1、页 1 第2019 届全国高考高三复习阶段检测试题(五)数学（文） （解析版）(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号直线与方程 1,13圆与方程 2,14直线与圆、圆与圆的位置关系 3,17椭圆 4,8,15双曲线 6,9,11抛物线 5,10,12直线与圆锥曲线位置关系 18,19圆锥曲线的综合 7,16,20,21,22一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若直线 2mx+y+6=0 与直线(m-3)x-y+7=0 平行,则 m 的值为( B )(A)-1 (B)1(C)1 或-1 (D)3解析:由题 2m(-1)-1(m-3
2、)=0,解得 m=1,故选 B.2.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a 等于( A )(A)- (B)- (C) (D)2解析:由题意,知圆心为(1,4),则有 =1,解得 a=- ,故选 A.3.已知圆 O1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆 O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,bR),那么两圆的位置关系是( C )页 2 第(A)内含 (B)内切 (C)相交 (D)外切解析:圆 O1的圆心为(a,b),半径为 2,圆 O2的圆心为(a+1,b+2),半径为 1,两圆的圆心距为 = ,因为 10),因为抛物线上一点 P(
3、1,m)到焦点的距离为 3,所以点 P 到准线的距离为 3,所以 1+ =3,解得 p=4,所以抛物线的方程为 y2=8x.故选 D.6.已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,OAF是边长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( D )(A) - =1 (B) - =1(C) -y2=1 (D)x2- =1页 3 第解析:由题意得解得 a2=1,b2=3,双曲线方程为 x2- =1.故选 D.7.若直线 l:mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1的交点个数为( D )(A)0 (B)至多有
4、一个(C)1 (D)2解析:因为直线 l:mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,所以 2,即 0)的离心率为 ,P 是该双曲线上的点,P 在该双曲线两条渐近线上的射影分别是 A,B,则|PA|PB|的值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:双曲线 - =1(m0)的离心率为 ,可得 e2= = = ,解得 m=1.页 5 第则双曲线的方程为 -y2=1,渐近线方程为 x2y=0.设 P(s,t),可得 s2-4t2=4,由题意可得|PA|PB|= = = .12.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A,B
5、 两点,则 的值等于( C )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解析:因为抛物线 y2=2px(p0),焦点坐标为( ,0),直线 l 的方程为 y-0= (x- ),即 x-y- =0,设直线与抛物线的交点为 A(x1,y1), B(x2,y2),联立方程组得 12x2-20px+3p2=0,解得 x1= ,x2= ,所以|AF|=x 1+ =2p,|BF|=x2+ = ,所以|AF|BF|=31,所以 的值为 3,故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.一条直线经过点 A(2,- ),并且它的倾斜角等于直线 y= x 的倾斜角的 2 倍,则这条直线
6、的一般式方程是 . 解析:因为直线 y= x 的倾斜角为 30,所以所求直线的倾斜角为 60,即斜率 k=tan 60= .页 6 第又该直线过点 A(2,- ),故所求直线为 y- (- )= (x-2),即 x-y-3 =0.答案: x-y-3 =014.已知圆 O:x2+y2=1.圆 O与圆 O 关于直线 x+y-2=0 对称,则圆 O的方程是 .解析:设圆 O的圆心(a,b),因为圆 O的圆心与圆 Ox2+y2=1 的圆心关于直线:x+y-2=0 对称,所以解得 a=2,b=2;又圆的半径为 1,则所求圆的方程为(x-2) 2+(y-2)2=1.答案:(x-2) 2+(y-2)2=11
7、5.设椭圆 E: + =1(ab0)的右顶点为 A,右焦点为 F,B 为椭圆 E 上在第二象限内的点,O 为坐标原点,直线 BO 交椭圆 E 于另一点 C,若直线 BF 平分线段 AC,则椭圆 E 的离心率是 . 解析:设 AC 的中点为 M,连接 OM,AB,则 OM 为ABC 的中位线,于是OFMAFB,= ,即 = ,解得 e= = .答案:16.已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率等于 2,其两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,S AOB = ,则 p= . 页 7 第解析:由题意可得 e= =2,则 = = ,双曲线的渐近线为 y
8、= x,令 x=- 可得 y= p,据此可得 SOAB = p = p2= ,解得 p=1.答案:1三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.(1)求圆 C 的方程;(2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF的长?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆 C 的圆心为 C(a,b),则 得 或由于点 C(a,b)在第二象限,故 a0,所以圆 C 的方程为(x+2) 2+(y-
9、2)2=8.(2)存在.假设存在点 Q 符合要求,设 Q(x,y),则有解之得 x= 或 x=0(舍去),则 y= .所以存在点 Q( , ),使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长.18.(本小题满分 12 分)已知椭圆 : + =1(ab0)经过点 M( , ),且离心率为 .页 8 第(1)求椭圆 的方程;(2)设点 M 在 x 轴上的射影为点 N,过点 N 的直线与椭圆 相交于 A,B 两点,且+3 =0,求直线的方程.解:(1)由已知可得 + =1, = ,解得 a=2,b=1,所以椭圆 的方程为 +y2=1.(2)由已知 N 的坐标为( ,0),当直线斜率为 0 时
