1、I(此文档为 word 格式，下载后您可任意编辑修改！)浅谈数学归纳法的应用摘 要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运
2、用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳猜想证明”这一探索发现的思维方法。关键词：归纳法，数学归纳法，证明IIthe Application of Mathematical InductionABSTRACTMathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning the test the correctness of the f
3、ormulas is also is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geome
4、tric field, method in middle school mathematics and application in advanced mathematics. To use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use i
5、nductive to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering “induction - guess - proof“ the discovery of thinking method.KEY WORDS: induction method, mathematical induction, proof目 录III1 绪论 .11.1 引言 .11.2 数学归纳法的来源 .12 数学归纳法的概述 .32.1 常用数学证明方法 .32.1.1 演绎法 .
6、32.1.2 归纳法 .32.2 数学归纳法基本原理及其其它形式 .32.2.1 数学归纳法概念 .32.2.2 数学归纳法的基本原理 .42.2.3 数学归纳法的其它形式 .53 数学归纳法的步骤 .63.1 数学归纳法的步骤 .63.2 三个步骤缺一不可 .74 数学归纳法的典型应用 .94.1 证明恒等式 .942 证明不等式 .1043 证明整除问题 .134.4 证明几何问题 .134.5 行列式与矩阵的证明 .145 运用数学归纳法时容易出现的错误分析 .175.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 .175.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 .186 应用数学归纳法时的一些技巧 .1
7、96.1 灵活选取“起点” .196.2 恰当选取“跨度” .206.3 选取合适的假设方式 .206.3.1 以“假设 时成立 ”代替“假设 时成立” .20nknk=6.3.2 以“假设 ， 时成立”代替“假设 时成立” .21=1+7 数学归纳法的地位和作用 .23致 谢 .24参考文献 .25浅谈数学归纳法的应用111 绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“ 时命题成立，那么 时命题也成立”的证明方法。数学归纳法是一种重要k1k且独特的证明方法,对与自然数 有关的命题证明是可行
8、有效的，它使学生了解一种n“化无限为有限”的辩证思维方法，而且它又不是那么直观易懂的，学生在学习数学归纳法的过程中，总会产生一个这样的疑问，在用数学归纳法证明表达式中，证明三步骤是不是真的完整呢， 真仅是纯粹的假设 ,一旦不真,用它去推真，岂不)(kp是“无稽之谈” ，即使推出 真能保证 真吗？如果让学生带着这种疑问去学)1()(n习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的。当然老师会说这是非常完整的,那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢。我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来，可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用，在用数学归纳法证明恒等式时，当然我们会知道这个恒等式肯定是正
9、确的，那么它又是如何被前人计算出来的呢，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢。要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解。1.1 引言数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。论证的第一步是证明命题在 (或 )时成立，这是递推1n0的基础；第二步是假设在 时命题成立，再证明 时命题也成立，这是无knk限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺
10、一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 且 ）结论都正确” 。由这两步可0nN以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。数学归纳法在数学解题中有着广泛的应用，在数学教学中常用在证明下列命题：与自然数 有关的恒等式、不等式、数列、几何、整除性、计数、矩阵等等。n1.2 数学归纳法的来源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，数学家毕达哥拉斯利用点子数2对级数求和问题进行探讨他确信无疑地得出： 2)1(531n毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而作出一般的结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不
11、完全的归纳推。 尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础。 而对于数学归纳法的应用，李文林翻译的美国数学史数学史通论 （第二版）中，J.Z.Katz 教授表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师师莱文.本.热尔森（Levi ben Gerson,1288-1344）在其 1321 年出版的代表作计算技术中也已经“本质上使用了数学归纳法” ，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法及其原理 2。但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494- 1575） ，真正明确数学归纳法证明两步的应
