1、1离散数学题库一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1) Q=QP (2) Q=PQ (3)P=PQ (4) P (P Q)= P 2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(P Q)(Q R) (2)P(QQ) (3)(P Q)P (4)P(P Q)3、设有下列公式， 请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=P Q (2) P Q=P (3) P Q=P Q (4)P (PQ)=Q (5) (PQ)=P (6) P (P Q)= P4、公式x(A(x) B(y，x) z C(y，z)D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。5、判断下列语句是不是命题。若是，
2、 给出命题的真值。( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜 欢 唱歌吗？ (4) 若 7+818，则三角形有 4 条边。 (5) 前 进！ (6) 给我一杯水吧！ 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是 ( )。7、设 P：我生病， Q：我去学校， 则下列命题可符号化为( )。(1) 只有在生病 时，我才不去学校 (2) 若我生病， 则我不去学校(3) 当且仅 当我生病时 ，我才不去学校(4) 若我不生病， 则我一定去学校8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。(1) xy(x+y=0) (2)
3、yx(x+y=0)9、设全体域 D 是正整数集合，确定下列命题 的真值：(1) xy (xy=y) ( ) (2) xy(x+y=y) ( )2(3) xy(x+y=x) ( ) (4) xy(y=2x) ( )10、设谓词 P(x)：x 是奇数，Q(x) ：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x)在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)-(3)均成立11、命题“2 是偶数或-3 是负数” 的否定是（ ）。12、永真式的否定是（ ）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)-(3)均有可能13、公式( P Q) ( P Q)化
4、简为（ ），公式 Q (P (P Q)可化简为（ ）。14、谓词公式 x(P(x) yR(y) Q(x)中量词 x 的辖域是（ ）。15、令 R(x):x 是实数，Q(x):x 是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。（集合论部分）16、设 A=a,a，下列命题错误的是（ ）。(1) a P(A) (2) a P(A) (3) a P(A) (4) a P(A)17、在 0（ ） 之间写上正确的符号。(1) = (2) (3) (4) 18、若集合 S 的基数|S|=5， 则 S 的幂集的基数|P(S)|=（ ）。19、设 P=x|(x+1) 4 且 x R,Q=x|5
5、 x +16 且 x R,则下列命题哪个正22确（ ） (1) Q P (2) Q P (3) P Q (4) P=Q20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。(1) A1=a,b (2) A2=b,a (3) A3=a,b,a (4) A4=a,b,c(5) A5=x|(x-a)(x-b)(x-c)=0 (6) A6=x|x2-(a+b)x+ab=021、若 A-B=，则下列哪个结论不可能正确？( )3(1) A= (2) B= (3) A B (4) B A22、判断下列命题哪个为真?( )(1) A-B=B-A = A=B (2) 空集是任何集合的真子集(3) 空集只是非空集合的子集 (
6、4) 若 A 的一个元素属于 B，则 A=B23、判断下列命题哪几个为正确？( ) (1) , (2) , (3) (4) (5) a,ba,b,a,b24、判断下列命题哪几个正确？( )(1) 所有空集都不相等 (2) (4) 若 A 为非空集，则 A A 成立。25、设 AB=AC， B= C，则 B( )C。A26、判断下列命题哪几个正确？( )(1) 若 ABAC，则 BC (2) a,b=b,a (3) P(AB) P(A)P(B) （P(S)表示 S 的幂集）(4) 若 A 为非空集，则 A AA 成立。27、，是三个集合，则下列哪几个推理正确：(1) A B，B C= A C (
7、2) A B，B C= AB (3) AB，BC= AC（二元关系部分）28、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3 ，从到 B 的关系x,y|x=y 2，求(1)R (2) R-1 。29、举出集合 A 上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。 ( )30、集合 A 上的等价关系的三个性质是什么？ ( )31、集合 A 上的偏序关系的三个性质是什么？ ( )32、设 A=,，上的关系 1,2，2,1，2,3，3,4求(1)R R (2) R-1433、设1，2， 3，4，5，6，是 A 上的整除关系，求 R= ( )。34、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3 ，从到 B 的关系x,y
