1、设异面直线a b的夹角为 cos 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得 1求直线和直线所成的角 一 用向量法求角 2 求直线和平面所成的角 设直线BA与平面 的夹角为 A g1 3 法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设a l b的平面角为q q g 两个平面的法向量在二面角内同时指向或背离 设a l b的平面角为q q g 两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背离 二 向量法求距离 1 已知A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 其中dA B表示A与B两点间的距离 这就是空间两点间的距离公式 2 点到平面的距离 已知AB为平面a的一条斜线段 则A到平面a
2、的距离 B 3 直线和它平行平面的距离 已知直线a 平面 求a到平面 的距离 在a和平面 上分别任取一点A和B 直线a和它平行平面 的距离为 4 两个平行平面间的距离 A B分别是a 上的任意点 只需在两条异面直线a b上 分别任取一点A B 设与a b的方向向量都垂直的 a b之间的距离 3 求两条异面直线的距离 1 例1 棱长为1的正方形ABCD A1B1C1D1中 E F G K分别是棱AD AA1 A1B1 D1D的中点 求A1D与CK的夹角 求点B到平面EFG的距离 二面角G EF D1的大小 用三角函数表示 DD1与平面EFG所成的角 用三角函数表示 求A1D与CK之间的距离 解
3、以D为坐标原点 交基底建立直角坐标系 A1 1 0 1 D 0 0 0 C 0 1 0 1 0 1 DA1与CK的夹角为 求点B到平面EFG的距离 设面EGF的法向量 0 令x 1 得 点B到平面EFG 二面角G EF D1的大小 用三角函数表示 由 知面GEF的法向量 而面DAD1A1法向量 在二面角G EF D1内 二面角G EF D1为 DD1与平面EFG所成的角 用三角函数表示 由 知面GEF的法向量 0 0 1 DD1与平面EFG所成的角为 求A1D与CK之间的距离 1 0 1 令x 2 得 A1D与CK之间的距离 例2正四棱柱ABCD A1B1C1D1中底面边长为4 侧棱长为5 P
4、为CC1上的任意一点 求证 BD AP C1P 2 求二面角A B1P B的正切值 证明 以D为坐标原点建立如图所示坐标系 A 4 0 0 B 4 4 0 D 0 0 0 由已知可知P 0 4 z 4 4 z 4 4 0 16 16 0 AP BD C1P 2 求二面角A B1P B的正切值 解 P 0 4 3 B1 4 4 5 4 4 3 4 0 2 令平面APB1的法向量为 令x 2得 而面BCPB1的法向量为 0 1 0 故二面角A B1P B的平面角为 不妨令二面角A B1P B的平面角为 tan 二面角A B1P B的正切值为 例3在三棱锥D ABC中 底面 ABC是等腰直角三角形
5、侧面 DBC是等边三角形 平面DBC 平面ABC AB AC 4 E F分别为BD AD中点 求二面角F CE D的大小 求点B到平面CEF的距离 直线CE与平面ABC所成的角 解 找BC的中点O 连AO DO ABC是等腰三角形 AO BC于O DO BC于O DO 面ABC 故可以以O为坐标原点OA OC OD分别为x y z轴建立如图所示的直角坐标系 设面EFC的法向量 令x 1 因OA 面BCD 故 1 0 0 为面BCD的一个法向量 在二面角F CE D内 二面角F CE D的大小等于 即二面角F CE D的大小为 求点B到平面CEF的距离 解 由 知平面CEF的法向量为 点B到平面CEF的距离 直线CE与平面ABC所成的角 平面ABC的法向量为 直线CE与平面ABC所成的角30
