1、12017 届重庆市育才中学高三上学期入学考试理数试题 （解析版）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合 ，则 （ ）2log1,1PxQxPQA B. C. D. 0,2,20,11,2【答案】A【解析】试题分析：由题意得 ，所以 ，故选 A10,12PxQx 1|02PQx考点：集合的运算2 “ ”是“ ”的（ ）(,)sinco0A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分不必要条件的判定 3已知 ABC 中， ，则 （ ）125tan AcosAA
2、. B. C. D. 123513513【答案】B【解析】 试题分析：因为 ，所以 ，则 ，且5tan 012A(,)2Acos0A，又因为 ，解得 ，故选 Bsin5sicosco122sin1cos1232考点：三角函数的基本关系式4.设 ， ， ，则（ ）2log3a21log5b3l2cA B C Dcababcbac【答案】D考点：对数函数的性质5已知 tan =4,cot = ,则 tan( + )=（ ）a13aA. B. C. D. 7171713713【答案】B【解析】试题分析：由题意得， ，故选 B14tant73tan()1考点：两角和的正切函数6.函数 ，则该函数为（
3、）13,0().xfA. 单调递减函数，奇函数 B. 单调递增函数，偶函数C. 单调递增函数，奇函数 D. 单调递减函数，偶函数【答案】C【解析】试题分析：由题意得，不妨设 ，则 ，则 ，所以0x()13,()31xxxf f，所以函数 为奇函数，由函数 ，根据指数函数的单调性可fxff (),0()31.xfx知，函数 为单调递增函数，故选 Cf考点：函数的单调性与奇偶性37.下列说法中正确的是（ ）A.“ ”是“函数 是奇函数”的充要条件(0)f()fxB. 若 ，则20:,1pxR2:,10pxRC. 若 为假命题，则 ， 均为假命题qqD. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”6
4、sin26sin2【答案】D考点：命题的真假判定 8由曲线 ，直线 所围成的封闭图形的面积为（ ）1xy,3yxA. B. C. D.6921ln324ln3【答案】D【解析】试题分析：由题意得，由 和 ，解得交点坐标为 ，所以围成的封闭图形的面积1xyx(1,)31()Sxd，故选 D231ln|4l考点：定积分求解曲边形的面积9.已知 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 ，且 ，()fxRxR(2)()4(2fxfxf(1)3f则 （ ）2015A. B. C. D. 630【答案】D4【解析】试题分析：因为对任意的 都有 ，取 ，得 ，xR(2)()4(2fxfxf0x(2)4(2)f
5、f所以 ，即 ，所以 ，又因为函数 是定义在 上的奇函20f(2)f R数，所以 ，所以 ，所以 ，所以函数 是以 为周()x()fxf()8)fxfx8期的周期函数，所以 ，故选 D(2015)(28113f考点：函数的性质10.已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则xfxgxhln321,x（ ）A. B. C. D. 312x213x132321x【答案】C考点：函数的零点与方程的根的关系【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到指数函数、对数函数、幂函数和一次函数的图象，解答中把函数的零点问题，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象进行判断是解答此类问题的关键，着重考查了
6、函数与方程的相互转化，以及数形结合思想的应用，属于中档试题11已知点 为曲线 上一点，曲线 在点 处的切线 交曲线 于点 （异于点 ） ，P3:CyxCP1lCQP若直线 的斜率为 ，曲线 在点 处的切线 的斜率为 ，则 的值为（ ）1l1kQ2l2k24k5A B C D5-4-32【答案】C考点：利用导数研究曲线在某点点处的切线方程【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点点处的切线方程问题，其中解答中涉及函数的求导公式、导数的几何意义、直线方程的求法等知识点的考查，解答中利用曲线的切线方程和曲线方程联立，求解出 点的横坐标是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，试题有一定的难度
7、，属于难题Q12.已知函数 13)(2xf， 0,8641)(2xg，则方程 )0()(axfg的解的个数不可能是（ ）A 个 B. 个 C. 个 D. 345个6【答案】A【解析】试题分析：因为 13)(2xf， 0,8641)(2xg，所以当 时，若方程1a)0()(axfg，则 ，此时方程有 个根或 ，此时方程有 个根，故方程f 2f 3可能有 个根；当 时， )0()(axg，则 ，此501a(,2)fx时方程有 个根，所以方程 )()(xfg可能共有 根，当 时，方程3341)0()(axfg，则可能有 个、 个或 个根，故选 A456考点：根的存在性及根的个数判断【方法点晴】本题主
