1、第 9 讲 数学归纳法与第二数学归纳法一知识解读：数学归纳法是用于证明与正整数 n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法在数学竞赛中占有很重要的地位1数学归纳法的基本形式（1 ）第一数学归纳法设 )(nP是一个与正整数有关的命题，如果当 0（ N）时， )(nP成立；假设 ,(0k成立，由此推得 1k时， )(nP也成立，那么，根据对一切正整数 n时， )(成立（2 ）第二数学归纳法设 )(P是一个与正整数有关的命题，如果当 0n（ N）时， )(nP成立；假设 ,(0k成立，由此推得 1k时， )(nP也成立，那么，根据对一切正整数 时， )(成立2数学归纳法的其他形式（1 ）跳跃数学归
2、纳法当 ln,3,时， )(,3),2(1lPP 成立，假设 k时 )(成立，由此推得 kn时， n也成立，那么，根据对一切正整数 1时， n成立（2 ）反向数学归纳法设 )(nP是一个与正整数有关的命题，如果 对无限多个正整数 n成立；假设 k时，命题 )(kP成立，则当 1k时命题 )1(kP也成立，那么根据对一切正整数 1时， 成立3应用数学归纳法的技巧（1 ）起点前移：有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 n都成立，但命题本身对0n也成立，而且验证起来比验证 n时容易，因此用验证 0成立代替验证 1n，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，
3、有意前移起点（2 ）起点增多：有些命题在由 kn向 1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点（3 ）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4 ）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“ 假设 kn时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用（5 ）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明5归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的
4、结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法二解题指导：1用数学归纳法证明： 31)21()71(4)( n（ 1,*nN）证明:（1）当 时，左边112，右边 ，不等式显然成立 n34（2）假设 时，不等式成立，即k3112k那么，当 时， 1n 33111 1432 kkk 333 2941 01kk 33324k 当 时，不等式亦成立 1n由（1）、（2）证明知，不等式对一切 都成立*nN2已知对任意 *Nn， 1， 0na且
5、 2213321 )(nnaaa ，求证：an证明:（1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立.13121（2）假设 时，等式成立，即nk233+kk 那么，当 时， 132333211 22 233144kkk 22241kk又 =22121kk 231k 当 时，不等式亦成立 n由（1）、（2）证明知，等式对一切 都成立*nN3如果正整数 n不是 6 的倍数，则 1986n不是 7 的倍数证明提示：1986 除以 7 余 5，所以我们只需要看 5 的 n 次方是不是 7 的倍数即可。从 n=1开始，5n 除以 7 分别余 5,4,6,2,3,1,5,4,.看出这个数列以 6 为周期，所以其实不
6、管正整数是不是 6 的倍数，1986n 都不是 7 的倍数。4设 na,21 都是正数，证明 nnaaa 2121112122121212121 22(),()()()22()kkknnnnmnn kAGNAmaaaaAGmNAG 证 ： 设 ，先 证 对 一 切 成 立 ， 为 此 对 使 用 归 纳 法 ；当 时 ， 有 ： 即 时 ， 成 立 ；假 设 当 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 对 任 意 个 正 数 ， 都 有于 是 当 时 ， 就 有 ：11 11 1112212222222112 2( )( ),kkkkkkkk kkkk kkkaaaaGAm 上 述 推 理 中 ，
7、 前 一 个 不 等 号 得 之 于 归 纳 假 设 ， 后 一 个 不 等 号 得 之 于可 见 时 121121212121121 (),()mkk kk kkkk nNk anaaa ， 不 等 式 也 成 立 ， 所 以 对 一 切 不 等 式 成 立 ；下 面 证 明 ， 如 果 不 等 式 对 任 何 个 正 数 成 立 ， 那 么 对 任 何 个 正 数也 成 立 ， 为 了 利 用 时 的 不 等 式 ， 令 ：于 是 ：在 上 面 不 等 式 得 两 端 同 时 次 方 11 1()(),kkknAGAGNn， 即 得 ：故 可 得 成 立综 合 上 述 两 方 面 ， 由
