)，由抛物线的定义知，点 P 到准线的距离即为点 P 到焦点的距离，所以| PO| PF|，过点 P 作 PM OF 于点 M(图略)，则M 为 OF 的中点，所以 xP ，代入 y22 x，得 yP ，所以 P .14 22 (14， 22)4已知抛物线 y22 px 的焦点 F 与双曲线 1 的右焦点重合，抛物线的准线与x27 y29x 轴的交点为
3、 K，点 A 在抛物线上，且| AK| |AF|，则 AFK 的面积为( )2A4 B8 C16 D32解析：选 D 由题可知抛物线焦点坐标为 F(4,0)过点 A 作直线 AA垂直于抛物线的准线，垂足为 A，根据抛物线定义知，| AA| AF|，在 AA K 中，| AK| |AA|，2故 KAA45，所以直线 AK 的倾斜角为 45，直线 AK 的方程为 y x4，代入抛物线方程 y216 x 得 y216( y4)，即 y216 y640，解得 y8， x4.所以 AFK 为直角三角形，故 AFK 的面积为 8832.1225已知 P 为抛物线 y24 x 上一个动点， Q 为圆 x2(
4、 y4) 21 上一个动点，那么点P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A2 1 B2 25 5C. 1 D. 217 17解析：选 C 由抛物线定义可知，点 P 到准线的距离可转化为其到焦点 F 的距离，即求| PQ| PF|的最小值设圆的圆心为点 C，因为| PQ| PC|1，所以|PQ| PF| PC|1| PF| FC|1 1，故选 C.176抛物线 y22 px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p_.解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为 ，则 1，解得p2 p2p2.答案：27(2018河南三门峡模拟)过抛物线
5、y24 x 的焦点 F 且倾斜角为 的直线交抛物线 4于 A， B 两点，| FB| FA|_.解析：抛物线 y24 x 的焦点 F(1,0)，准线为 x1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 可得 x26 x10，解得 x132 ， x232 ，2 2由抛物线的定义可得| FA| x1142 ，| FB| x2142 ，则2 2|FB| FA|4 .2答案：4 2对点练(二) 抛物线的标准方程及性质1抛物线 y22 px(p0)的准线截圆 x2 y22 y10 所得弦长为 2，则 p( )A1 B2 C4 D6解析：选 B 抛物线 y22 px(p0)的准线为 x
6、，而圆化成标准方程为 x2( y1)p222，圆心 M(0,1)，半径 r ，圆心到准线的距离为 ，所以 2 2( )2，解得2p2 (p2) (22) 2p2.2设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y24 x 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正方向的夹角为 60，则 OAF 的面积为( )A. B2 32C. D13解析：选 C 过点 A 作 AD x 轴于点 D，令| FD| m，则| FA|2 m,2 m2 m， m2，所3以| AD|2 ，所以 S OAF 12 .312 3 33直线 l 过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F，且与 C 相交于 A， B 两
7、点，且 AB 的中点 M 的坐标为(3,2)，则抛物线 C 的方程为( )A y22 x 或 y24 x B y24 x 或 y28 xC y26 x 或 y28 x D y22 x 或 y28 x解析：选 B 由题可得直线 l 的方程为 y k ，与抛物线方程 C： y22 px(p0)联(xp2)立，得 k2x2 k2px2 px 0. AB 的中点为 M(3,2)，Error!解得 k1 或k2p24k2， p2 或 p4，抛物线 C 的方程为 y24 x 或 y28 x.4已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2， y0)，若点 M到该抛物线焦点的距离为
8、3，则| OM|( )A2 B22 3C4 D2 5解析：选 B 设抛物线方程为 y22 px(p0)，则点 M(2，2 )，焦点为 .点p (p2， 0)M 到该抛物线焦点的距离为 3，2 3，解得 p2.| OM| 2 .p2 4 8 35某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为 x22 py(p0)，依题意知，点 P(10，4)在抛物线上，1002 p(4)，2 p25，即抛物线方程为 x225 y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6、2、2、6.由图知， AB
9、 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为(2， yB)，代入 x225 y，得yB ，425| AB|4 3.84，即最长支柱的长为 3.84 米425答案：3.846抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于 A， B 两点，x23 y23若 ABF 为等边三角形，则 p_.解析：在等边三角形 ABF 中， AB 边上的高为 p， p，AB2 334所以 B .又因为点 B 在双曲线上，故 1，解得 p6.(33p， p2) p233 p243答案：67已知 F1， F2分别是双曲线 3x2 y23 a2(a0)的左、右焦点， P 是抛物线 y28 ax 与双曲线的一个
10、交点，若| PF1| PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程得 1，则 F1(2 a,0)， F2(2a,0)x2a2 y23a2抛物线的准线为 x2 a，联立Error!得 x3 a(x 舍去)，即点 P 的横坐标为 3a.a3而由Error! 得| PF2|6 a，| PF2|3 a2 a6 a，得 a1，抛物线的准线方程为 x2.答案： x2大题综合练迁移贯通1已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B， OB 的中点为 M.
11、(1)求抛物线的方程；(2)若过点 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标解：(1)抛物线 y22 px 的准线为 x ，于是 4 5， p2，抛物线方程为p2 p2y24 x.(2)由(1)知点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)， kFA . MN FA， kMN .43 34 FA 的方程为 y (x1)， MN 的方程为 y x2，43 34联立Error! 解方程组得 x ， y ，85 45点 N 的坐标为 .(85， 45)2已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1， y1)，2B(x2
12、， y2)(x1x2)两点，且| AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 ，求 的值OC OA OB 5解：(1)由题意得直线 AB 的方程为 y2 ，2(xp2)与 y22 px 联立，消去 y 有 4x25 px p20，所以 x1 x2 .5p4由抛物线定义得| AB| x1 x2 p p9，5p4所以 p4，从而该抛物线的方程为 y28 x.(2)由(1)得 4x25 px p20，即 x25 x40，则 x11， x24，于是 y12 ， y24 ，2 2从而 A(1，2 )， B(4,4 )2 2设 C(x3， y3)，则 ( x3， y3
13、)(1，2 ) (4，4 )OC 2 2(4 1,4 2 )2 2又 y 8 x3，所以2 (2 1) 28(4 1)，23 2整理得(2 1) 24 1，解得 0 或 2.故 的值为 0 或 2.3.如图，已知抛物线 C： y22 px(p0)，焦点为 F，过点 G(p,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A， M 两点，设 A(x1， y1)， M(x2， y2)(1)若 y1y28，求抛物线 C 的方程；(2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线BG 交抛物线 C 于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值解：(1)设直线 AM 的方程为 x my p，代入 y22 px 得 y22 mpy2 p20，则 y1y22 p28，得 p2.抛物线 C 的方程为 y24 x.(2)证明：设 B(x3， y3)， N(x4， y4)由(1)可知 y3y42 p2， y1y3 p2.又直线 AB 的斜率 kAB ，y3 y1x3 x1 2py1 y3直线 MN 的斜率 kMN ，y4 y2x4 x2 2py2 y4 2.kABkMN y2 y4y1 y3 2p2y1 2p2y3y1 y3 2p2y1y3 y1 y3y1 y3故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值