8、要考查了根的存在性和根的个数判断问题，其中解答中涉及到分 、 、1a06三种情况分类讨论，分别得出方程根的个数，解答中分析内外函数，利用构成函数的图象是解答本1a题的关键，着重考查了分类讨论思想和转化思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一点的难度，属于难题第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13 _21)(sindx【答案】 4【解析】试题分析：由题意得 2 2(sin1)(cos)|(cos)cs(2)4xdx考点：定积分的计算14.已知 ， 分别是定义域为 的奇函数和偶函数，且 ，则 的值为)(xfgRxgxf3)()1(f
9、_【答案】 34考点：函数的奇偶性的应用 15已知 、 都是锐角，且 ， ，则 _3cos()512sincos【答案】 365【解析】试题分析：由 、 都是锐角， ， 则 ， ，则3cos()512sin4si()5cos1332cos()() 6考点：三角函数的化简求值【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式、两角7和与差的余弦函数等知识点的考查，其中把 构造成 是解得本题的关键，着重考查coscs()了学生分析问题和解答问题的能力、以及角的构造思想的应用，平时注意总结和积累，属于中档试题16如果 的定义域为 ，对于定义域内的任意 ，存在实数
10、使得 成立，)(xfRxa)(xfxf则称此函数具有“ 性质”. 给出下列命题：)(aP函数 具有“ 性质” ； xysin若奇函数 具有“ 性质” ，且 ，则 ；)(f)2(1)(f(205)1f若函数 具有“ 性质” ， 图象关于点 成中心对称，且在 上单调递减，则xy4P， (,0)在 上单调递减,在 上单调递增；)(f21)(1,)若不恒为零的函数 同时具有“ 性质”和 “ 性质” ，且函数 对)xfy0(3)P)(xgy，都有 成立，则函数 是周期函数.Rx21,1212|(|()|gx)(xgy其中正确的是 (写出所有正确命题的编号)【答案】，因为图象关于点 对称，所以 ，即 ，所
11、以函数(2)()fxf(1,0)(2)(fxf()fx为偶函数，因为图象关于点 成中心对称，且在 上单调递减，所以图象也关于点 1,0成中心对称，且在 上单调递减，根据偶函数的对称得出，在 上单调递增，所以是正(1,0)(2,) (1,2)确的；因为“ 性质”和“ 性质” ，所以 ，0)P3P(),3()fxfxfxf所以 为偶函数，且周期为 ，因为函数 ，对 ，都有()fxyg12R成立，所以 必是周期函数，所以是正确的，故选1212|()|gxx8考点：函数的周期性；抽象函数的性质【方法点晴】本题主要考查了函数的新概念题型，其中解答中涉及到函数的周期性、抽象函数的性质的判断、函数的对称中心
12、的判断、函数的奇偶性等知识点的综合考查，试题难题较大，特别是第是三个选项，需要仔细推证，认真辨析，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于难题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数 ()cos)4fx.（）若 7210f，求 in的值；（II）设 ()gxfx，求函数 ()gx在 R 的最值.【答案】 （I） 24sin5；（ II） 12所以 272(cosin)10， 所以 7cosin5.平方得， 22iicos= 495，所以 4sn5. 6 分（II）因为 ()2gxfx= cos()s()4x=
13、2(cosin)(csin) = 221(in)x= 1cos.10 分 所以 )gx的最大值为 12； gx的最小值为- .9考点：三角恒等变换；三角函数的性质18现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场 份样本数据统计，年利润分布120如下表：年利润 万元1.2万元1.0万元.9频数 0640对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为 ，31在一年之内要进行 次独立的抽查，在这 次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：22合格次数 次 次1次0年利润 万元1.3万元. 万元.6记随机变量 分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利
14、润YX,（1）求 的概率；（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由【答案】 （1） ；（2）从长期投资来看，项目甲更具有投资价值47试题解析：（1） 的所有情况有：YX，2754316)1.,2.(2CyxP，93(0所以 ， .6274)(YX（2）随机变量 的分布列为：X 1.2 1.0 0.9P 61231所以 万元， .8E10随机变量 的分布列为：YY 1.3 1.1 0.6P 9149所以 万元 .10.0E，且 的概率与 的概率相当YXYX所以从长期投资来看，项目甲更具有投资价值 .12考点：离散型随机变量的分布列及其数学期望；概率的加法公式的应用19如图，在正三棱柱 中，点 是棱 的中点， 1CBADAB1,3CA=（1）求证： 平面 ；/1BC1（2）求二面角 的平面角的正弦值D- D C1B1A1CBA【答案】 （1）证明见解析；（2） 23试题解析：（）证明：连结 交 于点 ，连结 .1ACGD在正三棱柱 中，四边形 是平行四边形， .1BA1 1AGC ， . 2 分DG 平面 ， 平面 ， 平面 . 4 分1C11ADC1B1D
