1、数学归纳法（1 ）常州市第一中学高二数学备课组 【教学目标】知识与技能： 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；过程与方法： 经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。【教学难点】 运用数学归纳法时，在 “归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。【教后反思】【教学过程】一创设情景1. 摸球实验已知盒子里面有 5 个兵乓球，如何证明盒子里面的球全是橙色？2. 今天，据观察第一个到学
2、校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。（1） 是完全归纳法，结论正确（2）是不完全归纳法，结论不一定正确。问题：这些问题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对其一一验证，那么如何证明一个与自然数有关的命题呢？例如对于数列 ,已知na, 通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜想其通项公式为 。11,nnaa 1na这个猜想是否正确，如何证明？数学中常用数学归纳法证明。二探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（
3、1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。思考：条件（1） （2）的作用是什么？2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：多米诺骨牌游戏原理 通项公式 的证明方法1na（1）第一块骨牌倒下。 （1）当 n=1 时 ，猜想成立1（2）若第 k 块倒下时，则相邻的第 k+1块也倒下。 （2）若当 n=k 时猜想成立，即 ，1ka则当 n=k+1 时猜想也成立，即1ka。 根据（1）和 （2） ，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2） ，可知对任意的正整数n，猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与
4、正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：n（1） （归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立（ 为 取的第一个值00n） ；（2） （归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题),(*0Nkn 1k也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立。0n上述证明方法叫做数学归纳法。注：（1）这两步步骤缺一不可；（2）用数学归纳法证明命题时第二步必须用到归纳假设；（3）数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。三例题讲解例一、已知数列 , ，用数学归纳法证明其通项公式为 。na11nna 1na【教学预设】 【教学过程】【学生活动】例二、用数学归纳法证明：等差数列a n中，a 1
5、 为首项，d 为公差，则通项公式为。dnan)1(【教学预设】 【教学过程】【学生活动】例三、用数学归纳法证明： 。2)1()3(1037241 nn【教学预设】 【教学过程】【学生活动】四课堂小结【课后练习】一选择1用数学归纳法证明 3kn 3(n3,nN )第一步应验证( )A n=1 B n=2 C n=3 D n=42用数学归纳法证明某命题时，左边为 从 k 变到 k1 时，左边应214132增添的代数式是 （ ）A B 1k k1C D 212k212k3用数学归纳法证明 时，3)()()( 22nnn由 的假设到证明 时，等式左边应添加的式子是 （ ）knknA B C D2)1(
6、2)1(k2)1( 1)(213k4某个命题与正整数 有关，如果当 时命题成立，那么可推得当Nn时命题也成立现已知当 时该命题不成立，那么可推得 kn5（ ）A当 n=6 时该命题不成立 B当 n=6 时该命题成立C当 n=4 时该命题不成立 D当 n=4 时该命题成立5从一楼到二楼的楼梯共有 级台阶，每步只能跨上 1 级或 2 级，走完这 级台阶共有n n)(nf种走法，则下面的猜想正确的是 （ ）A B()1)(2)3fnfn)2()1(2)nfnfC D2f 3(二用数学归纳法证明等比数列通项公式与前 项和公式。三用数学归纳法证明下列等式（ ） 。*Nn（1 ） 2)1(53（2 ） 4(1)23n（3 ） 21()nnxx（4 ） 2(2)136（5 ） 331nn
