4对称矩阵的对角化 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化 1 定理5对称矩阵的特征值为实数 一 对称矩阵的性质 说明 本节所提到的对称矩阵 均指实对称矩阵 2 定理6 4 定理7 3 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化 解 例1设实对称矩阵求正交矩阵P 使为对角阵 得基础解系 得基础解系 单位化 得 单位化 得 得基础解系 单位化 得 解 例2设实对称矩阵求正交矩阵P 使为对角阵 单位化 得 单位化 得 正交化 得 于是得正交阵 例3 1 对称矩阵的性质 三 小结 1 特征值为实数 2 属于不同特征值的特征向量正交 3 必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵 且对角矩阵对角元素即为特征值 4 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等 2 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤 1 求特征值 2 找特征向量 3 将特征向量正交化 4 最后单位化 思考题
