1、页 1 第2019 届全国高考高三复习阶段检测试题(三)数学（文） （解析版）(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号数列的概念、证明 11,16,19等差、等比数列及应用 3,5,9,14,17数列求和 7,10,19不等式的性质及解法 1,2,6线性规划问题 4,15基本不等式及应用 8,13,21,22综合问题 12,18,20一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知 a,b,cR,那么下列命题中正确的是( C )(A)若 ab,则 ac2bc2(B)若 ,则 ab(C)若 a3b3且 ab(D)若 a2b2且 ab0,则
2、0,b ,正确.故选 C.2.已知 2a+10 的解集是( C )(A)x|x5a 或 x-a (D)x|5a0 可化为(x-5a)(x+a)0;页 2 第因为方程(x-5a)(x+a)=0 的两根为 x1=5a,x2=-a,且 2a+1-a.故选 C.3.等差数列a n的前 11 项和 S11=88,则 a3+a6+a9等于( B )(A)18 (B)24(C)30 (D)32解析:S 11= =11a6,所以 a6=8,a3+a6+a9=3a6=24.故选 B.4.已知实数 x,y 满足 则 z=x+y 的取值范围为( B )(A)0,3 (B)2,7(C)3,7 (D)2,0解析:画出不
3、等式组表示的可行域如图,结合图形可知当动直线 z=x+y 分别经过点 A(4,3),B(1,1)时,在 y 轴上的截距分别最大、最小,且 zmax=4+3=7,zmin=1+1=2,所以 2z7.故选 B.5.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”,其大意为:有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达了目的地,问此人第二天走了( B )(A)76 里 (B)96 里页 3 第(C)146 里 (D)188 里解析:由题意可得
4、:此人每天所走的路程构成等比数列a n, 其中 q= ,S6=378,则 =378,解得 a1=192,所以 a2=192 =96.故选 B.6.已知 abc 且 a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是( C )(A)abbc (B)acbc(C)abac (D)a|b|b|c解析:因为 abc 且 a+b+c=0,所以 a0,cac.故选 C.7.设a n是公差为 2 的等差数列,b n= ,若b n为等比数列,则 b1+b2+b3+b4+b5等于( B )(A)142 (B)124 (C)128 (D)144解析:因为a n是公差为 2 的等差数列,b n= ,所以 an=a1+(n-1)
5、2=a1+2n-2.因为b n为等比数列,所以 =b1b3,所以(a 4)2=a2a8,所以(a 1+8-2)2=(a1+4-2)(a1+16-2),解得 a1=2.所以 bn= =2+22n-2=2n+1,b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124.故选 B.8.设 a0,b2,且 a+b=3,则 + 的最小值是 ( D )(A)6 (B)2页 4 第(C)4 (D)3+2解析: + =( + )(a+b-2)=3+ + 3+2 =3+2 ,当且仅当 a= (b-2)=2- 时取等号.故选 D.9.已知a n为无穷等比数列,且公比 q1,记 Sn为a n的前 n 项和
6、,则下面结论正确的是( C )(A)a3a2 (B)a1+a20(C) 是递增数列 (D)Sn存在最小值解析:根据题意可知,a n为无穷等比数列,且公比 q1,但无法知道数列的首项是大于零还是小于零,故 A 错;a 1+a2=a1(1+q),因无法确定首项的符号,因此 B 错;而恒大于零,故 =q21 ,所以 是递增数列,C 正确;同理首项符号无法确定,因此 Sn不一定存在最小值.故选 C.10.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则 Sn等于( D )(A)2n-1 (B)2n-1(C)3n-1 (D) (3n-1)解析:因为 a1=1,2Sn=an+1-1
7、,所以 2Sn-1=an-1,n2,两式相减有 2Sn-2Sn-1=an+1-an,所以 an+1=3an,又 a2=2S1+1=2a1+1=3,则数列a n是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 Sn= = (3n-1).故选 D.页 5 第11.数列a n满足 a1=2,an+1= (an0),则 an等于( D )(A)10n-2 (B)10n-1 (C)1 (D)解析:因为数列a n满足 a1=2,an+1= (an0), 所以 log2an+1=2log2an =2,所以log 2an是公比为 2 的等比数列,所以 log2an=log2a12n-1得 an= .故选 D.12.