10、,直线为 x 轴,易知 +3 =0 不成立.当直线斜率不为 0 时,设直线的方程为 x=my+ ,代入 +y2=1,整理得,(4+m 2)y2+2my-1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2= ,由 +3 =0,得 y2=-3y1,由解得 m= .所以直线的方程为 x= y+ ,即 y= (x- ).19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率 e= ,点 A 为椭圆上一点,F 1AF2=60,且 = .页 9 第(1)求椭圆 C 的方程;(2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相
11、交于点Q.问:在 x 轴上是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由 e= 可得 a2=4c2,= |AF1|AF2|sin 60= ,可得|AF 1|AF2|=4,在F 1AF2中,由余弦定理可得|F1A|2+|F2A|2-2|F1A|F2A|cos 60=4c2,又|AF 1|+|AF2|=2a,可得 a2-c2=3,联立得 a2=4,c2=1,所以 b2=3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.(2)存在.设点 P(x0,y0),由得(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由题意知 =64k 2m2-4(4
12、k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0,所以 x0=- =- ,y0= ,所以 P(- , ).由 得 Q(4,4k+m),假设存在点 M,坐标为(x 1,0),页 10 第则 =(- -x1, ), =(4-x1,4k+m).因为以 PQ 为直径的圆恒过 M 点,所以 =0,即- + -4x1+ + +3=0,所以(4x 1-4) + -4x1+3=0 对任意 k,m 都成立.则 解得 x1=1, 故存在定点 M(1,0)符合题意.20.(本小题满分 12 分)如图所示,抛物线 C:x2=2py(p0),其焦点为 F,C 上的一点 M(4,m)满足|MF|=4.(1)求
13、抛物线 C 的标准方程;(2)过点 E(-1,0)作不经过原点的两条直线 EA,EB 分别与抛物线 C 和圆 F:x2+(y-2)2=4 相切于点 A,B,试判断直线 AB 是否经过焦点 F.解:(1)抛物线 C 的准线方程为 y=- ,所以 MF=m+ =4,又因为 16=2pm,所以 p2-8p+16=0,得 p=4,所以抛物线 C 的标准方程为 x2=8y.(2)设 EA:x=ky-1,联立 消去 x 得 k2y2-(2k+8)y+1=0,因为 EA 与 C 相切,所以 =(2k+8) 2-4k2=0,即 k=-2,页 11 第所以 yA= ,xA=-2,得 A(-2, ),设 EB:x
14、=ty-1,联立 消去 x 得(t 2+1)y2-(2t+4)y+1=0,因为 EB 与圆 F 相切,所以 =(2t+4) 2-4(t2+1)=0,即 t=- ,所以 yB= ,xB=- ,得 B(- , ),所以直线 AB 的斜率 kAB= ,可得直线 AB 的方程为 y= x+2,经过焦点 F(0,2).21.(本小题满分 12 分)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且到原点的距离为 2 .(1)求抛物线 E 的方程;(2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆,必与直线
15、 GB 相切.(1)解:由题意可得解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.(2)证明:设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=2 ,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 ).由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 (x-1).由 得 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x= ,从而 B( ,- ).又 G(-1,0),页 12 第故直线 GA 的方程为 2 x-3y+2 =0,直线 GB 的方程为 2 x+3y+2 =0,从而 r= = .所以点 F 到直线 GB 的距离为 d
16、= = =r.故以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.22.(本小题满分 12 分)已知圆 C1的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x-y-2 =0 相切. (1)求圆 C1的标准方程;(2)设点 A 为圆上一动点,ANx 轴于点 N,若动点 Q 满足 =m +(1-m) (其中 m 为非零常数),试求动点 Q 的轨迹方程;(3)在(2)的结论下,当 m= 时,得到动点 Q 的轨迹为曲线 C,与 l1垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B,D 两点,求OBD 面积的最大值.解:(1)设圆的半径为 r,圆心到直线 l1的距离为 d,则 d= =2.因为 r=d=2,圆
17、心在坐标原点 O,所以圆 C1的方程为 x2+y2=4. (2)设动点 Q(x,y),A(x0,y0),因为 ANx 轴于点 N,所以 N(x0,0),由题意知,(x,y)=m(x 0,y0)+(1-m)(x0,0),解得 即页 13 第将点 A(x, y)代入圆 C1的方程 x2+y2=4,得动点 Q 的轨迹方程为 + =1.(3)当 m= 时,曲线 C 的方程为 + =1,设直线 l 的方程为 y=-x+b,直线 l 与椭圆 + =1 交于点 B(x1,y1),D (x2,y2),联立方程得 7x2-8bx+4b2-12=0.因为 =48(7-b 2)0,解得 b27,且 x1+x2= ,x1x2= .又因为点 O 到直线 l 的距离 d1= ,|BD|= = .所以 SOBD = = ,当且仅当 b2=7-b2,即 b2= 时取到最大值.所以OBD 面积的最大值为 .