8、|x=2y，求(1)R (2) R-1 。35、设1,2,3,4,5,6，B=1,2,3 ，从到 B 的关系x,y|x=y 2，求 R和 R-1的关系矩阵。36、集合 A=1,2,10上的关系 R=|x+y=10,x,y A，则 R 的性质为（ ）。(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对 称的 (4) 传递的（代数结构部分）37、设 A=2,4,6，A 上的二元运算*定义为：a*b=maxa,b ，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。38、设 A=3,6,9，A 上的二元运算*定义为：a*b=mina,b ，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；（半群与群部分）39、
9、设G,*是一个群，则(1) 若 a,b,xG，a x=b，则 x=( )；(2) 若 a,b,xG，a x=a b，则 x=( )。40、设 a 是 12 阶群的生成元， 则 a2是( )阶元素，a 3是( )阶元素。41、代数系统是一个群，则 G 的等幂元是 ( )。42、设 a 是 10 阶群的生成元， 则 a4是( )阶元素，a 3是( )阶元素。43、群的等幂元是( )，有( )个。44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。45、设G,*是一个群，a,b,c G，则5(1) 若 c a=b，则 c=( )；(2) 若 c a=b a，则 c=( )。46、是 的子群的充分必要
10、条件是( )。47、群A,*的等幂元有( )个，是( )，零元有 ( )个。48、在一个群G,*中，若 G 中的元素 a 的阶是 k，则 a-1的阶是( )。49、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结 合的？（ ）(1) a*b=a-b (2) a*b=maxa,b (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|50、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（ ）。(1) 不可能是群 (2) 不一定是群 (3) 一定是群 (4) 是交换群51、6 阶有限群的任何子群一定不是（ ）。(1) 2 阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶（格与布尔代数部分）52、下列哪个偏序集构成有
11、界格（ ）(1) （N, ） (2) （Z, ） (3) （2,3,4,6,12,|（整除关系） (4) (P(A), )53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4 的倍数 (4) 2 的正整数次幂（图论部分）54、设 G 是一个哈密尔顿图，则 G 一定是( )。(1) 欧拉 图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图 55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( )(1) 0，10，110，101111 (2) 01，001，000，1(3) b，c，aa，ab，aba (4) 1，11，101，001，0011656、一个图的哈密尔顿路是一条通过
12、图中( )的路。57、在有向图中， 结点 v 的出度 deg+(v)表示( )，入度 deg-(v)表示( )。58、设 G 是一棵树， 则 G 的生成树有( )棵。(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定59、n 阶无向完全图 Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。60、一棵无向树的顶点数 n 与边数 m 关系是( )。61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。62、有 n 个结点的树，其结点度数之和是( )。63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。(1) a，ab，110，a1b11 (2) 01，001，000，1(3) 1，2，00，01，0210
13、(4) 12，11，101，002，001164、n 个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。66、设 G 是一棵树， n,m 分别表示顶点数和边数，则(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。67、设 T=V,E是一棵树，若|V|1，则 T 中至少存在( )片树叶。68、任何连通无向图 G 至少有( )棵生成树，当且仅当 G 是( )，G 的生成树只有一棵。69、设 G 是有 n 个结点 m 条边的连通平面图，且有 k 个面，则 k 等于:(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2
