1、概率与线性代数初步 主讲人 第2章相似矩阵与二次型 主要内容 一 相似矩阵二 特征值和特征向量三 矩阵可对角化的条件 一 相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系 这种关系具有如下性质 1 自反性对任意方阵A 都有A A 2 对称性若A B 则B A 3 传递性若A B B C 则A C 相似矩阵之间有如下性质 性质1相似矩阵的行列式的值相等 性质2相似矩阵或者都可逆 或者都不可逆 且在可逆的情形 逆矩阵也相似 性质3若A B 则An Bn n为自然数 性质3在求矩阵的正整数幂时非常有用 二 特征值和特征向量 由上例可见 若方阵A相似于对角方阵B 亦即存在可逆矩阵U 使得B U 1AU 而B为对角方
2、阵 则计算A的正整数幂就较简单 那么 怎样的矩阵A能相似于对角矩阵 又如何求对角矩阵B及可逆矩阵U 若对于给定的n阶方阵A 存在可逆方阵U 使得 即AU UB 其中 记U的列向量为 即 由于AU UB 即 由此得 从而 这些关系是矩阵U的列向量与B的主对角线上的元素所必须满足的 定义2 2 特征值与特征向量 设A是n阶方阵 若数与非零的列向量满足 则称为A的特征值 称为A的属于的特征向量 如何求A的特征值与特征向量呢 即 所以 的非零解 从而必须 这说明是齐次线性方程组 行列式 总之 A的全部特征值就是特征方程的全部的根 实根和虚根 而对每一个特征值 齐次线性方程组的一切非零解就是属于它的全部
3、特征向量 这样 我们就得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法 的全部根 即A的特征值 步骤 并写成列向量的形式 则 不全为0 例2求A的全部特征值和特征向量 其中 解 由 得两个特征根 其一般解写成向量形式为 由此得知 属于特征值 的全部特征向量为 得 解 由 得两个特征根 复特征根 利用初等行变换变换其系数矩阵 为任意复数 从而得到一个基础解系 说明 若限于实数范围内 例3讨论的矩阵A没有特征值 因而也就没有特征向量 相似矩阵还有如下性质 性质4相似矩阵有相同的特征多项式和特征值 三 矩阵可对角化的条件 可对角化 若A相似于对角方阵 则说A可对角化 定理2 1n阶方阵A可对角化的充要条件是
4、A有n个线性无关的特征向量 矩阵的对角化用于当矩阵阶数较高 m较大时 计算Am 即有可逆矩阵U 使得 若 这样 于是 解 由定理2 1 问题转化为该矩阵是否存在三个线性无关的特征向量 由 知A有三重特征值 将代入齐次线性方程组 可见 系数矩阵的秩为2 而未知数的个数为3 故基础解系只含有1个线性无关的解 因而A不能对角化 定理2 2方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关 推论2 3若n阶方阵A有n个互异的特征值 则A可对角化 例5将方阵 对角化 解 首先求特征值 由 得三个互异的特征值 由定理2 2的推论 A是可以对角化的 于是 求特征向量 对系数矩阵施行初等行变换 对系数矩阵施行初等行变换
5、 最后 令 则 线性无关 向量组 2 6 该定理告诉我们 判别A可否对角化的最一般方法是 求出A的全部不同特征值 阶数n 则可对角化 否则 不能对角化 将所有这些基础解系依次排列起来得到向量组 2 6 如果这组向量的个数等于A的 解 由 得两个特征值1 二重 和 2 单重 对于 方程组 成为 通解为 其中 由此可得一个基础解系 可任意取 的系数矩阵并作初等行变换 由此得 于是一个基础解系为 最后 当然 答案也可写成 等其他形式 小结 1 相似矩阵的概念及其性质2 特征值与特征向量的概念 重点 3 矩阵可对角化的条件 难点 作业 书面作业 71页习题2 1第4 9 11题预习第二章第2节实二次型 大家辛苦了 谢谢 下节课再见