8、已知等差数列a n的公差 d0,且 a1,a3,a13成等比数列,若 a1=1,Sn是数列a n的前 n 项和,则 (nN *)的最小值为( A )(A) (B)(C)2 -2 (D)3解析:因为 a1=1,a1,a3,a13成等比数列,所以(1+2d) 2=1+12d,得 d=2 或 d=0(舍去),所以 an=2n-1,所以 Sn= =n2, = =(n+1)+ -2,n+1=2 时原式取得最小值为 .故选 A.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知 a0,b0,且 2a+b=4,则 的最小值是 . 解析:因为 2a+b=42 ,当且仅当 b=2a=2 时
9、等号成立,所以 ab2, ,即 的最小值为 .答案:页 6 第14.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a3+a7=-6,则当 Sn取得最小值时,n 等于 . 解析:由题设 得 d=2,则 Sn=n2+(-11-1)n=n2-12n,所以当 n=6 时,S n=n2-12n 最小.答案:615.设 x,y 满足约束条件 若目标函数 z=x+y 的最小值为- ,则实数 a 的值为 . 解析:作出不等式组对应的平面区域图(阴影部分 ABO).由 z=x+y 得 y=-x+z,平移直线 y=-x+z,由图象可知当直线 y=-x+z 经过点 B 时,直线 y=-x+z 截距最小,
10、此时z 最小,由解得 即 B( ,- ),同时 B 也在直线 3x-y-a=0 上,即 3 -(- )-a=0,则 a=2.答案:216.已知数列a n中,a 1=1,Sn为数列a n的前 n 项和,且当 n2 时,有 =1成立,则 S2 017= . 页 7 第解析:因为当 n2 时,有 =1 成立,所以 2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn- ,整理得 - = .所以数列 是等差数列,公差为 ,首项为 1.所以 =1+ (n-1)= ,解得 Sn= .所以 S2 017= = .答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知等差数列a n满足
11、 a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求a n的通项公式;(2)设等比数列b n满足 b2=a3,b3=a7,问:b 6与数列a n的第几项相等?解:(1)设等差数列a n的公差为 d.则 d=a4-a3=2,所以 2a1+d=10,故 a1=4.所以 an=4+2(n-1)=2n+2.(2)设等比数列b n的公比为 q.因为 b2=a3=8,b3=a7=16,所以 q=2,b1=4.所以 b6=426-1=128.由 128=2n+2,得 n=63.所以 b6与数列a n的第 63 项相等.18.(本小题满分 12 分)页 8 第已知公差 d0 的等差数列a n满足,a 1=2,且 a1
12、,a2,a5成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)记 Sn为数列a n的前 n 项和,求使得 Sn60n+800 成立的最小正整数 n 的值.解:(1)依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d) 2=2(2+4d).所以 d2-4d=0,解得 d=4(d=0 舍去).所以 an=2+(n-1)4=4n-2.(2)因为 an=4n-2,所以 Sn= =2n2.令 2n260n+800,即 n2-30n-4000,解得 n40 或 n .解:(1)设等差数列a n的公差为 d,依 a2+a3=8,a5=3a2,有解得 a1=1,d=2,从而a n的通项公式为 an=2n-1
13、,nN *.(2)因为 bn= = = - ,所以 Sn=( - )+( - )+( - )=1- ,令 1- ,解得 n1 008,故 n 的最小值为 1 009.21.(本小题满分 12 分)某商品进货价每件 50 元,据市场调查,当销售价格(每件 x 元)在50,80时,每天页 10 第售出的件数为 P= ,每天获得的利润为 y(元).(1)写出关于 x 的函数 y 的表达式;(2)若想每天获得的利润最多,问售价应定为每件多少元?解:(1)每件售价 x 元,则每件利润为(x-50)元.所以利润为 y=(x-50) (50x80).(2)由(1)y= = 当 x=50 时,y=0.当 500,所以 x = ,又 x2+( + )=(x2+ )+ = ,页 11 第所以 x ( )= ,即(x )max= .(2)令 t= 0,则 x=t2+1,所以 y= = .当 t=0,即 x=1 时,y=0;当 t0,即 x1 时,y= ,因为 t+ 2 =4(当且仅当 t=2 时取等号),所以 y= ,即 y 的最大值为 (当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值).
