1、 2017 届 江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考数学（理）试题考试用时：120 分 全卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）z(1)2izizA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合 ， ，则 （ ）230Ax|2|BxABA. B. C. D. (1,0,)(3,4(1,3)3. 已知变量 呈现线性相关关系，回归方程为 ，则变量 是（ ）y1yxyA线性正相关关系 B由回归方程无法判断其正负相关关系 C线性负相关关系 D不存在线性
2、相关关系 4. 若直线 过三角形 内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心）lABC，则“直线 平分三角形 周长”是“直线 平分三角形 面积”的（ ） 条件lABClABCA充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 和实数 ， ， ，输出 ，2N1a2NaA，则（ ）BA + 为 ， ， 的和 1a2NaB 和 分别是 ， ， 中最大的数和最小的数 C 为 ， ， 的算术平均数 212ND 和 分别是 ， ， 中最小的数和最大的数Aaa6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，若不等式()yfxR(,0对任意 恒成立，则实数 的
3、取值范围是（ )(xfa1,2）A B C D1,(,2,(2,7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（ ）36A. B. 232C. D. 3448. 已知实数 满足 ，且 1y，则 的最大值（ ）,xy|12zxyA2 B4 C5 D69. 已知函数 和函数 在区间 上的图像交于()sin)fx()cos)4gx57,4三点，则 的面积是（ ）,BCA. B. C. D.2324252410. 等差数列 的前 项和为 ，若公差 ，则（ ）nanS,0d0)(5958SA B C D78|78|a7|a7a11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之
4、子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。 ”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个侧侧侧3r2rr平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体 ，求图中四分之一圆柱体 和四分之一圆柱体1DCBA 11DACB1BA公共部分的体积 ，若图中正方体的棱长为 2，则 （ ）1VV（在高度 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所h得面积为 ，截得正方体所得面积为 ，截得锥体所得面积为 ， ，1S2S3S21hR）2R3A B
5、68C D8312. 设 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 是双曲线 上2:1(0,)xyCab,PQC关于 轴对称的不同两点，设直线 的斜率分别为 ，则x,APBQ,mn取得最小值时，双曲线 的离心率为（ ）21ln|l|bamCA. B. C. D. 3662二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分,共 20分.13二项式 的展开式中第四项的系数为 6312()x14如右图所示矩形 边长 ，抛物线顶点为边 的中点 ，ABCD1,4AADE且 两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边 围成的封闭区域,BC BC（包含边界上的点）内的概率是 15. 已知向量 满足： ，且 ，若 ，其
6、中 且,ab|1b2acxayb0,xy，则 最小值是 2xy|c16已知锐角 中，内角 所对应的边分别为 ，且满足： ，ABC, ,c2ac，则 的取值范围是 ca EDCBA三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12分）数列 满足 ， na12,5a21nna（1）设 ，证明 是等差数列，并求 的通项公式；nbbnb（2）设 ，求数列 的前 项和 1tancncS18.（本小题满分 12分）2016年 11月 20日-22 日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等
7、）对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取 16名，以下茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于 9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这 16人中随机选取 3人，至多有 1人是“极满意”的概率；（3）以这 16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选 3人，记 表示抽到“极满意”的人数，求 的分布列及数学期望.19.（本小题满分 12分）如图，在棱台 中， 与 分别是棱长为 1与 2的正三角形，平面ABCFEDABC平面 ，四边形 为直角梯形， ，