8、方 向 归 纳 原 理 ， 对 于 任 意 都 成 立 ， 且 从 证 明过 程 可 以 看 出 ， 等 号 当 且 仅 当 个 正 数 全 部 相 等 时 成 立 ；5已知函数 )(xf的定义域为 ,ba，对于区间 ,ba内的任意两数 dc,均有)(21(dfcdcf求证：对于任意 ,21baxn ，均有)()(1)( 221 nn xfxffxxf 改题： 2(2)!0!1,()!(1)0()!2()!21mmnmnnCknk mmk 已 知 、 是 任 意 非 负 整 数 ， 证 明 ： 若 规 定 ， 则 是 正 整 数 ；证 ： 命 题 与 两 个 参 数 有 关 ， 可 把 看 作
9、 常 数 ， 对 进 行 归 纳当 时 ， 原 式 是 正 整 数 ， 其 中 是 非 负 整 数假 设 当 时 命 题 成 立 ， 即 ： 是 正 整 数 ， 其 中 是 任 意 非 负 整 数 ；则 当 时 ， 有 ：（ ） ()!21(2)()!24)!) 1414!1)4!( ()()2)!4 kkmkkmk （ ） (2)!(2)!1)!1(1)2,kkmnm根 据 归 纳 假 设 ， 上 面 两 项 都 是 正 整 数 ， 故 也 是 正 整 数 ，（ ）其 中 是 任 意 非 负 整 数 ， 时 命 题 成 立 ，综 合 对 一 切 非 负 整 数 、 命 题 成 立 ；6试证：
10、对一切大于等于 1 的自然数 n都有 2si1cos2cos21 1:(1)0021sin()22(,)cosco11sin()1 2cos2cos()cos()in()n kxkZxxnkxxkxkk 证 将 起 点 前 移 ， 考 虑 时 的 情 形 ， 右 边 左 边 ， 等 式 在 时 成 立假 设 对 于 ， 等 式 成 立 ， 即 有 ：下 面 证 明 对 于 ， 等 式 也 成 立 ， 131()iniiin222si 2s3si()()11nsin()2 xxxk 当 ， 等 式 也 成 立 ，综 合 可 得 ， 等 式 对 于 一 切 正 整 数 成 立 ；7试证：对一切自然
11、数 n（ 1）都有 2n证明： 8证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形2232+122 +1(1)=+4=264n3039() k=-.k-,kkk当 时 ， 左 边 ， 右 边 ， 左 边 右 边 ， 结 论 成 立 。 当 时 ， 左 边 ， 右 边 ， 左 边 右 边 ， 结 论 成 立 。当 时 ， 左 边 ， 右 边 ， 左 边 右 边 ， 结 论 成 立 。假 设 时 结 论 成 立 ， 即 则 当 时 ，因 为 所 以 2.nn 即 当 时 ， 结 论 成 立 。综 上 ， 对 于 任 意 的 自 然 数 ， 结 论 均 成 立 。43678kn证 ： 任 一
12、个 正 方 形 分 成 份 后 再 拿 其 中 一 份 等 分 成 个 小 正 方 形 ，此 时 原 正 方 形 就 可 以 分 成 份 小 正 方 形原 命 题 只 须 证 、 、 时 的 情 况如 下 图 ：9 设 10a， a， an1，求证：对一切 Nn均有 1na证明：若我们仅仅假设 ak1 而不进一步限制其范围，由 ak+1= +a 是很难推出 ak+11的.考k1察 a1，a 1=1+a +a=1，ka同时 ak+1= +a43 知命题成立；假设当 n=k 时 命题成立，即 kk+1(k+1)k，那么，由 =(k+1)( )12)(k21kk+1(k+1)( )k+1(应用 放缩
13、)= 1,1k12kk)1(k)(（知(k+1) k+2(k+2)k+1, 故当 n=k+1 时命题成立，综上知，对自然数 n3，n n+1(n+1)n.6已知 121a， nna121)(，求证：对于一切 *Nn， na是整数7设有 n2个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴盆望天的球数 p不小于乙堆的球数 q，则从甲堆拿 q个球放堆乙堆，这样算是挪动一次证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆2213n 8已知数列 na满足： 31， 82a， 20453)(4221 nann （3n） ，试证： n2证明：(1)当 时， 结论成立；32337当 时， 结论成立；4n44a(2)假设 时结论成立，即 k22 11,kkka则当 时， 1n1154033kka22211243kkk211kk即当 时，结论成立。n综上所述，对于任意的 ，结论均成立*,3Nn
