1、- 1 -2019届全国新高考数学（文）过关检测（二） （解析版）(第二章)(120分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设 f(log2x)=2x(x0),则 f(2)的值是 ( )A.128 B.16 C.8 D.256【解析】选 B.令 t=log2x,则 x=2t,所以 f(t)= ,f(2)=24=16.2.已知函数 f(x)=x+cos x,则 f = ( )A. B. C.1- D.【解析】选 A.因为 f(x)=1-sin x,所以 f =1-sin =1- = .3.下列函数中,既是
2、偶函数又存在零点的是 ( )A.y=cos x B.y=sin xC.y=ln x D.y=x2+1【解析】选 A.由选项可知,B,C 项均不是偶函数,故排除 B,C项,A,D 项是偶函数,但 D项与 x轴没有交点,即 D项的函数不存在零点.4.函数 y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间为 ( )A.(-,-3) B.(-,-1)C.(1,+) D.(-3,-1)- 2 -【解析】选 A.由 x2+2x-30 得原函数的定义域为(-,-3)(1,+),函数y=log2(x2+2x-3)为复合函数,则单调递减区间即为函数 y=x2+2x-3 的递减区间,即(-,-3).5.(2018重庆
3、模拟)设 a= ,b= ,c=ln ,则 ( )A.c0,b0,c1,ln aln b,ab,据此可得:c0,b0,cb,因此有 abc.6.设 f(x)= 则不等式 f(x)2的解集为 ( )A.(1,2)(3,+) B.( ,+)C.(1,2)( ,+) D.(1,2)【解析】选 C. 或 或1 .- 3 -7.函数 f(x)= 的图象大致是 ( )【解析】选 B.由条件知 f(x)=-f(-x),函数为奇函数,由定义域得 x1,排除 C;当00,排除 D;当 x1时,f(x)bc 且 f(a)=f(b)=f(c),则实数 m的取值范围是 ( )A.(0,3) B.(-,3)C.(3,+)
4、 D.(-3,3)【解析】选 B.因为 f(x)=x3-3x2+mx+n,所以 f(x)=3x 2-6x+m,要使存在三个实数a,b,c满足,abc 且 f(a)=f(b)=f(c),即该函数有两个极值点,也就是说 f(x)=3x2-6x+m 有两个不同的零点,所以(-6) 2-12m0,所以 m3时,x 2+y2的取值范围是 ( )A.(3,7) B.(9,25)C.(13,49) D.(9,49)【解析】选 C.因为函数 y=f(x-1)的图象关于点(1, 0)对称,所以函数 y=f(x)的图象关于点(0, 0)对称,即函数 y=f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),又因为 f(
5、x)在 R 上为增函数,且 f(x2-6x+21)+f(y2-8y)3 时,M 表示以(3,4)为圆心,2 为半径的右半圆内的任意一点,则 x2+y2 表示在半圆内任取一点,与原点的距离的平方,结合圆的知识可知:130 时,g(x)=f(x)-x= 0,函数 g(x)=f(x)-x 在 R 上只有一个零点,所以不正确.11.已知 m=loga +loga3,n=logb6-logb3,若 mb1 D.0b1 或 01)相切时的切点为(x 1,ln x1),则k= = x 1=ea= ,又 y=ax过点(4,ln 4)时 a= ,如图可知满足条件的实数 a 的取值范围是 .- 8 -答案: 二、
6、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=log 0.5(-x)+x2,则 f(2)=_.【解析】因为当 x(-,0)时,f(x)=log 0.5(-x)+x2,所以,f(-2)=log 0.52+(-2)2 =-1+4=3,又因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(2)=-3.答案:-314.(2018茂名模拟)若函数 f(x)=(x+m)ex(mR)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为 2e,则函数 f(x)的极小值是_. 【解析】因为 f(x)=ex+(x+
7、m)ex=(x+m+1)ex,所以由导数的几何意义可得切线的斜率k=(m+2)e=2em=0, 故 f(x)=xex,令 f(x)=(x+1)ex 可得 x=-1,则函数的极小值为 f(-1)=-e-1.答案:-15.若函数 f(x)=2|x-a|(aR)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在m,+)上单调递增,则实数 m的最小值等于_. 【解析】由 f(1+x)=f(1-x)得函数 f(x)关于 x=1对称,故 a=1,则 f(x)=2|x-1|,由复合函数单调性得 f(x)在1,+)上单调递增,故 m1,所以实数 m 的最小值等于 1.答案:1- 9 -16.已知函数 f(x)=