8、点 为 的重 ,DGABC心， 为 中点， ，N(,0)MR（1）当 时，求证： /平面 ；23GDFN（2）若直线 与 所成角为 ，试求二面角 的C3MBCD余弦值.20.（本小题满分 12分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点 作直线交椭圆 于2:1(03)9xyCb,EFC,AB两点，若 且F20.AEB（1）求椭圆 的方程；C（2）已知圆 为原点，圆 与椭圆O)0()3(:22ryxD交于 两点，点 为椭圆 上一动点，若直线NM,PC与 轴分别交于点 求证： 为常数.Px,SR|OS21.（本小题满分 12分）若 总有 则称 为 与 在 上的一个“严格分界函,xD()(),fxFgx(
9、)Ffx()gD数”.（1）求证： 是 和 在 上的一个“严格分界函数” ；xye12xy(1,0)（2）函数 ，若存在最大整数 使得 在 恒成立，(2)xhMhx(1,0)求 的值.（ 是自然对数的底数， ）M,718e 132.4,.26请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极xoyC2cosinxy点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（）写出曲线 的极坐标方程；（）设点 的极坐标为（ ） ，过点 的直线 与曲线
10、 相交于 两点，若M4,2MC,AB，求 的弦长|2|ABA23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲选修 4-5：不等式选讲设 ()1fxx， （ R）（1）求证： ()2f；（2）若不等式 1bfx对任意非零实数 b恒成立，求 x的取值范围.江西省重点中学协作体 2017届高三第一次联考数学（理科）试卷参考答案一、选择题1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD12.详解：解析：设点 则 ，所以 ，0(,)Pxy0(,)Qxy00,APBQyymknkxaxa即 ，又 ，即 ，所以 ，则20ymnax201b2200()ba2b，令 则221ln|l| ln2
11、|bmabxa，考查函数 ，21l l2abxx 1()ln2f x由 ，知 时 单调递减， 时 单调递减，2(1)xf(0,)(f(,)x(f所以当 时， 取得唯一极小值即为最小值，此时 ，所以()f 21ba162e二、填空题13. 14. 15. 16. 20233116.详解：由 得 ，则22,cosbacbaB2cosaB，所以sinisinoCAB，可化为 ，()sBsin()siA则 ，又 为锐角三角形，所以 ，又 ，所以2,64inibaBA，则 ，所以 ，解得cosbaA2224cosbaa213cos241三、解答题17.解：（1）由 ，得 ，即 ，所21nnaa21()(
12、)1nnaa1nb以 为等差数列，nb且 1()35(分) （2）因为 ，11tanttan()tan1bb8(分)所以 ，1tan(4)t(3)ta1nnc 则 12(分)(4)tS18.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 2(分) （2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有 4人。设 表示所取 3人中有 个人是“极满意” ，至多有 1人是“极满意”记为事件 ，iAi A402)()( 3164210 CAPP6(分) （3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为 ，故依题意416可知，从该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率 . 的可能取值为P0，1，
13、2，3 ； ；6427)3(0(P6427)3(1)(CP； 941)(23C39(分) 所以 的分布列为0123P64276491. E0123075另解：由题可知 ， 所以(,)4B= .12(分)E75.041319.解：（）连 延长交 于 ，AGBCP因为点 为 的重心，所以23又 ，所以 ，所以23AMFMAPF/ ；3(分)GP为 中点， 为 中点, / ,又 / ，NBCNACDF所以 / ，得 四点共面DF/平M面 6(分)（）平面 平面 ， 平面 ，连接 易得ABCE,APBCBDE,P，PE以 为原点， 为 x轴， 为 y轴， 为 z轴建立空间直角坐标系，则 ，设 ，131
14、3(1,0)(,)(0,),(,)(,0)(,)22CDAFBN(,)Mxyz，,AMF(,3)2(,()M(0,1)CD因为 与 所成角为 ，所以 ，NCD22cos6013()()4CDN得 ，210， ，8(分)3(,)42M设平面 的法向量 ，则 ，取 ，BC(,)nabc0nBCM(,32)n平面 的法向量 ，所以二面角 的余弦值D0,1vD12(分)231cosnv20.解：(1)设 ，则 ， ， ， mBFA2mBE6A26mAB3则有 ，解22(6)(36)得 3(分)1， ， ， ，AF5BE4A3B， 22F于是，在 中， ，Rt 20422AE所以 ，所以 ，椭圆 的方程为 .52EF)5(922bC1492yx6(分)(2)由条件可知 、 两点关于 轴对称，设 ， ，则 ，MNx),(1yxM),(0yP),(1yxN， ，所以 ， 14921yx14920yx49212149200直线 的方程为 ，P)(010xx9(分)令 得点 的横坐标 ，同理可得点 的横坐标 .于0yR10yxRS10yxxS是 2101010 yxyOS，9)(9)4(9)4(91 21021021020120 yy所以， 为常数12(分)SR21.解：（1）证明：令 ，()1,xe()xe