12、该还是 17 世纪的数学家帕斯卡( B. Pascal, 1623 1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。 “数学归纳法”名称则是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用而推广 4。浅谈数学归纳法的应用332 数学归纳法的概述2.1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：2.1.1 演绎法演绎法是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的推理方法。演绎法的特点是它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎法是一种必然的推理，它是一种严格的逻辑证明方法。2.1.2 归纳
13、法归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法 2。不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要。不完全归纳法又可分为枚举归纳法和因果归纳法两
14、类。枚举归纳法是以某个对象的多次重复作为判断根据的归纳方法；因果归纳法归纳法是把一类事物中部分对象的因果关系作为判断的前提而做出一般性猜想的方法 2。完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 。22.2 数学归纳法基本原理及其其它形式2.2.1 数学归纳法概念数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数 有关的命题的一种特殊N陕西科技大学毕业论文 4方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。2.2.2 数学归纳法的基本原理在了解数学归纳法
15、的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数 ,后来数 ,有 必有 ，每一个正整数后面都有一个123正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：(1) 是自然数1(2)每一个确定的自然数 ,都有一个确定的随从 ， 也是自然数aa(3) 非随从，即 1(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由 b一定能推得 a(5)任意一个自然数的集合，如果包含 ，并且假设包含 ，也一定包含 的随1aa从 ,那么这个集合包含所有的自然数。a后来因为把 也作为自然数，所以公理中的 要换成
16、 。0 0其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就有了数学归纳法：设是与正整数有关的数学命题，如果：(1)命题当 时正确，即 正确kn1kn(2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的。数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理，能否完成对与自然数有关命题的无限次论证，即数学归纳法是否可靠，下面我将结合“正整数最小原理” ，即“任何非空正整数集合一定含有最小数”来验证数学归纳法是否正确。命题 1：任何非空正整数集合一定含有最小数。 证明：在这集合里任意取一个数 ,大于 的不必讨论了，我们需要讨论的是那n些不大于 n 的自然数里一定有一个最小的数。应
17、用归纳法，如果 ,它本身就是自然数里的最小的数，如果这集合里没有1n小于 的自然数存在，那么 就是最小的，也不必讨论了，如果有一个,那么由数学归纳法的假设知道集合里不大于 的自然数一定有一个最小的数存在，这个数也就m是原集合里最小的数，即得证。反过来，也可以用这个性质来推出数学归纳法。假设对于某些自然数是不正确的，那么，一定有一个最小的自然数 使这个kn浅谈数学归纳法的应用55命题不正确，也就是，当 的时候，命题正确，而当 的时候，这个命题1kn kn也不正确，这与归纳法的假定是矛盾的。也许从理论上来看，我们有可能还不是很懂得数学归纳法原理的正确性，我们可以从我们生活上的例子比较直观的理解它。
18、例 2.1 从袋子里摸球问题如果袋子里的东西是有限的，总可以把它摸完而得出一个确定的结论，但是，当东西是无穷的，怎么办？如果有这样一个论证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的，也一定是红玻璃球” ，那么，在这样的保证下，只要第一次摸出的确定是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西，全部是红玻璃球” 。上面的道理采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，能够证明第 号命题正确，如果能够证明在第 号命题正确的时候，第 号命题也正确，1k1k那么，这一批命题就全部正确。 2.2.3 数学归纳法的其它形式数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往
19、往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着” ，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性。(1)不一定从 开始，也就是数学归纳法里的两句话，可以改成：如果当1的时候，这个命题是正确的，又从假设当 时，这个命题
20、是正确的，0kn )(0kn可以推出当 时，这个命题也是正确的，那么这个命题 时都正确。这是k 0n第一数学归纳法的“变着” ，也叫做跳跃数学归纳法。例 2.2 求证： 边形 个内角的和等于 ， （ ） 。n)2(3证明：当 时，我们知道三角形三个内角的和是 ，所以当 时，命题是正确3 n的，假设当 时命题也是正确的，设 是 边形的顶点，做)(k 121,kA线段 ，它把这个 边形分成两个图形，一个是 边形 ,另一个是三kA11 k2角形 ,并且 边形内角的和等于后面两个图形的内角和的和，就是2)1()()2( k )12(也就是说，当 时这个命题也是正确的，因此，定理得证。1kn陕西科技大学
21、毕业论文 6第二句话也可以改为“如果当 适合于 时命题正确，那么当 时，nk11kn命题也正确” ，由此同样可以证明对于所有命题都正确。这种属于第二数学归纳法的“变着” 。例 2.3 我们知道，对于任意自然数 ，有 ,反之，若 ，且2113)(nnii0na,有 成立吗？2131)(ninian证明：当 时，由 及 ,得 。命题成立。213a01a假设当 时，命题成立，即 ，kik,2当 时，因为n31213131 )( kkikiki aa )2(又2112131 )()(kikkikiiki aa)32(于是211312kikkaa )4(因为 所以 ii,i )(又因为 ,故01k0)1(12kakk )52(解得或 1ak )(1舍 去k所以 时命题也成立，从而对任意自然数 ，命题成立。n n(3)设 是关于自然数 的命题，若 对无限多个自然数成立；假设 成)(pN)(np )1(kp立可推出 成立，则命题一切自然数 都成立。k总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着” ，这便使得数学归纳法在证题中发挥着重要的作用，除此之外，还有其它其实的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法。