8、2x3+ax2+bx+1的导数为 f(x),且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称,f(1)=0.下列命题正确的有_(将所有正确命题的序号都填上). a=3,b=12;函数的单调增区间是(-,-2),(1,+),单调减区间是(-2,1);函数的极大值是 f(-2)=21,极小值是 f(1)=-6;函数的零点有 3个.【解析】由已知,f(x)=6x 2+2ax+b,即 f(x)=6 +b- ,所以- =- ,即 a=3.又 f(1)=0,即 6+2a+b=0 得 b=-12,不正确.由上可知,f(x)=2x 3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),
9、令 f(x)=0即 6(x-1)(x+2)=0 解得 x=-2 或 x=1,由 f(x)0得函数的单调增区间是(-,-2),(1,+);由 f(x)m恒成立,求实数 m的取值范围.【解析】(1) 因 为函数 f(x)=log2 是奇函数 ,所以 f(-x)=-f(x),即 log2 =-log2 ,即log2 =log2 ,解上式得:a=1.令 0,解得 x1.所以函数的定义域为x|x1(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当 x1 时,x+12,所以 log2(1+x)log22=1,因为 x(1,+),f(x)+log2(x-1)m 恒成立,所以 m1,所以 m 的取值范
10、围是(-,1.18.(12分)设函数 f(x)=ax2+ln x.(1)若函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率是-1,求 a.(2)已知 a0,a0;当 x 时,f(x)0 时,x2-(a+1)x+aln x0恒成立,设 g(x)= x2-(a+1)x+aln x,则g(x)=x-(a+1)+ = ,() 当 a0时,由 g(x)0得函数 g(x)的单调增区间为(1,+),此时 g(x)min=g(1)=-a- 0,得 a- .() 当 00得函数 g(x)的单调增区间为(0,a),(1,+),此时 g(1)=-a- 1 时,由 g(x)0得函数 g(x)的单调增区间为(0,
11、1),(a,+),此时 g(1)=-a- 0,所以 f(x)在(0,+) 上单调递增;当-10得 x2 ,所以 x 或 x0,故 f(x)在(0,+) 上是增函数;当 1+a0,即 a-1 时,x(0,1+a)时,f(x)0;故 f(x)在(0,1+a)上是减函数,在(1+a,+)上是增函数 .(2)当 a-1时,存在 x01,e,使得 f(x0) ;综上所述,a 的取值范围为 (-,-2) .【变式备选】已知函数 f(x)=ln x+ax+2(aR)在 x= 时取得极值.(1)求 a的值.(2)若 F(x)=x 2-3x+2-f(x)(0)有唯一零点,求 的值.【解析】(1) 依 题意,得
12、f(x)= +a,f =2+a=0,所以 a=-2.经检验,a=-2 满足题意 .(2)由(1)知 f(x)=ln x-2x+2,则 F(x)=x2-ln x-x.所以 F(x)=2x- -1= .令 t(x)=2x2-x-1,因为 0,所以 =1+80.方程 2x2-x-1=0 有两个异号的实根,设为 x10,因为 x0,所以 x1应舍去.所以 F(x)在(0,x 2)上单调递 减,在(x 2,+)上单调递增,且当 x0 时,F(x)+,当 x+时,- 17 -F(x)+.所以当 x=x2时,F(x 2)=0,F(x)取得最小值 F(x2).因为 F(x)有唯一零点,所以 F(x2)=0.所
13、以 即所以 F(x2)= -ln x2-x2= + -ln x2-x2= -ln x2- =0,令 p(x)= -ln x- ,则 p(x)=- - 0).所以 p(x)在 (0,+)上单调递减.注意到 p(1)=0,所以 x2=1.所以 =1.22.(12分)(2018深圳模拟)已知函数 f(x)=ex-(a-1)x+b.(1)求函数 f(x)的极小值.(2)若函数 f(x)有两个零点 x1,x2,求证:a +1.【解析】(1)f(x)=e x-a+1.当 a1时,f(x)0,f(x)在 R 上为增函数,函数 f(x)无极小值;当 a1 时,令 f(x)=0,解得 x=ln(a-1).若 x(-,ln(a-1),则 f(x)0,f(x)单调递增.- 18 -故函数 f(x)的极小值为 f(ln(a-1)=(a-1)1-ln(a-1)+b.(2)由题 可知-(a-1)x1+b=0, -(a-1)x2+b=0, -得 - -(a-1)(x1-x2)=0,所以 a-1= .要证 a +1,即证 x1,只需证 0,即证 t,令 F(t)= - -t=( )t- -t,只需证 F(t)0,因为 F(t)= + -1= -10,所以 F(t)在(0,+)内为增函数,故 F(t)F(0)=0,所以 成立.所以原命题成立.- 19 -