14、 (4) m+n+2。70、设 T 是一棵树， 则 T 是一个连通且( )图。71、设无向图 G 有 16 条边且每个顶点的度数都是 2，则图 G 有( )个顶点。(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 1672、设无向图 G 有 18 条边且每个顶点的度数都是 3，则图 G 有( )个顶点。7(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 1273、设图 G=，V=a，b，c，d，e，E=,则 G 是有向图还是无向图？74、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。75、具有 6 个顶点，12 条边的连通简单平面图中，每个面都是由 ( )条边围成？(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4
15、) 576、在有 n 个顶点的连通图中，其边数（ ）。(1) 最多有 n-1 条 (2) 至少有 n-1 条(3) 最多有 n 条 (4) 至少有 n 条77、一棵树有 2 个 2 度顶点，1 个 3 度顶点，3 个 4 度顶点，则其 1 度顶点为（ ）。(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 978、若一棵完全二元（叉）树有 2n-1 个顶点，则它（ ）片树叶。(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 279、下列哪一种图不一定是树（ ）。(1) 无 简单 回路的连通图 (2) 有 n 个顶点 n-1 条边的连通图 (3) 每 对顶 点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不
16、连通的图80、连通图 G 是一棵树当且仅当 G 中（ ）。(1) 有些 边 是割边 (2) 每条边都是割边(3) 所有 边 都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径（数理逻辑部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： 1、(PQ) R 82、(P R) (Q R) P 3、( PQ) (R P)4、Q(P R) 5、P(P (QP) 6、 (PQ) (R P)7、P (PQ) 8、(RQ) P9、PQ 10、 P Q 11、P Q12、（P R） Q13、（P Q） R14、(P (Q R) ( P ( Q R)15、P ( P (Q ( Q R)16、(P Q) (P R)三、证明：1
17、、PQ， Q R， R， S P= S2、A(BC)， C( D E)， F(D E),A=BF3、P Q， PR, QS = R S4、(PQ) (RS)，(QW) (SX) ， (W X)，PR = P 5、(U V)(M N), U P, P(Q S)， Q S =M 6、 B D，(E F) D， E= B7、P(QR)，R(QS) = P(QS)8、P Q， PR， R S =S Q 9、P(QR) = (PQ)(PR)910、P( Q R)，Q P,SR,P = S11、A，AB， AC， B(D C) = D12、A(C B)，B A，D C = A D13、(P Q) (R Q
18、) （P R） Q14、P (Q P) P (P Q)15、（P Q） （P R）， (Q R)，S P S16、P Q，Q R，R S P17、用真值表法证明 ( ) ( )18、PQ P(P Q)19、用先求主范式的方法证明(PQ) (PR) (P（Q R）20、(PQ) (Q R) P21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效?前提: (1) 若 A 队得第一，则 B 队或 C 队获亚军;(2) 若 C 队获亚军， 则 A 队不能获冠军;(3) 若 D 队获亚军，则 B 队不能获亚军;(4) A 队获第一;结论: (5) D 队不是亚军。22、用推理规
19、则证明 P Q, (Q R),P R 不能同时为真。(集合论部分)四、设，是三个集合，证明：1、A (BC)(A B)(A C) 2、(AB) (AC)=A(B C)3、A B=A C， B= C，则 C=B A4、A B=A (B-A)5、A=B A B= 6、A B = A C，A B=A C，则 C=B107、A B=A C， B= C，则 C=B A8、A (B C)(AB)C 9、(AB) (AC)=A(B C) 10、A-B=B，则 A=B=11、A=(A-B) (A-C) A B C=12、(A-B) (A-C)= A B C13、(A-B) (B-A)=A B=14、(A-B)
20、-C A-(B-C)15、P(A) P(B) P(A B) （P(S)表示 S 的幂集）16、P(A) P(B)=P(A B) （P(S)表示 S 的幂集）17、（A-B） B=（A B）-B 当且仅当 B= 。n，则 c 的阶整除 m 与 n 的最大公因子(m,n)。五、证明或解答：（数理逻辑、集合论与二元关系部分）1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言：(1) x y（xy=1）; (2) x y(xy=1);(3) x y (xy=0); (4) x y（xy=0）;(5) x y (xy=x); (6) x y（xy=x）;(7) x y z (x-y=z)2、设 A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): xy， 个体域为自然数。将下列命题符号化：（1）没有小于 0 的自然数;（2）xyz;（4）存在 x，对任意 y 使得 xy=y;（5）对任意 x，存在 y 使 x+y=x。3、列出下列二元关系的所有元素：（1）A=0,1,2,B=0,2,4,R=|x,y ;BA（2）A=1,2,3,4,5,B=1,2,R=|2 x+y 4 且 x 且 y B;（3）A=1,2,3,B=-3,-2,-1,0,1,R=|x|=|y|且 x 且 y B;
